Bille au centre de la Terre

[invitefa5fd80c]

La question est donc, et elle s'adresse à ceux ayant voté 2, de donner une borne inférieure à l'intensité de l'accélération relative des deux centres de masse, en la justifiant. Il s'agit évidemment de fournir une valeur chiffrée, pas d'une vague formule.

Le cas général est passablement complexe: on a des moments dipolaires, quadrupolaires, etc...

Prenons le cas le plus simple possible: on a une masse en , une masse en et une masse en . La force totale exercée par sur le système composé des deux masses est:



Développant en série autour de et ne retenant que le premier ordre de correction, on obtient (à moins d'une erreur de calcul):



L'accélération du centre de masse du système composé des deux particules de masse est donc:



alors que l'accélération d'une masse ponctuelle située en est:



L'accélération relative de la masse ponctuelle par rapport au centre masse du système composé des deux particules de masse est donc:



Je te laisse imaginer un calcul analogue pour un système tel que la terre.

Amicalement
-----

[inviteea6fd0dc]

Juste un avis

"Bon. Selon ce calcul, et mon interprétation, l'accélération du cdm de la Terre due à la gravitation lunaire est 33 µm/s², et l'accélération du cdm de la bille due à la gravitation lunaire est aussi de 33 µm/s². Comme ils sont coïncidents, la direction de l'accélération est la même, différence 0 µm/s²."

Si l'on se situe d'après les préalables que tu imposes, dans le cadre d'un système parfaitement symétrique (parfaite sphéricité de la terre, parfaite sphéricité de la bille et parfaite sphéricité de la lune, le soleil est oublié depuis longtemps semble t'il et le reste de l'univers aussi), en vertu des critères de départ il n'est nul besoin de calcul ni d'interprétation, la réponse est evidemment la réponse 1. Dans un contexte idéal, purement mathématique, c'est exact.
Dans un contexte physique, cela ne peut être vrai, hormis la parfaite sphéricité de la bille (et encore) cela n'est pas vrai pour le reste.
C'est bien ce qu'exprime Popolauquebec, la terre est un géoide, son centre de gravité n'est qu'un point imaginaire , creuser une cavité autour de ce point est une impossibilité hormis dans un cadre purement formel (mais non réel).
Autrement dit, le problème tel que posé n'admet que la solution 1 mais ne correspond à aucune réalité.

Amicalement

[invité576543]

Bonjour,

Si l'on se situe d'après les préalables que tu imposes, dans le cadre d'un système parfaitement symétrique (parfaite sphéricité de la terre, parfaite sphéricité de la bille et parfaite sphéricité de la lune, le soleil est oublié depuis longtemps semble t'il et le reste de l'univers aussi)

Je n'ai imposé aucune de ces contraintes, et j'estime qu'aucune d'entre elles n'est nécessaire:

- la forme de la Terre peut être quelconque;

- la forme de la bille quelconque

- la forme de la Lune quelconque

- on peut inclure le Soleil, Jupiter, la Galaxie, ce que vous voudrez.

On peut remplacer la Terre par un astéroïde totalement assymétrique, par une sonde, par l'ISS. C'est déjà plus pratique. Le résultat sera le même.

Le seul point important est que les deux objets soient en chute libre et coïncident en position et vitesse à un moment. C'est ce que dit la RG: un objet en chute libre suit une géodésique, et une géodésique est déterminée de manière unique par un point, un instant et une vitesse. En votant 2, vous vous opposez à la RG telle que je la comprend à partir d'écrits d'auteurs bien plus éclairés (et éclairants) que les interventions sur ce forum.

Je peux citer des facteurs susceptibles de faire diverger les trajectoires (ils ont tous pour conséquence que l'hypothèse de chute libre tombe):

- le vent solaire, qui s'exerce sur la Terre pas sur la bille;

- les astéroïdes qui tombent sur la Terre vont introduire une vitesse relative entre le cdm de la Terre (dont le changement de place est négligeable) et la bille, donc un choc sur la paroi au bout d'un certain temps

- les sondes que l'ont envoie dans l'espace auront le même résultat que les astéroïdes

- etc.

