Fusée à eau - Modèle numérique

[inviteb1f75910]

Bonjour!
Pour faire suite à la discussion concernant le calcul de la proportion d’eau pour obtenir une hauteur optimale avec une fusée à eau (voir http://forums.futura-sciences.com/post1147227-11.html) j’ai réalisé un modèle numérique sur MATLAB pour résoudre les équations de cette problématique.

Voici quelques résultats intéressants qui ressortent de cette analyse :
- La proportion optimale trouvée est d’environ 12cm d’eau dans une bouteille de 2L (environ 1/3 de la bouteille) (l’expérience semble confirmer cette proportion)
- La phase de propulsion dure 0.1 seconde.
- Pendant un bref instant, juste après la propulsion, la fusée atteint 80m/s.
- L’accélération initiale est de 35g.
- La fusée a pris 3m de hauteur pendant la propulsion
- La fusée atteint sa hauteur max. après 3 secondes.
- Cette hauteur max. est de 62m.


Les équations sont intégrées avec un schéma d’Euler explicite.
J’ai tenu compte du fait que la pression diminue graduellement durant la phase propulsion. Cette diminution de pression entraîne une diminution de la hauteur max. atteinte de l’ordre de 15%, par rapport à un cas ou la pression est considérée constante.

Pour le calcul de la hauteur max. atteinte, le calcul de la friction de l’air est crucial. On connaît bien la variation de la traînée aérodynamique en fonction de la vitesse de la bouteille. La difficulté réside dans le calcul du coefficient de frottement de la bouteille (Cd ou Cx). Pour cela, j’ai réalisé une autre analyse numérique sur un logiciel commercial (résolveur des équations de Navier-Stokes). J’ai obtenu le résultat que j’avais estimé : soit un Cd de 0.2. Ci-dessous, les résultats des champs de vitesse et de pression.

Mes simplifications sont :
1- Température constante lors de la détente (fort probablement négligeable)
2- J’ai négligé le frottement de l’eau dans la bouteille.
3- J’ai négligé également la poussée supplémentaire due à la pression résiduelle dans la bouteille lorsque l’eau vient juste d’être entièrement éjectée de la bouteille.
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[inviteb1f75910]

Voilà un petit vidéo du lancement d'une fusée à eau. Le temps de montée semble bien correspondre avec les calculs présentés ci-haut. En première approximation, la hauteur semble également assez bien correspondre... Pour ce qui est de l'accélération et de la vitesse max. atteinte, il faudrait des capteurs!

Ci-dessous, quelques photos pendant le lancement...

[mbochud]

Salut,

Vitesse d’éjection de l’eau par rapport au sol.
La vitesse d’éjection par rapport à la fusée est de 32m/s au départ.
Si l’on regarde la vitesse de l’eau éjectée par rapport au sol, on obtient une vitesse de 32m/s (vers le bas) au départ (la fusée a une vitesse nulle).
À la fin de l’éjection, la fusée a 80 m/s (vers le haut), et l’eau est éjectée à un peu moins de 32m/s ( la pression a baissé) (vers le bas) , ce qui donne une vitesse d’éjection (vers le haut) de l’ordre de 50m/s.
Il existe donc une hauteur où la vitesse d’éjection par rapport au sol est nulle.

[inviteb1f75910]

salut,
oui effectivement et cette hauteur est d'environ 1m (à la hauteur de nos yeux!). Cela survient après 0.07 secondes!

[A voir en vidéo sur Futura]

[cedbont]

Bonjour,
le fait d'éjecter de l'eau, ça va modifier le Cx, non ?

[invitee6ea268a]

Bonjour,
Ca modifie un peu la trainee de culot. Ca ajoute surtout un terme non negligeable dans le PFD...

[cedbont]

Ca ajoute surtout un terme non negligeable dans le PFD...

Oui, mais je pense qu'il a déjà été compté sinon la fusée n'irait pas très loin !

[inviteb1f75910]

L'influence du jet de sortie sur le Cx est très très faible. On se situe dans une zone ou l'écoulement est décroché.

de plus, je me demandais si le diamètre du goulot a une grande importance. Les résultats semblent montrer que non. La quantité d'énergie transporter est la même... On a quand même avantage à réduire un peu la section du goulot, de cette façon, la poussée est plus longue, la vitesse max. atteinte est moins importante également, donc on perd moins d'énergie en traînée aérodynamique. Mais on ne peut pas trop réduire la section du goulot, car on perdrait trop d'énergie en friction (le passage de l'eau dans le goulot).

en passant, je renvoie mon vidéo, je crois qu'il ne marchait pas la première fois que je l'ai envoyé.

