Pertes de chaleur dans une canalisation

invite426803d1 · 01/08/2007, 18h55

Bonjour

Voici l'exposé du problème :

Une canalisation en inox et située en extérieur, de longueur L, transporte de l'eau chaude.
Connaissant la température de l'eau chaude à l"entrée de la canalisation, j'aimerais connaitre la température à la sortie (en fonction de la température de l'air ambiant)

A priori, les pertes de chaleur se font par conduction et convection forcée.
Je pense qu'il faut prendre en compte la conductivité, le diamètre et la longueur de la canalisation, la température de l'air, de l'eau à l'entrée. Peut-être y'a t-il d'autres variables ?

Quelqu'un peut-il m'aider car c'est pour étudier la nécessité ou pas d'installer un refroidisseur qui coute très cher.

Merci d'avance.

**cedbont** · 01/08/2007, 21h42

Bonjour,
oui, il y a un autre paramètre : la vitesse d'écoulement de l'eau.
Tu peux peut-être résoudre ton problème par le calcul en utilisant la formule de Fourier pour une tranche d'eau d'épaisseur dx, durant un temps dt... Mets-toi en régime permanent.

invite426803d1 · 02/08/2007, 09h20

Je suis perdu.
Pour connaitre la température à la sortie il faut connaitre le flux de chaleur perdu par l'eau.
Bref je trouve plein de formules mais je sais pas les utiliser

Merci d'avance pour votre aide

**cedbont** · 02/08/2007, 10h18

Bon, j'ai fait quelque chose au brouillon mais la vitesse d'écoulement n'apparaît pas (d'où une erreur possible ou une fausse intuition !). Cela vient aussi peut-être du fait que je me place en régime permanent. Le système considéré est une fine tranche d'eau d'épaisseur dx.
On note :
U son énergie interne,
$\text{[math]}$ sa masse volumique,
c sa chaleur massique,
T_(x) sa température à l'abscisse x,
$\text{[math]}$ sa conductivité thermique,
R le rayon intérieur de la canalisation,
$\text{[math]}$ la conductivité thermique de la canalisation,
e l'épaisseur de la canalisation,
T₀ la température de l'air.

De là, on a :

$\text{[math]}$

Or :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ici on a supposé que la température du tube à l'extérieur était toujours égale à T₀, ce qui est faux dans la réalité (mais bon, c'est une approximation) !

Donc, on simplifie :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

En régime permanent :

$\text{[math]}$

Donc :

$\text{[math]}$

Voilà, une belle équation différentielle que tu dois savoir résoudre

.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite426803d1 · 02/08/2007, 10h33

Le débit maximal est de 60 m3/h.
Dans ton calcul tu prends en compte la perte par conduction et/ou convection forcée.
Je m'attendais pas à des calculs si compliqués parce que moi et les maths...

**cedbont** · 02/08/2007, 11h08

Et oui des fois c'est décourageant, mais après des calculs assez lourds et des hypothèses simplificatrices, l'équation finale est plutôt simple, non ?

invite426803d1 · 02/08/2007, 12h09

Du coup tu prend pas en compte la convection forcée. J'ai trouvé une formule simplifiée : Q=h.S.deltaT ou h est le coef de transfert de chaleur (W.m-2.K-1)
Dans ta formule tu prends pas en compte non plus la surface totale de la canalisation, ni le débit de l'eau.

Désolé de toutes ces questions, mais je travaille dans une usine qui se pose la question d'installer ou non un refroidisseur pour les effluents et le refroidisseur coute 50000 €. Donc si le refroidissement des effluents par l'air ambiant en passant dans la canalisation est suffisant, ca ferait une grosse économie.

**mamono666** · 02/08/2007, 12h51

La convection n'a pas à etre prise en compte je pense, car tu as un débit imposé.

Et pour le rayonnement, il y a aussi la loi de stephan à prendre en compte. mais je n'ai pas fait de calcul d'ordre de grandeur...donc à voir....

**cedbont** · 02/08/2007, 13h30

aurel94, ta formule simplifiée pose un petit problème : elle n'est pas homogène, à moins que h s'exprime en J/m²/K et non en W/m²/K.
La surface totale de la canalisation est prise en compte puisque tu vois que R va intervenir dans la solution T(x), mais aussi la longueur de la canalisation qui sera l'abscisse x en fin de canalisation.
Par contre, il est vrai que l'équation différentielle proposée ne fait pas intervenir le débit de l'eau, ce qui est un peu bizarre pour moi.
Quant à ta dernière remarque, il faut noter que j'ai fait de nombreuses hypothèses simplificatrices :
-régime permanent,
-canalisation cylindrique,
-température du côté extérieur de la canalisation égale à celle de l'air.
Je pense qu'une simulation numérique serait ici très appropriée, surtout devant les coûts annoncés !

