Relativité, calcul d'énergie

[LoicM]

Bonjour,

J'arrive à une absurdité et ne vois pas où je me trompe.

Voici le sujet de ma perplexité:

Soit une particule de quadri-impulsion p. Soit un observateur de quadri-vitesse u . (signature : (+ - - -).
Dans le référentiel de l'observateur, sa propre quadrivitesse a pour composantes : (c,0) (puisque gamma=1et u=0).
L'énergie E de la particule mesurée dans le référentiel R0 de l'observateur est égale à p°c, si p°, est la composante temporelle de l'impulsion de la particule mesurée dans R0.Donc dans R0 on peut écrire : E=p.u puisque p.u = p°c-p.0 dans R0.
Le produit scalaire étant un invariant de Lorentz, cette relation est vraie dans tout référentiel, c'est à dire que, dans tout référentiel, l'énergie de la particule mesurée dans le référentiel de l'observateur est égale au produit de la quadri-impulsion de la particule par la quadri-vitesse de l'observateur.
On a donc la relation : E=p.u (cf. relation (2.31) de Misner-Thorne-Wheeler p.65 (au signe près à cause la la signature différente de ce livre (- +++)).
Jusque là tout va bien.

Maintenant si j'élève ma relation au carré, j'obtiens : E²=(p.u)²=p².u²
Or, p² est l'invariant de Lorentz bien connu = m² (m, masse de la particule), et u², carré d'un quadrivecteur, est aussi invariant de Lorentz, et vaut c² (donné par exemple par calcul dans référentiel de l'observateur lui-même, comme indiqué ci-dessus).

On obtient donc E²=m²c² !! Ce qui est manifestement faux puisque E dépend du référentiel et vaut E=gamma.mc², pour le gamma de la vitesse de la particule dans le ref considéré.

Je cherche depuis des heures où est l'erreur et je n'arrive pas à trouver.

Quelqu'un peut-t'il m'aider?

Merci!
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[invité576543]

Maintenant si j'élève ma relation au carré, j'obtiens : E²=(p.u)²=p².u²

Le = est faux. Le produit scalaire des deux carrés n'a pas de sens clair. Si on considère que le carré est un réel, c'est le produit normal. Mais c'est clairement faux, suffit de voir avec une métrique usuelle: (v.w)² = (cos a)² v² w², avec a l'angle entre les deux vecteurs.

(p.u)²/p²u² = (p.u)²/p² = (p.u)²/m² = (v.u)² et représente le carré du "cosinus" de l'angle des deux quadri-vitesses, qui a un rapport avec le facteur gamma. (Pas vraiment le cosinus, cause signature...)


Cordialement,

[Karibou Blanc]

Bonjour,

J'arrive à une absurdité et ne vois pas où je me trompe.

Voici le sujet de ma perplexité:

Soit une particule de quadri-impulsion p. Soit un observateur de quadri-vitesse u . (signature : (+ - - -).
Dans le référentiel de l'observateur, sa propre quadrivitesse a pour composantes : (c,0) (puisque gamma=1et u=0).
L'énergie E de la particule mesurée dans le référentiel R0 de l'observateur est égale à p°c, si p°, est la composante temporelle de l'impulsion de la particule mesurée dans R0.Donc dans R0 on peut écrire : E=p.u puisque p.u = p°c-p.0 dans R0.
Le produit scalaire étant un invariant de Lorentz, cette relation est vraie dans tout référentiel, c'est à dire que, dans tout référentiel, l'énergie de la particule mesurée dans le référentiel de l'observateur est égale au produit de la quadri-impulsion de la particule par la quadri-vitesse de l'observateur.
On a donc la relation : E=p.u (cf. relation (2.31) de Misner-Thorne-Wheeler p.65 (au signe près à cause la la signature différente de ce livre (- +++)).
Jusque là tout va bien.

Maintenant si j'élève ma relation au carré, j'obtiens : E²=(p.u)²=p².u²
Or, p² est l'invariant de Lorentz bien connu = m² (m, masse de la particule), et u², carré d'un quadrivecteur, est aussi invariant de Lorentz, et vaut c² (donné par exemple par calcul dans référentiel de l'observateur lui-même, comme indiqué ci-dessus).

On obtient donc E²=m²c² !! Ce qui est manifestement faux puisque E dépend du référentiel et vaut E=gamma.mc², pour le gamma de la vitesse de la particule dans le ref considéré.

Je cherche depuis des heures où est l'erreur et je n'arrive pas à trouver.

Quelqu'un peut-t'il m'aider?

Merci!

L'erreur est en gras, lorsque tu élèves au carré, c'est le produit scalaire qui est au carré, et non chaque composante prise séparement. ta dernière égalité est fause en général. D'ailleurs si p^2 et u^2 sont des invariants (des scalaires) alors le point dans ta dernière expression n'a pas de sens...

(edit: croissement avec mmy)

[LoicM]

L'erreur est en gras, lorsque tu élèves au carré, c'est le produit scalaire qui est au carré, et non chaque composante prise séparement. ta dernière égalité est fause en général. D'ailleurs si p^2 et u^2 sont des invariants (des scalaires) alors le point dans ta dernière expression n'a pas de sens...

(edit: croissement avec mmy)

Merci à tous les deux. J'ai en effet oublié l'inégalité de Cauchy-Schwarz ( ou plutôt son équivalent dans cette signature, qui il me semble inverse le sens de l'inégalité). Le point entre p^2 et u^2 était la simple multiplication de 2 scalaires, mais l'égalité est bien fausse.

Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

Le point entre p^2 et u^2 était la simple multiplication de 2 scalaires, mais l'égalité est bien fausse.

ok, mais comme le point dénote en général un produit scalaire (cf ta première égalité), c'est délicat de l'utiliser aussi pour de simples multiplications