Mais ce n'est pas de ce genre de choses dont on parle, d'accord?

Cordialement,

[invité576543]

Je crois comprends ton raisonnement. Tu dis que les différences d'accélération sont nulles, ce sur quoi je suis à 100% d'accord (je retiens pratiquement ton chiffre de 33µm/s2) et en conséquences de quoi la bille reste au centre puisque les accélérations relatives sont nulles.

L'accélération relative de deux objets est la différence des accélérations mesurées dans un même référentiel (galiléen pour simplifier).

La distance entre deux objets ne peut pas changer si leur vitesse relative est nulle et l'accélération relative est nulle. C'est la définition de l'accélération qui implique cela.

Si tu est d'accord que la différence d'accélération est nulle, et la vitesse relative étant nulle par hypothèse, la conclusion s'ensuit, par simple définition de l'accélération.

Maintenant ce que je conclue est différent. (...)En effet, bien que la Terre subisse une accélération centrale vers la Lune il n'en reste pas moins vrai que la distance Terre-Lune ne change pas (pour simplifier le raisonnement je suppose des orbites circulaires). Ceci est bien entendu du au fait que la Terre possède une vitesse tangentielle non nulle.

La vitesse de la bille étant la même, elle a une vitesse tangentielle non nulle (la même par hypothèse, celle adaptée à l'orbite circulaire donc) et tout raisonnement qui amène à montrer que l'orbite de la Terre est circulaire amène à montrer que l'orbite de la bille est circulaire. C'est la même.

La bille qui subit la même accélération que la Terre a comme propriété de n'être pas solidaire de la Terre, ce qui change tout. En effet dans ce cas son accélération (au sens d'une force) va se transformer en mouvement accéléré vers la Lune jusqu'a toucher la paroi interne de la cavité.

Non, parce que la Terre a le même mouvement accéléré vers la Lune. La bille et la Terre tombent identiquement vers la Lune, et du coup elles ne se touchent pas.

Tout comme un objet au centre de masse de l'ISS et immobile initialement relativement à l'ISS tombe vers la Terre selon la même trajectoire que l'ISS et donc n'est pas amené à toucher les parois à cause de l'attraction terrestre. Et ça ce n'est pas une expérience de l'esprit, plusieurs personnes l'expérimentent en permanence.

Cordialement,

[invité576543]

Le cas général est passablement complexe (...)

Ca c'est plus intéressant. Ton argument est que la résultante des forces de gravitation n'est pas la valeur du champ de gravitation au centre de masse.

Ce n'est pas la non sphéricité de le Terre qui est en jeu, ce n'est pas la non homogénéité de la Terre qui joue, mais plus simplement le fait que la Terre n'est pas un point, et que le champs gravitationnel n'est pas uniforme. L'argument s'applique d'ailleurs parfaitement dans le cas de parfaite symétrie sphérique, ou tout autre contrainte qui a été évoquée.

Ce que tu cherches à montrer est que le centre pondéré des masses multiplié par le champ en ce point n'est pas égal au centre pondéré du produit des masses par le champ gravitationnel.

Là on tient peut-être un argument solide. D'autant plus que cela effectivement permet de faire une différence avec une station orbitale. Différence qui ne vient que de la taille du solide, pas de la présence de tel ou tel astre.

L'accélération relative de la masse ponctuelle par rapport au centre masse du système composé des deux particules de masse est donc:



Je te laisse imaginer un calcul analogue pour un système tel que la terre.

Pas besoin. On va faire une application numérique très simple, on modélise la Terre par la moitié de la masse face à la Lune et l'autre moitié de l'autre côté.

Je fais le calcul, et je reviens.