[FC05]

Deux choses :
- la détente est trés rapide, on peut considerer qu'elle est adiabatique, donc la température baisse (fortement).

- d'expérience, ce qu'on perd par friction, en réduisant le goulot est bien plus important que ce qu'on peut gagner par ailleur.

[inviteb1f75910]

Salut FC05,

effectivement, je n'ai pas évalué les pertes par friction dans le goulot, mais elles deviennent surement très importante... Si j'ai un peu de temps, j'essaierai de les évaluer.

Pour ce qui est de la détente adiabatique, je suis également d'accord. On exerce un travail négatif, donc il y aura refroidissement selon le premier principe de la thermo. Instinctivement, j'aurais tendance à dire que ca doit pas beaucoup jouer sur la vitesse max. atteinte sur la hauteur max. Je vais essayer de quantifier ce refroidissement également quand j'aurai un peu de temps!

[inviteb1f75910]

j'ai évalué le refroidissement de l'air dans la bouteille lors de la détente:

selon le premier principe de la thermo:

U = W + Q

Or on suppose une détente adiabatique: Q = 0

Le travail est un travail de frontière et est donné par:

W = P dV

J'ai pris une valeur moyenne de P lors de la détente pour évaluer cet intégral. J'obtiens un travail de -0.43 kJ.

Ensuite, pour un gaz parfait, on sait que:

U = C_V T

J'obtiens donc un refroidisemment de l'air lors de la détente de 0.6 degré seulement....

Je m'attendais à plus que ça... est-ce que j'ai fait une erreur majeure quelque part? merci

[cedbont]

Alors j'ai aussi fait une "simulation numérique" mais sous Maple et je ne trouve pas exactement les mêmes résultats, surtout en terme d'altitude atteinte. Je mets ci-dessous la procédure (n'hésitez pas à demander si c'est pas clair) :

> restart;

> VZfdp:=proc(N)
local i:
global Alt,Mei,Mb,Vb,Pinit,Patm,S,Sej ,rhoa,rhoe,Cx,g,a,v,z,me,P,Fp, Vej,dt,k,K,V;
Alt:=0:
Mei:=0:
Mb:=0.05:
Vb:=0.002:
Pinit:=5*10**5:
Patm:=1*10**5:
S:=Pi*(0.073)**2:
Sej:=Pi*(0.021)**2:
rhoa:=1.2:
rhoe:=1000:
Cx:=0.2:
g:=9.81:
for i from 1 to N do
a:=table():
v:=table():
z:=table():
me:=table():
P:=table():
Fp:=table():
Vej:=table():
v[0]:=0:
z[0]:=0:
me[0]:=Vb*rhoe*i/N:
P[0]:=Pinit:
dt:=0.0001:
k:=0:
while me[k]>0 and k<500 do
Vej[k]:=sqrt(2*(P[k]-Patm)/rhoe):
me[k+1]:=evalf(me[k]-rhoe*Vej[k]*Sej*dt):
Fp[k]:=Vej[k]*(me[k]-me[k+1])/dt:
a[k]:=evalf((Fp[k]-0.5*rhoa*S*Cx*v[k]**2)/(Mb+me[k])-g):
v[k+1]:=a[k]*dt+v[k]:
z[k+1]:=v[k]*dt+z[k]:
P[k+1]:=Pinit*(Vb-me[0]/rhoe)/(Vb-me[k+1]/rhoe):
k:=k+1:
od:
k:=k-1:
while v[k]>0 and k<50000 do
v[k+1]:=evalf(-((0.5*rhoa*S*Cx*v[k]**2)/Mb+g)*dt+v[k]):
z[k+1]:=v[k]*dt+z[k]:
k:=k+1:
od:
print(z[k-1],evalf(i/N),(k-1)*dt,v[k]);
od:
end;

Voici les résultats que j'obtiens au bout de quelques minutes de calcul pour l'exécution de VZfdp(100); avec en premier l'altitude maximale atteinte, ensuite le taux de remplissage en eau de la bouteille, le temps d'ascension et la vitesse au maximum d'altitude (pour s'assurer qu'elle est bien "nulle") (tout est en unités SI) :