En résolvant l'équation différentielle on trouve comme température en x :
$\text{[math]}$
D'après les conditions initiales : C₁ = 0 et C₂ = T_(x=0) - T₀

**mamono666** · 02/08/2007, 14h44

ouais du coup le régime permanent enleve le temps dans les équations....

Mais sinon, le parametre x de distance n'est il pas la distance d'un point du liquide jusqu'à la paroie.
car à priori (vu la symétrie du probleme) le gradient de température sera dirigé du centre du tube vers l'extérieur (enfin, c'est radial en gros) qui plus est en régime permanent.

je sais pas si je suis clair, ou si je fais fausse route....

**cedbont** · 02/08/2007, 16h28

Envoyé par mamono666

Mais sinon, le parametre x de distance n'est il pas la distance d'un point du liquide jusqu'à la paroie.
car à priori (vu la symétrie du probleme) le gradient de température sera dirigé du centre du tube vers l'extérieur (enfin, c'est radial en gros) qui plus est en régime permanent.

Oui et non :
x représente la distance entre un plan d'abscisse x et le plan origine avec l'origine fixée là où le fluide entre dans la canalisation.
Il est vrai que le gradient de température est dirigé vers l'extérieur du tube, mais aussi de l'entrée vers la sortie. Moi, j'ai considéré que la température dans un plan d'abscisse x est constante (c'est faux, mais c'est la seule manière que je connais pour résoudre, analytiquement et en répondant en première approximation au problème).

invite21126052 · 02/08/2007, 18h49

il est totalement aberrant que la débit n'intervienne pas!
si on imagine un débit très rapide, l'eau n'aurait quasiment pas le temps de refroidir
au contraire, si c'est au goutte à goutte, l'eau serait en équilibre au bout d'une distance très courte

j'avais un exo un peu similaire... c'était pour un échangeur thermique, la situation me semble très similaire. je donne la réponse.
notations:
$\text{[math]}$ température d'entrée
$\text{[math]}$ temp de sortie
$\text{[math]}$ température extérieure
$\text{[math]}$ coef d'échange entre le milieu ext et la canalisation
$\text{[math]}$ surface totale d'échange (de la canalisation)
$\text{[math]}$ capa calorifique de l'eau
$\text{[math]}$ débit massique

alors $\text{[math]}$

c'était lorsque la température était plus grande à l'extérieur. je pense que ça marche tjs dans ton cas.

on avait entre autre hypothèses que l'épaisseur de la paroi est très faible par rapport au diamètre, que la conductivité de l'eau est nulle, que les échanges de chaleur se font proportionnellement à la surface et à la température:
$\text{[math]}$ , que la température d'une tranche de liquide est constante.

et, en prime:
$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ diamètre du tube ( $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ longueur) et x distance à l'entrée

**cedbont** · 02/08/2007, 18h53

C'est bizarre parce que la température en sortie ne dépend ni de la longueur du tube, ni de son épaisseur. Pourrais-tu montrer comment obtenir le résultat ?

invite21126052 · 02/08/2007, 19h02

la longueur du tube est cachée dans S, la surface d'échange, de même que le diamètre du tuyau (dont l'épaisseur est supposée négligeable)

j'écris la démo ds un autre post

invite21126052 · 02/08/2007, 20h19

une enceinte, étanche et indeformable, contient un fluide en phase liquide et vapeur. ces deux phases sont en équilibre thermique, à la meme température T.
[...]
dans la partie sup de l'enceinte, dans la vapeur, un tube où circule de l'eau liquide permet l'échange de chaleur avec la vapeur de l'enceinte.
dans ce tube, la masse d'eau circulant par unité de temps ( $\text{[math]}$ ) est mesurée avec un débitmètre, les temps de l'eau à l'entrée $\text{[math]}$ et à la sortie $\text{[math]}$ du tube sont mesurées avec un thermomètre.
Dans tte la suite de ce pb, la temp d'entrée de l'eau sera tjs inf à la temp du fluide dans l'enceinte ( $\text{[math]}$ ) et la valeur du débit $\text{[math]}$ n'est jamais nulle. (pour nous, on s'en fiche de ce point)