Amicalement,

[invite7ce6aa19]

L'accélération relative de deux objets est la différence des accélérations mesurées dans un même référentiel (galiléen pour simplifier).

La distance entre deux objets ne peut pas changer si leur vitesse relative est nulle et l'accélération relative est nulle. C'est la définition de l'accélération qui implique cela.

Si tu est d'accord que la différence d'accélération est nulle, et la vitesse relative étant nulle par hypothèse, la conclusion s'ensuit, par simple définition de l'accélération.

.
Non je suis en déssacord avec ceci. En effet lorsque tu utilises le langage d'accélération la signification physique dans ce contexte c'est d'abord la force.
.
L'existence d'une force n'implique pas nécessairement un mouvement et donc une accélération. Une masse m de 1kg au contact de la surface de la Terre et une masse m de 1kg au-dessus de la surface de la Terre subisse la même force P = m.G et pourtant la masse reste immobile a la surface de la Terre alors que la masse a 1 m de hauteur subit une accélération qui vaut G.
.
Pourquoi une telle différence?

Tout simplement que dans le premier cas la masse est solidaire ce qui veut dire que sont équation de mouvement s'écrit:

m.dv/dt = m.G -R =0

R est la réaction au poids m.G (c'est d'ailleurs comme ca que l'on concoit le principe de la mesure de pesée).

Dans le deuxième cas la masse n'est pas solidaire et son équation de mouvement est:

m.dv/dt = m.G - 0 = m.G

La force résultante n'est pas nulle et donc il y a accélération.

il suffit de transposer l'architecture de ce raisonnement au cas de la bille dans une cavité. autrement dit tu prends comme repère le centre de la Terre et par construction la Terre n'accélère pas par rapport a ce repère. Par contre la bille subit l'influence de La lune et se sera accélérée vers la Lune.
.
Plus généralement en physique générale (classique, quantique, relativiste, peu importe) un ensemble de N corps évolue pour minimiser son énergie potentielle (en respectant des contraintes), l'excédent est évacué sous sous forme de chaleur cad répartie vers les degrés de mouvements microscopiques.
.
Dans ce contexte, le système à 3 corps bille, Lune et Terre a la possibilité de minimiser l'énergie potentielle de l'ensemble en diminuant la distance bille-Lune avec la contrainte que la bille est enfermée dans la cavité.

[invité576543]

@Popol

En fait c'est assez trivial, c'est

33 µm/s² multiplié par (6400/384000)², soit de l'ordre 10^-10 m/s²

Si on ne prend que la Lune, cette différence d'accélération va induire quelque chose comme un mouvement circulaire, dont l'amplitude est de l'ordre de grandeur de aT², T étant la période de rotation, soit 2 10⁶ secondes.

On arrive à une orbite de la taille de l'ordre de 500 m. Ce avec une hypothèse extrême sur la forme de la Terre.

Si tu as raison (et pour le moment, je ne vois pas de faille dans l'argument), il faut une cavité suffisamment grande, et la bille orbitera à l'intérieur.

On doit pouvoir faire un calcul bien moins grossier que deux masses à la distance de 6400 km (avec la Terre modélisée comme parfaitement sphérique et homogène, ça doit tomber tout seul avec mathématica par exemple; mais je n'ai pas ce logiciel ou équivalent). On va trouver une accélération relative bien plus petite (un ou deux ordres de grandeur en-dessous à vue de nez, peut-être plus) que celle calculée ici, mais non nulle.

Cordialement,

[invité576543]

L'accélération relative de deux objets est la différence des accélérations mesurées dans un même référentiel (galiléen pour simplifier).

La distance entre deux objets ne peut pas changer si leur vitesse relative est nulle et l'accélération relative est nulle. C'est la définition de l'accélération qui implique cela.

Si tu est d'accord que la différence d'accélération est nulle, et la vitesse relative étant nulle par hypothèse, la conclusion s'ensuit, par simple définition de l'accélération.

