Bonjour à tous !
Ce n'est pas la première fois que je poste un message sur ma cuve de lisier !!! Cette fois c'est un nouveau problème.
Ma cuve est remplie de lisier. La température interne est homogène (agitation) à Ti=37°C. La cuve est cylindrique, de profondeur h=4 m et de rayon interne R=2 m. Elle est enterrée dans le sol, de telle sorte que la surface du sol arrive juste en haut de la cuve. Les parois sont en béton, quelques dizaines de cm d'épaisseur, mais on ne les considère pas dans une première approximation, car elles ne font que se rajouter à des kilomètres de terre, de conductivité peu différente.
Mon but est le suivant : calculer la puissance que la cuve perd pour essayer de déterminer la puissance à lui apporter pour maintenir la température interne constante. On considère uniquement le régime permanent. On assimile la cuve à une source parfaite de chaleur (température constante), et on place la température Te de la source froide (le sol) à l'infini.
A priori, pas de problème : on écrit la loi de fourier pour une surface cylindrique S située à une distance r de l'axe de la cuve. (P = puissance, l = conductivité thermique, T = température)
S=h*2*pi*r
P=-S*l*(dT/dr)=-h*2*pi*r*l*(dT/dr)
D'où : dT=[-P/(2*pi*l*h)]*(dr/r)
D'où l'intégration entre Ti et Te, et entre R et Rinfini :
P=[2*pi*l*h*(Ti-Te)]/ln(Rinfini/R)
Or ln(Rinfini/R)=infini, donc P=0 !!!!!!!!!!!!!
Notez que ceci ne concerne que les pertes par conduction par la surface latérale, mais on trouve également 0 pour les pertes par la surface inférieure.
D'où un problème évident. Ma cuve perd forcément de la chaleur par conduction ! D'ailleurs, si les pertes par conduction d'un cylindre chaud enterré dans le sol étaient nulles, ça se saurait !!!
D'autant plus que si la cuve a la forme d'une demi-sphère, ça marche !!! (on a S=2*pi*r², et le tout s'intègre en 1/r, donc les pertes ne sont pas nulles, même si on prend Te à l'infini). Donc, évidemment il y a un problème avec le cylindre !!!
Mon interprétation : les surfaces d'isothermes à partir desquelles on définit le gradient de T sont bien sphériques pour la cuve sphérique, donc le modèle est bon. Par contre, pour le cylindre, on voit bien que les surfaces d'isotherme ne seront pas des cylindres : plus on s'éloigne de la cuve, plus elles tendent à se rapprocher du modèle sphérique (les irrégularités liées à la forment de la cuve tendent à "se gommer" au fur et à mesure qu'on s'éloigne de la cuve) Mais comment déterminer l'équation de ces courbes d'isothermes ?
L'avis de mes profs (qui m'ont déjà bien aidé !!!) est qu'on peut utiliser le modèle des isothermes sphérique (puisque ma cuve est aussi profonde que large) sans commettre trop d'erreur. Mais est il possible d'établir rigoureusement l'équation de ces surfaces pour des calculs plus précis ?
Si vous trouvez que je ne suis pas clair, n'hésitez pas à me demander des précisions !
Et merci de m'avoir lu jusqu'ici !!!!!!!!
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