3.521163551, 0.01000000000, 0.8277, -0.0009765936694
8.518894249, 0.02000000000, 1.2446, -0.0004182357259
12.52076786, 0.03000000000, 1.4685, -0.0009175086284
15.56399538, 0.04000000000, 1.6037, -0.00002003393491
17.90726430, 0.05000000000, 1.6932, -0.0008224882713
20.93724242, 0.06000000000, 1.7937, -0.0009153540514
22.31558900, 0.07000000000, 1.8347, -0.0001677575396
23.42435221, 0.08000000000, 1.8659, -0.0002405857131
25.30762116, 0.09000000000, 1.9152, -0.0004764785579
25.97585036, 0.1000000000, 1.9319, -0.0008775407107
27.40764744, 0.1100000000, 1.9656, -0.00009060324129
27.78420575, 0.1200000000, 1.9744, -0.0006520769263
28.89251422, 0.1300000000, 1.9988, -0.0007332457883
29.85959869, 0.1400000000, 2.0192, -0.0008084438564
29.92391051, 0.1500000000, 2.0208, -0.0006665211791
30.67256326, 0.1600000000, 2.0360, -0.00006659180076
31.31908433, 0.1700000000, 2.0489, -0.0005683116555
31.87228040, 0.1800000000, 2.0597, -0.0007840694658
31.66191328, 0.1900000000, 2.0561, -0.0008559852130
32.06789874, 0.2000000000, 2.0640, -0.0006004505390
32.40011783, 0.2100000000, 2.0704, -0.00001229982107
33.28484641, 0.2200000000, 2.0867, -0.0007973822225
33.46445083, 0.2300000000, 2.0902, -0.0006324883846
33.58360703, 0.2400000000, 2.0926, -0.0001315337794
33.64629976, 0.2500000000, 2.0941, -0.0004327272576
34.21627725, 0.2600000000, 2.1043, -0.0008131176444
34.15498652, 0.2700000000, 2.1036, -0.0002580563148
34.58205208, 0.2800000000, 2.1112, -0.0002644842827
34.40912980, 0.2900000000, 2.1087, -0.0001399104961
34.70124096, 0.3000000000, 2.1140, -0.00007115292073
34.92527678, 0.3100000000, 2.1182, -0.0006722535451
34.59597666, 0.3200000000, 2.1131, -0.00001858271492
34.69811414, 0.3300000000, 2.1153, -0.0005338182910
35.20067354, 0.3400000000, 2.1240, -0.0001091188989
35.16583505, 0.3500000000, 2.1239, -0.0001584680758
35.07145815, 0.3600000000, 2.1229, -0.0008921892636
35.35306667, 0.3700000000, 2.1279, -0.00004642060321
35.13031118, 0.3800000000, 2.1248, -0.0004854617348
35.26595760, 0.3900000000, 2.1275, -0.0002330775892
35.32679907, 0.4000000000, 2.1290, -0.0001370975573
35.31305924, 0.4100000000, 2.1293, -0.00008686604131
35.22582416, 0.4200000000, 2.1285, -0.0009282926843
35.06708653, 0.4300000000, 2.1264, -0.0005256323631
35.20531482, 0.4400000000, 2.1292, -0.00007435908860
34.89613143, 0.4500000000, 2.1247, -0.0004161619369
34.86672414, 0.4600000000, 2.1248, -0.0003556223370
34.75154057, 0.4700000000, 2.1235, -0.0005097566334
34.88257818, 0.4800000000, 2.1263, -0.0002358856572
34.58744701, 0.4900000000, 2.1220, -0.0003868163524
34.52309428, 0.5000000000, 2.1216, -0.0006024075690
34.35834161, 0.5100000000, 2.1195, -0.0008041615405
34.39192771, 0.5200000000, 2.1208, -0.0008926605636
34.01849977, 0.5300000000, 2.1150, -0.00001256930107
33.82767950, 0.5400000000, 2.1125, -0.0007453554641
33.79329649, 0.5500000000, 2.1127, -0.0008593101800
33.62794667, 0.5600000000, 2.1106, -0.0008525455050
33.33077662, 0.5700000000, 2.1061, -0.0004214403758
33.15046690, 0.5800000000, 2.1037, -0.00009434636916
32.82265004, 0.5900000000, 2.0987, -0.0007490732601
32.57815512, 0.6000000000, 2.0951, -0.0003496427100
32.17117669, 0.6100000000, 2.0885, -0.0007678365129
32.02507674, 0.6200000000, 2.0868, -0.0008908681236
31.68257438, 0.6300000000, 2.0813, -0.0006795557140
28.67282239, 0.6400000000, 2.0198, -0.0001225273336
26.19163430, 0.6500000000, 1.9627, -0.0001663036917
24.11857903, 0.6600000000, 1.9099, -0.0002257360314
22.31105893, 0.6700000000, 1.8596, -0.0005238949271
20.69306096, 0.6800000000, 1.8107, -0.00007743873758
19.21888343, 0.6900000000, 1.7627, -0.00006511327287
17.85877086, 0.7000000000, 1.7152, -0.0006749141151
16.59222143, 0.7100000000, 1.6678, -0.0009494214831
15.40451157, 0.7200000000, 1.6202, -0.0002027491228
14.28474134, 0.7300000000, 1.5724, -0.0002272790704
13.22464486, 0.7400000000, 1.5242, -0.0005401029889
12.21785839, 0.7500000000, 1.4754, -0.0004379707475
11.25942841, 0.7600000000, 1.4259, -0.00004041213435
10.34548006, 0.7700000000, 1.3757, -0.0003343833273
9.472988746, 0.7800000000, 1.3246, -0.0002579661158
8.639616714, 0.7900000000, 1.2726, -0.0006452937185
7.843595134, 0.8000000000, 1.2195, -0.0003172584867
7.083639991, 0.8100000000, 1.1653, -0.00001284910007
6.358889057, 0.8200000000, 1.1100, -0.0004320439786
5.668856885, 0.8300000000, 1.0534, -0.0002751054254
5.013404906, 0.8400000000, 0.9955, -0.0001599285037
4.392719661, 0.8500000000, 0.9363, -0.0006505356663
3.807302448, 0.8600000000, 0.8756, -0.0002724464395
3.257965680, 0.8700000000, 0.8135, -0.0003819810734
2.745838271, 0.8800000000, 0.7499, -0.0001953937150
2.272380143, 0.8900000000, 0.6849, -0.0005972601411
1.839407573, 0.9000000000, 0.6184, -1.365563657.10^-7
1.449135825, 0.9100000000, 0.5508, -0.0007865455648
1.104250317, 0.9200000000, 0.4822, -0.0005578401016
0.8080523492, 0.9300000000, 0.4135, -0.0008019386615
0.5641821811, 0.9400000000, 0.3461, -0.0003996544162
0.3725068403, 0.9500000000, 0.2816, -0.0001765284164
0.2271200219, 0.9600000000, 0.2201, -0.00002283094479
0.1220726464, 0.9700000000, 0.1615, -0.0003015216230
0.05215661902, 0.9800000000, 0.1056, -0.0003731389486
0.01281223552, 0.9900000000, 0.0523, -0.0004249585337
0.0001462773161, 1., 0.0055, -0.0008701631938