Non je suis en désaccord avec ceci.

Je prend acte de ce désaccord.

Je note aussi que tu exprimes un désaccord sur une série d'assertions qui sont purement cinématiques, par des arguments invoquant des forces. Si ça ne te pose aucun problème, il nous manque une base commune pour discuter. De mon côté, ça me suffit pour ne pas être convaincu par lesdits arguments.

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Ca c'est plus intéressant. Ton argument est que la résultante des forces de gravitation n'est pas la valeur du champ de gravitation au centre de masse.

Heu...tu as bien compris que je traitais le cas général, c'est-à-dire le cas où il n'y a pas nécessairement symétrie sphérique de tous les corps impliqués ?

Dans un tel cas, de façon générale, la résultante des forces de gravitation n'est pas la masse totale du système multipliée par la valeur du champ de gravitation au centre de masse.

Ce n'est pas la non sphéricité de le Terre qui est en jeu, ce n'est pas la non homogénéité de la Terre qui joue, mais plus simplement le fait que la Terre n'est pas un point, et que le champs gravitationnel n'est pas uniforme.

Non non...c'est bien la symétrie sphérique qui est en cause.

Ce que tu cherches à montrer est que le centre pondéré des masses multiplié par le champ en ce point n'est pas égal au centre pondéré du produit des masses par le champ gravitationnel.

Effectivement, dans le cas où il n'y a pas symétrie sphérique.

Là on tient peut-être un argument solide. D'autant plus que cela effectivement permet de faire une différence avec une station orbitale. Différence qui ne vient que de la taille du solide, pas de la présence de tel ou tel astre.

Il n'y a pas de différence de principe, c'est une question de distribution des masses.

Pas besoin. On va faire une application numérique très simple, on modélise la Terre par la moitié de la masse face à la Lune et l'autre moitié de l'autre côté.

Je fais le calcul, et je reviens.

Dans tous les cas, il y aura différence. De combien ? ...je n'en ai aucune idée. J'attends ton exemple

Amicalement

[Médiat]

Etant nul en physique je vais sans doute poser une question d'une débilité profonde, mais est-ce que l'attraction de la Terre sur la bille n'est pas infinie quand la bille est placée en son centre de masse et est-ce que cela ne devrait pas empêcher la bille de bouger une fois qu'elle est immobilisée (l'attraction de la Lune étant négligeable devant l'infini) ?

[invité576543]

Non non...c'est bien la symétrie sphérique qui est en cause.

C'est rigolo, j'ai l'impression de mieux comprendre que toi l'argument que tu donnes contre mon opinion!

Je puis me tromper, mais ton argument me semble valable même dans le cas d'une symétrie sphérique. D'ailleurs le cas que tu donnes a une symétrie cylindrique selon la seule direction pertinente au problème. Je ne vois pas ce que changerait le passage de la symétrie cylindrique à la symétrie sphérique au vue de la symétrie d'ensemble du problème.

Amicalement,

[invité576543]

mais est-ce que l'attraction de la Terre sur la bille n'est pas infinie quand la bille est placée en son centre de masse et est-ce que cela ne devrait pas empêcher la bille de bouger une fois qu'elle est immobilisée (l'attraction de la Lune étant négligeable devant l'infini) ?

Non. L'intensité de la gravitation terrestre à l'intérieur de la Terre diminue avec la distance au cdm. Parce que les masses "au-dessus" (qui augmentent quand on s'approche du centre) tirent en sens opposé aux masses "en-dessous" (qui diminuent quand on s'approche du centre). Au centre tout ce compense, et la gravitation est nulle.

Cordialement,

[Médiat]

Non

Merci de ta réponse, je savais bien que je disais une co***ie .

Je retourne faire des maths, la physique c'est trop pour moi.

[invitefa5fd80c]

C'est rigolo, j'ai l'impression de mieux comprendre que toi l'argument que tu donnes contre mon opinion!

