Energie potentielle de gravitation

[inviteaceb3eac]

Salut à tous,
pourriez vous m'indiquer comment démontrer que l'énergie potentielle de gravitation est: ?
Merci d'avance
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[invite2c6a0bae]

Le plus simple est de prendre une distribution discrete et de dire, ben pour le continue, on mets une intégrale ^^ (c'est tres souvent fait en physique)

Si tu as le berkeley mécanique, p267, cela y est.




cette double somme n'est rien d 'autre que la somme sur toutes les paires et i!=j bien sur on ne compte pas toutes les paires !

Donc, si tu changes ton premier symbole de sommation :

cette fois si on compte deux fois la même interaction, donc je divise par deux.

Si on étant a une distribution continue, on a ta formule.

[inviteaceb3eac]

Merci pour ta réponse, c'est très clair
Alors c'est la définition de l'énergie potentielle ?

[invite2c6a0bae]

Non, ce n'est pas la définition de l'énergie potentielle.

Si tu veux construire uen distribution, il te faut un petit démon qui apporte de petite masse à l'endroit souhaité depuis l'infini avec une vitesse quasi nulle.

La première ne demande pas de travail. (puisqu'il n'y a rien au départ)
cette première masse crée un champ grav. Du coup, pour que la vitesse soit quasi nulle, faut que le petit démon retienne la masse qui est apportée, il retient par une force opposée à celle de l'interaction grav., il développe un travail. c'est de là que provient lénergie potentielle.

on a bien sur la même chose en électrostatique, puisque les lois sont similaires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaceb3eac]

OK, super explication "avec les mains"
Mais alors coment trouve-t'on l'expression si ce n'est pas une définition ?

[invite2c6a0bae]

bonjour

On peut prend comme définition de l'énergie potentielle, comme en électrostatique : E=qV ie E=mV

il en découle que
En d'autre terme : d E_p= F.dl

on a E_p=GmM/r

Voila, là tu as les diverses relations pour passer du champs aux forces etc

maintenant, la formule que tu cites est encore uen conséquence de tout ca, via le principe de superposition.
Regarde :
ici je mets m1, ca crée un champ ok ?

je vire ma masse m1
.............................. ......................La je mets m2, ca crée un autre champ

Je remets mon m1 sans toucher à m2, et bien en chaque point j'ai le champ issus de 1 + celui de 2 c'est le principe de superposition.

Ensuite d'où viennent mes sommes : (au risque de rabâcher un peu)
je mets m1, il crée un champ.
En placant m2, j'introduis une energie potentielle issue de l'interaction 1-2
Ensuite je place m3. Le petit demon doit ici retenir la masse à cause de 1 et 2, j'ai donc une intéraction 3-1,2 etc.

Sans avoir a faire appel au démon, si toute ta distribution est faite (le démon l'a faite dans ton dos, tu n'as rien vu)
1 est en interaction avec N-1 masses. il a donc une certaine énergie potentielle.
2 est en interaction avec N-1 masses, oui mais ! 1<->2 a deja été pris en compte précédemment., donc, je me retrouve à regarder les N-2 masses

tu vois dans mes deux manières de compter, que je compte les paires.
Si pour chaque particule je compte l'interaction avec toutes les autres, et bien, je compte une énergie potentielle deux fois trop grande, d'où le 1/2 de ma 2eme expression de mon message 2.


j'espere que mon explication est claire.

François

oops, dans mes relations d'hier, j'ai oublié mes G, on va dire que j'ai pris G=1

[inviteaceb3eac]

Salut,
oui ton explication est limpide merci bien
J'ai juste une petite question: je ne vois pas très bien comment il découle de E=mv que

[invite2c6a0bae]

grrrr c'est tellement que c'est limpide que ca découle

En fait, c'est pas terrible mon truc

reprenons

1/ On a F= GmM/r² (comme en électrostatique : F= qQ/ (4Pi epsilon_0 r²)

2/ On peut définir un champ A=F/m (comme en électrostatique : E=F/q) (ce sont des vecteurs bien sur)

3/ de plus, on peut ensuite définir un potentiel : je le fais ici en électrostatique, tu as compris que la gravitation, c'est pareil
E= - grad V

on montre que F est bien conservative puisque :


(le long d'un contour, ie de A à A, c'est bien nul :P )
http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_conservative

F= q E=-q grad V=-grad (qV) = -grad Ep
parce que l'on pose par def : Ep= qV (... ou mV )

voila comment on construit les choses ...

François

[inviteaceb3eac]

Pour la limpidité je parlais de l'explication du principe de superposition (pas forcément des calculs plus haut ) :

Regarde :
ici je mets m1, ca crée un champ ok ?

je vire ma masse m1
.............................. ......................La je mets m2, ca crée un autre champ

Je remets mon m1 sans toucher à m2, et bien en chaque point j'ai le champ issus de 1 + celui de 2 c'est le principe de superposition.

Ensuite d'où viennent mes sommes : (au risque de rabâcher un peu)
je mets m1, il crée un champ.
En placant m2, j'introduis une energie potentielle issue de l'interaction 1-2
Ensuite je place m3. Le petit demon doit ici retenir la masse à cause de 1 et 2, j'ai donc une intéraction 3-1,2 etc.

Sans avoir a faire appel au démon, si toute ta distribution est faite (le démon l'a faite dans ton dos, tu n'as rien vu)
1 est en interaction avec N-1 masses. il a donc une certaine énergie potentielle.
2 est en interaction avec N-1 masses, oui mais ! 1<->2 a deja été pris en compte précédemment., donc, je me retrouve à regarder les N-2 masses

tu vois dans mes deux manières de compter, que je compte les paires.
Si pour chaque particule je compte l'interaction avec toutes les autres, et bien, je compte une énergie potentielle deux fois trop grande, d'où le 1/2 de ma 2eme expression de mon message 2.

Là par contre les calculs sont très clairs :

grrrr c'est tellement que c'est limpide que ca découle

En fait, c'est pas terrible mon truc

reprenons

1/ On a F= GmM/r² (comme en électrostatique : F= qQ/ (4Pi epsilon_0 r²)

2/ On peut définir un champ A=F/m (comme en électrostatique : E=F/q) (ce sont des vecteurs bien sur)

3/ de plus, on peut ensuite définir un potentiel : je le fais ici en électrostatique, tu as compris que la gravitation, c'est pareil
E= - grad V

on montre que F est bien conservative puisque :


(le long d'un contour, ie de A à A, c'est bien nul :P )
http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_conservative

F= q E=-q grad V=-grad (qV) = -grad Ep
parce que l'on pose par def : Ep= qV (... ou mV )

voila comment on construit les choses ...

François

Bref, merci pour toutes tes explications!

[invite2c6a0bae]

Pour la limpidité je parlais de l'explication du principe de superposition (pas forcément des calculs plus haut ) :

T'inquiètes, j'avais compris, mais j'ai essayé de me rattraper avec le seul jeu de mot que j'avais sous la main

de rien, on est tous là pour s'entraider

François

[inviteaceb3eac]

T'inquiètes, j'avais compris, mais j'ai essayé de me rattraper avec le seul jeu de mot que j'avais sous la main

Ha ok, je vois

de rien, on est tous là pour s'entraider

Alors longue vie à ^^