Donc on remarque que l'altitude maximale atteinte est de 35.35 m pour un pourcentage de remplissage en eau de 37%, au bout de 2.13 s.

[mbochud]

j'ai évalué le refroidissement de l'air dans la bouteille lors de la détente:

J'obtiens un travail de -0.43 kJ.

Je m'attendais à plus que ça... est-ce que j'ai fait une erreur majeure quelque part? merci

Salut,

Il y a une petite erreur dans le calcul du refroidissement de l'air lors de la détente. Un calcul très approximatif donne :

-430 Joules pour environ 1,5 litre à environ 5atm
capacité cal de l’air (volume ct , ce qui n’est pas ici rigoureux) 21 J/mole C.
Cela donne un abaissement de 68C ( en supposant que la détente est assez rapide pour ne pas avoir d’échange avec les parois) . Donc T passe de 20C à – 38C.
Le film à la fin montre bien l’état de sursaturation en vapeur d’eau.

[FC05]

Pour la température, page 15 ...

[inviteb1f75910]

Salut Cedbont,
jai testé ton programme maple.

Je ne comprend pas ta condition d'entrée dans la boucle while, pourquoi mettre "k" ?

J'ai fait quelques modifications:
- j'ai oté la condition sur k
- j'ai diminué ton pas de temps
- le 5 atm est une pression jauge
- le rayon du goulot est 0.0105 m
- le rayon de la bouteille est a peu pres 0.06 m

J'arrive alors à 53 m d'altitude. C'est génial on a pas mal les mêmes résultats. Normal, on résout les mêmes équations!

Par expérience, la bouteille monte plus haut de 30 m.

[cedbont]

Le k c'est c'est au cas où il y ait des milliers de fois la même boucle, pour arrêter le programme, je teste avec les nouvelles valeurs (je m'étais un peu planté dans le rayon du goulot !).

[cedbont]

En refaisant travailler Maple et en ayant changé juste le goulot, on trouve sensiblement la même chose. En mettant le rayon de la bouteille à 6 cm, je monte à, seulement , 46,5 m.
C'est quoi pour toi une

pression jauge

?

[mbochud]

La pression de 5 atm est ici une pression relative (en anglais, P gage) donc 600 kPa absolue.

Pour la température, je corrige 20C- 68C= -48C

[Juju41]

Bonjour à tous !
Avec un liquide plus visqueux dans la bouteille (huile par exemple), on y gagne ou pas ?