Je puis me tromper, mais ton argument me semble valable même dans le cas d'une symétrie sphérique. D'ailleurs le cas que tu donnes a une symétrie cylindrique selon la seule direction pertinente au problème. Je ne vois pas ce que changerait le passage de la symétrie cylindrique à la symétrie sphérique au vue de la symétrie d'ensemble du problème.

Je comprends ton raisonnement, du moins je crois. À première vue, étant donné la non-uniformité du champs gravitationnel de la Lune en différents points de la Terre, on peut être porté à penser que, même dans le cas à symétrie sphérique, l'accélération du centre de masse de la Terre n'est pas donnée par la valeur du champ gravitationnel de la Lune en ce-dit centre de masse. Mais il s'avère que lorsque la symétrie sphérique est respectée et par la Lune et par la Terre, on a les deux choses suivantes:

1- Le potentiel gravitationnel produit par la Lune, hors de sa surface, est le même que celui d'une masse ponctuelle ayant même masse que la Lune et située en son centre de masse. La même chose est évidemment vraie pour la Terre.

2- La force totale exercée par la Lune sur la Terre (et inversément) est la même que celle exercée par la Lune sur une masse ponctuelle ayant même masse que la Terre et située au centre de masse de la Terre.

Ceci est évidemment une propriété très utile dans les calculs lorsque l'on peut raisonnablement approximer un objet comme ayant une symétrie sphérique, ce qui est souvent le cas pour les objets astronomiques.

Amicalement

[invite7ce6aa19]

Je prend acte de ce désaccord.

Je note aussi que tu exprimes un désaccord sur une série d'assertions qui sont purement cinématiques, par des arguments invoquant des forces. Si ça ne te pose aucun problème, il nous manque une base commune pour discuter. De mon côté, ça me suffit pour ne pas être convaincu par lesdits arguments.

Cordialement,

L'équation d'un mouvement d'une particule c'est

M.dv/dt = F

La cause c'est la force, la conséquence c'est l'accélération.
.
Quand il y a une seule force tu peux faire une équivalence "sémantique" entre force et accélération puisqu'il y a 1 coefficient de proportionnalité M entre les deux.
.
quand il y a plus d'une force ce n'est plus le cas. En effet si on écrit:

M.dv/dt = F1 + F2

il est trivialement impossible de traduire une force par une accélération.
.
D'ailleurs dans le problème en question il est facile d'écrire en prenant le repère du centre de la Terre le mouvement de la Terre:

M.dV/dt = 0

Pour le mouvement de la bille

m.dv/dt = FL

L'accélération relative s'écrit:

d/dt (V-v) = -FL/m

Comme V= 0 pour la Terre on a:

dv/dt = FL/m

qui est une autre présentation, peut être explicite de ce que j'ai écrit précédemment.

[invitefa5fd80c]

D'ailleurs dans le problème en question il est facile d'écrire en prenant le repère du centre de la Terre le mouvement de la Terre:

M.dV/dt = 0

Pour le mouvement de la bille

m.dv/dt = FL

Bonjour mariposa,

Le repère du centre de masse de la Terre est un repère accéléré. On doit donc introduire une force fictive pour le mouvement de la bille et celle-ci compense la force d'attraction de la Lune. On a alors V=0 pour la Terre et v=0 pour la lune.

Amicalement

[invité576543]

(...)
2- La force totale exercée par la Lune sur la Terre (et inversement) est la même que celle exercée par la Lune sur une masse ponctuelle ayant même masse que la Terre et située au centre de masse de la Terre.

Si c'est le cas, l'accélération résiduelle que j'ai calculée est tout plein d'ordres de grandeur au-dessus de la réalité . On va se retrouver avec une orbite de rayon millimétrique ou moins.

Est-ce alors la réponse 1 ou la réponse 2 la plus correcte?

