calcul d'énergie potentielle

[invite00c17237]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème de maths en physique

Dans un exo de mécanique,

L'énergie potentielle vaut:

Ep(x,y)=1/2k([(xp-x)^2+(yp-y)^2]^(1/2)-L)^2

Puis ils me disent que le développement limité à l'ordre2 en x,y est donné par

Ep(x,y)= 1/2*k*1/L^4*(x*xp+y*yp)^2

Je n'arrive pas à retrouver ce résultat. J'ai essayé en utilisant e développement limité pour les fonctions de plusieurs variables avec les notations de Monge. Mais je n'ai pas trouvé.

Je vous remercie d'avance

Ps:
Cette exo se trouve dans le hp prépa mécanique 2 pour ceux qui sont intéressés
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[invite8c514936]

Il doit manquer une donnée, non ? Par hasard L ne dépendrait-il pas aussi de x et y ? Et le DL c'est pour x et y proches de 0 ou proches de xp et yp ?

[invite00c17237]

tu as raison : ce que j'ai donné est bien incomplet
le dl c'est pour x,y proche de 0 -> position d'équilibre pour x=0 et y=0

et de part la géométrie du système (pas donnée ici), on a

l^2=xp^2+yp^2

[invite8c514936]

OK, alors je crois que ça marche : tu commences par développer



en utilisant



Tu obtiens



et donc



Tu veux le carré de cette expression au second ordre, donc tu peux éliminer tous les seconds ordres de cette expression (qui donneront de l'ordre 4 une fois mis au carré) et ça donne



Je ne trouve pas la même puissance de L que celle que tu indiques mais la tienne me semble suspecte, car ça ne colle pas au niveau des dimensions... Tout ça te semble correct ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00c17237]

oui merci beaucoup; il y avait bien une erreur dans le bouquin.

A la suite de ce calcul, il ya encore une étape de calcul qui m'échappe. C'est serait super si tu pouvais me débloquer.

D'où j'obtiens

Ep=k(x^2+y^2)=k*norm(OM)^2

avec 4 ressorts aux points d'attache (xp,yp)=(L,O)
=(0,L)
=(-L,0)
=(0,-L)

Puis, je dois en déduire la force à laquelle est soumis mon mobile

Donc je fais:
-> ->
F = - grad Ep

et

ils obtiennent

-> ->
F = -k OM
--> ->
Mais pour moi grad norm(OM) = OM

mais ici on a norm(OM) au carré

[invite8c514936]

Attention, le gradient de la norme de OM a pour coordonnées . Par exemple pour la coordonnée x,



donc le gradient de norme de OM, ce n'est pas le vecteur OM mais ce vecteur divisé par la norme de OM : c'est le vecteur unitaire orienté selon OM.

Par contre, le gradient du carré de la norme de OM a pour coordonnée x :



Si bien que le gradient du carré de la norme de OM, c'est deux fois le vecteur OM...