[invite5c88c159]

Pour la détente adiabatique, je suis étonné que tu le decouvre après! Tu ne t'en es pas servi pour la modélisation numérique (formule de Laplace)?

Pour ce qui est de l'huile, juju, je pense que plus c'est viqueux et plus ca frotte en sortant de la bouteille, donc plus tu perds d'énergie. Ca ne me semble pas etre une bonne idée. Si tu veux ralentir la phase d'expulsion il vaut mieux diminuer la taille du trou (cf plus haut) et garder un liquide peu viqueux comme l'eau je pense.

[invitec9750284]

mmmmh je suis curieux de voir quelles équations vous utilisez...

[Juju41]

Je suis tombé sur cette simulation là : Logiciel
Qu'est ce que le pas de temps ?
Est-elle assez proche de la réalité selon vous ?

[cedbont]

Salut Juju41, ça doit être un programme assez proche de ce que pbochud et moi avons fait car pour des données initiales identiques, on trouve sensiblement le même résultat.
Le pas de calcul est en fait le petit temps dt durant laquelle on assimile l'évolution de toutes les grandeurs comme des variations linéaires dans la méthode d'Euler.
On voit ici que le rayon du goulot influe beaucoup sur l'altitude maximale atteinte, ...

[Juju41]

D'accord, merci !

[inviteb1f75910]

J'ai revérifié mes affaires pour le refroidissement de l'air...

j'avais fait une faute bête en disant que l'air se refroidissait de seulement 0.6 degré C... J'avais oublié de tenir compte de la masse d'air... mes calculs étaient alors implicement fait pour 1 kg d'air...

J'ai refait mes calculs (avec hypothèse de volume constant) et j'obtiens finalement la même réponse que mbochud, soit un refroidissement de 68 degrés. C'est énorme, mais étant donné la faible quantité d'air (faible inertie thermique) et l'énorme différence de température avec l'environnement, cet air très frais ne tarde pas à se réchauffer!
J'ai fait également les calculs avec la loi de laplace, sois PV^1.4 = cte. On obtient un refroidissement un peu moins important, mais dans le même ordre de grandeur.

Merci à FC05 pour son document PDF... un bon petit résumé!

Pour ce qui est de ton programme Juju41, je confirme avec Cedbont qu'il donne pas mal la même chose que nos programmes.

Une chose à faire attention par contre... Cedbont tu as dit dans ton dernier message que le rayon du goulot influe beaucoup sur l'altitude maximale atteinte... Je ne suis pas tout à fait d'accord... Réduit ton pas de temps et ta solution va changer pas mal. On trouve à peu près la même altitude max. atteinte. En fait, on se rend compte que la solution dépend beaucoup de notre pas de temps, ce qui n'est pas bon signe. Normalement, on recherche une convergence (indépendance) du pas de temps. Également, on a une problématique avec des variables qui subissent des forts gradients, il faut être prudent avec notre schéma d'intégration (premier ordre) d'Euler...

En fait, ça serait intéressant de changer le rayon du goulot et tester expérimentalement l'effet sur l'altitude max. atteinte.

[cedbont]

En fait pour l'influence du goulot j'ai utilisé le programme de Juju41 et on remarquait une différence assez flagrante lorsque le goulot est très petit ou grand...
En ce qui concerne le pas de temps, j'ai choisi 0.0001 s parce que le gain en temps de calcul pour la phase de poussée est assez énorme tandis que l'altitude max ne varie que de quelques centimètres en comparaison avec un pas de 0.00001 s.

[Juju41]

J'ai fait des essais avec un goulot normal, et je suis loin de l'altitude prévue.
Je n'ai pas encore mesuré mais c'est de l'ordre de la quinzaine de mètres, avec une bouteille de coca 1.5L à 6 bars.
Je vais essayer avec un petit goulot (diamètre 8mm) et à 8 bars.
(J'ai éjecté la bouteille sans ailerons, ni amélioration d'aérodynamique)

EDIT : 1L d'eau , 0.5L d'air

[cedbont]

Essaies avec 1 L d'air et 0.5 d'eau.

[invite06686390]

Un pitit Runge Kutta, ou si ça existe un algorithme d'intégration à pas adaptatif tout prêt serait peut etre le bienvenu...

Je n'ai fait que deux simulations dans ma vie, mais à chaque fois Euler me donnait de la m... par rapport à ce que j'obtenais avec RK ou une méthode à pas adaptatif...

Comme tu as une séquence assez brutale d'accélération, tu auras probablement besoinde ça...

[cedbont]

Ca marche comment Runge Kutta ?