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Si c'est le cas, l'accélération résiduelle que j'ai calculée est tout plein d'ordres de grandeur au-dessus de la réalité . On va se retrouver avec une orbite de rayon millimétrique ou moins.

Est-ce alors la réponse 1 ou la réponse 2 la plus correcte?

Puisque la question ne portait pas sur l'ordre de grandeur de la déviation entre les deux centres de masse, la seule réponse correcte est 2.

Maintenant, si on parle d'ordre de grandeur, alors la différence est, à vue de nez, excessivement plus petite que dans l'exemple traité ci-haut. Il faudrait faire le calcul exact pour connaître l'ordre de grandeur.

Amicalement

[invité576543]

@Popol

Sinon, mathématiquement ce que tu dis m'intrigue. Sauf erreur cela revient à dire que



pour toute valeur de r.

Si tu as un lien pour une démo simple de ce truc, je suis preneur.

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

Bonjour mariposa,

Le repère du centre de masse de la Terre est un repère accéléré. On doit donc introduire une force fictive pour le mouvement de la bille et celle-ci compense la force d'attraction de la Lune. On a alors V=0 pour la Terre et v=0 pour la lune.

Amicalement

Bonjour a toi.

Oui le centre de masse de la Terre est accéléré et en mouvement par rapport a 1 quelconque repère. Par rapport a 1 repère situé au centre de masse il est immobile par construction. Non?
.
S'agissant du mouvement de la bille il exacte qu'il faudrait tenir compte que la Terre est accélérée par rapport à la Lune. Il faudrait donc ajouter un terme correctif, mais celui-ci est négligeable; En effet pendant le laps de temps que la bille va cogner la paroi, la Terre s'est déplacée en ligne droite avec une bonne approximation. C'est la raison pour laquelle la force de coriolis ne se fait pas sentir dans un lavabo.
.
Bien entendu si la cavité avait une dimension de quelques centaines de km il faudrait introduire impérativement les forces d'entrainement.
.
Remarque: Comme la Terre est beaucoup plus massique que la Lune c'est la Lune qui tourne autour de la Terre. Si la cavité creuse avait été placée dans la Lune alors il y aurait équilibre entre la force centrifuge et l'attraction terrestre et la boule resterait au centre et n'irait pas se coller contre la paroi de la cavité.
.
Comme le rapport Masse Terre/Masse Lune n'est pas infini mais vaut quelquechose comme 30 cela donne une très vague estimation du facteur correctif de force d'entrainement pour la bille au centre de la Terre.

[invité576543]

Puisque la question ne portait pas sur l'ordre de grandeur de la déviation entre les deux centres de masse, la seule réponse correcte est 2.

Maintenant, si on parle d'ordre de grandeur, alors la différence est, à vue de nez, excessivement plus petite que dans l'exemple traité ci-haut. Il faudrait faire le calcul exact pour connaître l'ordre de grandeur.

Incorrect! Comme la taille de la cavité n'est pas mentionnée, l'argument que tu donnes, si c'est le seul facteur jouant, donne comme réponse 1) (la bille tourne sur place, si la cavité est assez grande elle n'est pas projetée contre la paroi, du moins je le vois comme ça) ou 3) (données insuffisantes).

Par contre si on considère que l'ordre de grandeur ne joue pas, la réponse est 2) simplement à cause des météorites ou du vent solaire ou des fusées spatiales.

Cordialement,

[invitefa5fd80c]

Incorrect! Comme la taille de la cavité n'est pas mentionnée, l'argument que tu donnes, si c'est le seul facteur jouant, donne comme réponse 1) (la bille tourne sur place, si la cavité est assez grande elle n'est pas projetée contre la paroi, du moins je le vois comme ça) ou 3) (données insuffisantes).

La réponse 1 s'énonçait :

"1/ Elle reste au centre de la Terre"

Comme je l'ai montré, en l'absence de symétrie sphérique, la bille ne peut pas rester au centre de masse de la Terre.