Variation de la temp de long du tube échangeur

question:On note $\text{[math]}$ la capa calorifique massique de l'eau. montrer que la puissance calorifique totale que reçoit l'eau qui circule ds le tube a pour expression: $\text{[math]}$

réponse:
energie thermique reçue par l'eau pdt $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ par définition
$\text{[math]}$

question:le tube est cylindrique, sa longueur est $\text{[math]}$ . L'épaisseur de la paroi qui sépare l'eau circulant ds le tube de la vapeur qui l'entoure est très faible par rapport au diamètre $\text{[math]}$ du tube
On admet que les échanges de chaleur se font proportionnellement à la surface d'échange et à la diff de temp avec un coeff d'échange $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$ la coordonnée d'une tranche d'eau d'épaisseur infinitésimale, comprise entre deux sections droites très voisines du tube et $\text{[math]}$ la temp de l'eau de cette tranche supposée uniforme.
La puissance calorifique qu'elle reçoit est $\text{[math]}$ ; ici $\text{[math]}$ est la surface de l'interface séparant les temp. $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , c'est donc la surface de la portion entourant la tranche de liquide. Par un bilan thermique, établir l'équa diff verifiée par $\text{[math]}$ . on posera $\text{[math]}$ . L'eau entrant ds le tube à x=0 à la temp $\text{[math]}$ , trouver l'expression de $\text{[math]}$

réponse:
bilan énergétique pour la tranche comprise entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , pdt $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
soit $\text{[math]}$ , donc
$\text{[math]}$

et on vérifie que la solution donnée avant correspond

je suis dispo pour des éventuels éclaircissements, si besoin.

**cedbont** · 03/08/2007, 13h28

OK, je suis d'accord sur les bilans et les équations, mais il manque cependant (dans les bilans) l'énergie absorbée par la tranche d'épaisseur infinitésimale due à la chaleur donnée par les tranches d'abcisse x-dx et x+dx.

invite426803d1 · 03/08/2007, 14h00

Et comment calcule t-on le coeff d'échange ? Merci

PS : désolé mon niveau est faible en thermique

**FonKy-** · 03/08/2007, 14h32

Hello, je n'ai pas encore regardé vos calculs, mais je trouve ca dangereux de se rapporter à des équations du niveau du supérieur certes, mais qui est surement simplifié et qui ne tient pas tout en compte.. Etant donné l'enjeu je ne saurai trop te conseiller de demander l'avis d'un spécialiste, cela dit il faut tout de meme remercier ceux qui t'aide à trouver ta solution et j'en ferai de meme pour verifier qu'il n'yest pas d'erreur.
Bien sur tout ceci n'est que ma propre opinion.

FonKy-

**mamono666** · 03/08/2007, 15h12

je veux bien un eclairssicement:

pourquoi mettre une enceinte et donc ce placer tjrs à la pression de vapeur saturante...

que vaut la température de sortie finallement?

**Ciscoo** · 03/08/2007, 15h23

Bonjour

si cela te dit, une étude/modélisation sur un échangeur tubulaire air/sol, autrement dit, un puits canadien, faite par David Amitrano à l'Université J. Fourier de grenoble, présentée sur le site suivant, avec influence du débit, du diamètre... :

http://pulligny38.free.fr/linotte/Di...s_canadien.pdf

Bonne journée.

**cedbont** · 03/08/2007, 15h31

mamono666, c'est juste un énoncé qui représente la situation étudiée : air extérieur à température constante.

**mamono666** · 03/08/2007, 15h58

ah ok,

et sinon ce coeff d'echange "a" de quoi dépend t-il?

invite21126052 · 03/08/2007, 18h33

Envoyé par cedbont

OK, je suis d'accord sur les bilans et les équations, mais il manque cependant (dans les bilans) l'énergie absorbée par la tranche d'épaisseur infinitésimale due à la chaleur donnée par les tranches d'abcisse x-dx et x+dx.

c'est parce qu'on suppose que la conductivité de l'eau est nulle, ce qui est justifié apparemment: http://fr.wikipedia.org/wiki/Conduct...mat.C3.A9riaux

FonKy, le risque est, à force de compliquer, de ne plus pouvoir le résoudre de façon analytique. De tte façon, rien que la loi de Fourier est une approximation, tout comme le fait de considérer que les échanges avec l'extérieur soit proportionnels à la différence de temp. et à la surface.

aurel, pour calculer le a, je vois rien d'autre qu'une mesure expérimentale.
tu fais différents essais, tu regardes la température, et tu regardes si la loi de variation que je t'ai donnée convient...
a priori il dépendrait du matériau, de l'épaisseur qu'on a négligée, et du temps atmosphérique (si le soleil tape dessus, la température descendra moins vite, et la température extérieure apparente différera peut être de la réelle)

bref, le mieux serait de faire des essais et des mesures...