Maintenant, pour savoir si la bille atteindra ou non la paroi, il faudrait faire le calcul exact, ce qui risque d'être très complexe. Alors la réponse correcte est soit 2, soit 3, mais surement pas 1.

Amicalement

[invité576543]

La réponse 1 s'énonçait :

"1/ Elle reste au centre de la Terre"

Comme je l'ai montré, en l'absence de symétrie sphérique, la bille ne peut pas rester au centre de masse de la Terre.

Maintenant, pour savoir si la bille atteindra ou non la paroi, il faudrait faire le calcul exact, ce qui risque d'être très complexe. Alors la réponse correcte est soit 2, soit 3, mais surement pas 1.

Je vais le refaire avec

1/ Elle reste pendant très longtemps dans la cavité sans toucher le bord

ce qui est plus proche de "non 2" ! (Et aurait largement suffit à résoudre le contentieux à l'origine de ce fil )

Conclusion, le questionnaire est mal fait, je te l'accorde. Mais j'étais un peu énervé quand je l'ai créé Mais le résultat de la discussion est bon, au sens où elle a été constructive.

Amicalement,

[invitefa5fd80c]

Oui le centre de masse de la Terre est accéléré et en mouvement par rapport a 1 quelconque repère.

Dans un référentiel inertiel (nous sommes dans un cadre newtonien), l'accélération de la Terre dans le champ gravitationnel de la Lune, supposant une symétrie sphérique, est: .

Par rapport a 1 repère situé au centre de masse il est immobile par construction. Non?

De toute évidence.

S'agissant du mouvement de la bille il exacte qu'il faudrait tenir compte que la Terre est accélérée par rapport à la Lune. Il faudrait donc ajouter un terme correctif, mais celui-ci est négligeable;

L'accélération de la Terre dans un référentiel inertiel étant , la force fictive agissant sur la bille (de masse m) dans le repère du centre de masse de la Terre est : , c'est-à-dire la même que la force gravitationnelle exercée sur la bille par la Lune, mais en sens inverse.

Amicalement

[invitefa5fd80c]

Je vais le refaire avec

1/ Elle reste pendant très longtemps dans la cavité sans toucher le bord

ce qui est plus proche de "non 2" ! (Et aurait largement suffit à résoudre le contentieux à l'origine de ce fil )

Il faudrait aussi ajouter la dimension de la cavité Parce qu'avec une cavité suffisamment petite, la bille touchera la paroi

Mais j'étais un peu énervé quand je l'ai créé

Euh...pourquoi ?

Non okay, je pense que je comprends

Mais le résultat de la discussion est bon, au sens où elle a été constructive.

Ça a été amusant

Amicalement

PS: si je trouve sur Internet la démonstration que tu demandais ci-haut, je te donnerai le lien.

[pmdec]

Bonsoir,

Je viens, tardivement, mettre mon grain de sel (plus facile après avoir lu les différents arguments...).

Je propose de regarder les choses différemment :

- 1 Cas de la Terre, parfaitement ronde et symétrique, et d'une bille. Rien d'autre. La bille, dans une cavité centrée sur le centre de la Terre, n'est soumise à aucune force. Les deux corps n'agissent pas l'un sur l'autre (quant à leurs mouvements) et peuvent donc être considérés comme indépendants (de ce point de vue).

- 2 La même Terre + la Lune. Les deux tournent autour de leur centre de masse "résultant" P : du fait de leur différences de masse, la Lune décrit une orbite beaucoup plus grande que la Terre, mais la Terre décrit une orbite autour de ce point P.

- 3 La même Lune + la bille, lancée à la même vitesse que la Terre (autour de P) à un moment t quelconque : la bille et la Lune vont tourner autour de leur centre de masse commun, très voisin (vraiment beaucoup très !) de celui de la Lune. En aucun cas la bille et la Lune ne vont décrire des orbites autour de P.

Puisque dans le cas 1 la bille et la Terre étaient "indépendantes", on peut "ajouter" les cas 2 et 3. Donc la bille et la Terre ne vont pas décrire des orbites identiques.

Où est-ce que c'est donc faux ?

[inviteb836950d]

...
- 3 La même Lune + la bille, lancée à la même vitesse que la Terre (autour de P) à un moment t quelconque : la bille et la Lune vont tourner autour de leur centre de masse commun, très voisin (vraiment beaucoup très !) de celui de la Lune. En aucun cas la bille et la Lune ne vont décrire des orbites autour de P.


Où est-ce que c'est donc faux ?

Bonsoir,
le cas 3 est faux :

si la bille ne voit plus la terre, par contre la lune la voit toujours !

La lune tournera donc toujours autour de P.

La bille tournera autour de la lune : il suffit de calculer le mouvement résultant...

[pmdec]

Bonsoir,

Bonsoir,
le cas 3 est faux :

si la bille ne voit plus la terre, par contre la lune la voit toujours !

La lune tournera donc toujours autour de P.

La bille tournera autour de la lune : il suffit de calculer le mouvement résultant...

Tu dois avoir raison. Si l'on se place dans un repère luno-centré (sélénocentré pour les puristes ?), et avec des corps bien symétriques, la Terre et la bille "sont lancés" sur des orbites identiques et il n'y a pas de raison que ça change : pas de déplacement de la bille par rapport à la Terre.
Est-ce qu'en présence du Soleil le raisonnement est le même ?
Il n'y aurait aurait donc pas de "phénomène de marée" au centre des corps ? Et seulement un shouïo-effet au voisinage du centre ?

[invité576543]

Bonjour,

J'ai lancé un "épisode 2", avec un sondage un peu différent!

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

L'accélération de la Terre dans un référentiel inertiel étant , la force fictive agissant sur la bille (de masse m) dans le repère du centre de masse de la Terre est : , c'est-à-dire la même que la force gravitationnelle exercée sur la bille par la Lune, mais en sens inverse.

Amicalement

J'ai bien compris que c'est ainsi que tu raisonnais. J'ai répondu à cette argumentation dans un post précédent. Pour discuter le problème autrement j'ai vais modifier l'expérience de pensée.
.
Soit une Terre guidée uniformément par un rail (c'est donc la définition d'une contrainte) de sorte que son mouvement soit galiléen. Bien entendu si une place une bille au centre (la Terre étant supposée sphérique) la bille restera au centre. mais attention comme elle n'est pas en contact cet équilibre est marginalement instable (au sens de la théorie des systèmes dynamiques) car tous les points de la cavité sont au même potentiel gravitationnel.
.
Maintenant plaçons une perturbation gravitationnelle quelconque externe à la cavité: Ce peut être une inhomogénéité de la Terre un défaut de sphéricité ou une Lune, peu importe.
.
Le développement limité de cette pertubation au voisinage de la cavité donnera systématiquement une force dont l'effet est de plaquer la bille sur la paroi de la cavité.
.
Maintenant revenons a notre problème. la Terre n'est pas en mouvement galiléen parceque son centre de gravité ne coïncide pas avec le centre de gravité du système Terre-Lune. cela est du au fait que le rapport: ML/MT n'est pas nul mais beaucoup plus petit que 1.
.
Si l'on veut tenir compte du caractère non galiléen du mouvement de la Terre l'équation du mouvement de la bille (dans un repère terreste non galiléen) sera:

m.dv/dt = -FL + F(ML/MT)

pour rappel

m est la masse de la bille

FL est la perturbation gravitationnelle quelconque (ici la Lune).

F(ML/MT) est la correction due aux forces d'entrainement qui tend vers zéro lorsque la masse de la Terre est beaucoup plus grande que celle de la lune ce qui pas loin d'être le cas