**cedbont** · 03/08/2007, 18h40

Oui, mais on apparente ici l'échange entre l'eau et la canalisation, puis de la canalistaion avec l'air comme une sorte de modèle de Newton. Or, l'air n'absorbe pas très facilement la chaleur (ceci est qualitatif), d'où...

invite21126052 · 03/08/2007, 19h08

ds le modèle que je propose, c'est un peu comme si on considérait que ces deux phénomènes n'en formaient qu'un seul, que je (enfin, l'énoncé) modélise en loi linéaire.
parce que bon, je pense que ton tuyau va subir des variations de température, et en régime permanent, on aura une évolution parallèle de la température (par rapport à celle de l'eau)
bon il est vrai que la conduc thermique est supérieure... ça va probablement jouer... mais en tt les cas, c'est effectivement l'atmosphère qui jouera le rôle de thermostat je pense (si le soleil tape pas trop....)

mais comme dit, le mieux, c'est clairement de faire qqes essais, si c'est possible.
faut aussi voir à quelle précision on travaille, et le but de l'opération...

"Or, l'air n'absorbe pas très facilement la chaleur (ceci est qualitatif), d'où..."
le coefficient de diffusion est faible, ok, mais au niveau d'échange convectif, qu'en est-il?! en es tu en encore certain?? car c'est bien de cela dont il s'agit,
et tu as soufflé sur ta soupe trop chaude pour la refroidir, comme tout le monde!

**cedbont** · 03/08/2007, 19h34

Envoyé par planck

et tu as soufflé sur ta soupe trop chaude pour la refroidir, comme tout le monde!

Oui, mais ça n'a jamais marché (ma langue s'en souvient

).

Envoyé par planck

mais comme dit, le mieux, c'est clairement de faire qqes essais, si c'est possible.
faut aussi voir à quelle précision on travaille, et le but de l'opération...

Oui exactement, je pense qu'après tout ce qu'on a dit, il est temps de passer à l'expérimentation et la modélisation, surtout dans un projet industriel sérieux !

**mamono666** · 03/08/2007, 20h02

donc si "a" dépend de l'atmosphere qui l'entour: l'hypothese de l'enceinte qui suppose une atmosphere avec une pression saturante et à priori sans rayonnement, devrait etre replacé par un thermostat simplement, ce qui laisse l'hypothese du climat libre...mais ca ne change rien au calcul de tte facon (puisque a doit etre mesuré)

invite426803d1 · 03/08/2007, 22h30

Envoyé par planck

mais comme dit, le mieux, c'est clairement de faire qqes essais, si c'est possible.
faut aussi voir à quelle précision on travaille, et le but de l'opération...

On va installer une cuve tampon pour nos effluents pour que nos rejets soient conformes, notamment en terme de température.
La règlementation impose une température des effluents à 30 °C pour le rejet dans le réseau urbain. En moyenne par jour, on oscille entre 29 et 35 °C grand max. Si la cuve tampon ne suffit pas pour réduire la température des effluents (en moyenne on est à 35 °C, mais on a des pcs à 60 °C), il va falloir installer un refroidisseur à 50000 €.

J'aimerais savoir, à partir de la problèmatique posée, combien de degrés seraent perdus par les effluents gràce à une canalisation en acier inox de 100 mètres (qui sera de toute façon installée pour le transport).

Une autre problèmatique pourrait être une simulation de la déperdition thermique dans la cuve mais ce serait encore plus compliqué.

L'idéal serait des essais mais la cuve sera installé et en fonctionement en février 2008.

PS : je peux transmettre des données supplémentaires si certains sont interessés

**cedbont** · 04/08/2007, 09h44

Utilise la formule donnée par Planck :

Envoyé par planck

$\text{[math]}$

Tu trouveras J sur internet et a par expérimentation.
Prends quand même de la marge.

invite426803d1 · 06/08/2007, 10h22

J'ai fait quelques calculs pour déterminer a :

1) Vitesse moyenne de l’écoulement : V=q/S = 2,12 m/s
q = débit (60m3/h)
S = section de passage (pi*D²/4 = 0,00785 m²)

2) Nombre de Reynolds : Re = ρ*V*D/µ = 212000
ρ = masse volumique de l’eau (1000 kg/m3 à 20 °C)
µ = viscosité dynamique de l’eau (0,001 Pa.s)
D = diamètre de la canalisation (0,1 m)

3) Nombre de Prandtl : Pr = µ*C/λ = 6,53
C = chaleur massique de l’eau (4180 J/(kg.K))
λ = conductivité thermique de l’eau (0,64 W/(m.K)

4) Nombre de Nusselt : Nu = 0,023*(Pr)^1/3*(Re)^0,8 = 784

5) Coefficient de transfert de chaleur : a = Nu* λ//D = 5023 W/(m2.K)

Qu'est-ce que vous en pensez ? Complétement ou ça tiens le route ?

Ensuite en appliquant la formule de Planck (message précédent)
 T = température extérieure (20 °C)
 Ts = température de l’eau à la sortie de la canalisation
 Te = température de l’eau à l’entrée de la canalisation (40 °C)

Je trouve une diminution de 17,8 °C ce qui me parait beaucoup. Que pensez-vous du résultat ? Merci

Pertes de chaleur dans une canalisation

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