Le pendule ressort

[Eogan]

Bonjour à force de faire des exos traitant des ressorts et d'autres traitant des pendules, je me suis imaginé un petit exo tout simple en apparence:
On prend tout simplement un pendule avec une masse m au bout, sauf que le fil est un ressort de longueur r et de longueur à vide r0. On écarte le tout d'un angle µ par rapport à la verticale et on étudie le mouvement.
J'ai pensé à utiliser le théorème du moment cinétique, ça marche mais ça n'aboutit pas. Quelqu'un à des idées? Je n'ai jamais trouvé cet exercice nulle part!

Ci joint dessin fait maison
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[labostyle]

salut,
si tu n'as pas réussi avec ton idée pourquoi ne pas essayer la conservation de l'énergie mécanique du systeme

[yahou]

Si tu ne l'as trouvé nulle part, c'est probablement parce que les calculs sont fastidieux et qu'il n'y a pas de solution simple dans le cas général.

Pour le théorème du moment cinétique, il ne peut pas suffire, puisqu'il ne donne qu'une seule équation, et que tu as deux degrés de liberté. Idem pour la conservation de l'énergie. Pour résoudre le problème il faut écrire les deux.

La solution alternative consiste à écrire le principe de la dynamique et à projeter dans une base du plan (la base polaire de préférence).

[Eogan]

Ok, j'avais déjà commencé à traiter ce problème il y a qq mois et effectivement il faut utiliser les deux méthodes.
On aboutit au système d'équation différentielle non linéaire joint en image.
Comment continuer? Y a-t-il des simplifications qui pourraient nous aider à résoudre le système?
Notes:
r est la longueur du pendule et r0 la longueur à vide du ressort.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Je ne vois pas les équations encore, mais je suppose qu'il faudra considérer de petites oscillations, donc sin(theta)~theta, cos(theta)~1, tan(theta)~theta.
Et de petites déformations du ressort, donc (delta L)/L0 << 1.

Ce qui devrait simplifier des choses.

Cordialement.

[alaink]

Ca m'a toujours fait rire l'approximation des petites oscillations qui permet d'ecrire sin(theta)=theta et pouf! voila la solution...

Quelqu'un a deja vu un vrai pendule faire uniquement des "petites" oscillations? Elle sont de l'ordre de quelque degres voire de quelques dizaines de degres...on est loin de sin(theta)=theta

Quelqu'un sait-il si personne n'a calculé à ce jour la "vraie" equation du mouvement d'un pendule??

[invitea01d101a]

M. Eogan ... c'est bête, il existe une façon de s'y prendre... ça s'appelle la mécanique analytique, dommage qu'elle ne soit pas enseignée tôt...

enfin, je pense que vous pouvez être satisfait d'avoir le système d'équa diff non linéaire... Y'a plus qu'à passer aux "petites oscillations" qui a une formulation mathématique précise (ça s'appelle la théorie des perturbations M. alaink ) mais c'est assez compliqué dans le cas présent, à cause du theta sous le sinus (mais ça se fait, si ça vous intéresse, je vous posterai ici les quelques questions répondant à cette puissante méthode)...

cordialement,

[yahou]

Ca m'a toujours fait rire l'approximation des petites oscillations qui permet d'ecrire sin(theta)=theta et pouf! voila la solution...

Quelqu'un a deja vu un vrai pendule faire uniquement des "petites" oscillations? Elle sont de l'ordre de quelque degres voire de quelques dizaines de degres...on est loin de sin(theta)=theta

Ca dépend de ce que tu appelles "loin". A 10°, l'erreur relative commise en remplaçant sin(theta) par theta est de 0,5%.

[Eogan]

Merci pour vos réponses.
Dès demain je teste les deux possibilités:
-je vais voir ce qu'on obtient dans l'hypothèse des petites oscillations mais déjà à première vue ça ne fera pas disparaitre les carrés dans les équas diffs, qui resteront donc très difficiles à résoudre.
-je viens justement de me mettre à la méca analytique! Pour l'instant je n'ai étudié que la mécanique lagrangienne (mais je vais commencer l'hamiltonienne bientôt). Ce sera une bonne méthode pour tester ma compréhension de cette nouvelle approche. Mais j'ai bien peur de retomber à nouveau sur les même équations!

[Calvert]

Quelqu'un sait-il si personne n'a calculé à ce jour la "vraie" equation du mouvement d'un pendule??

Ce problème n'a pas de solutions analytiques exactes. C'est pourquoi on se place dans le contexte de la théorie des perturbations. Mais on peut imaginer intégrer les équations complète numériquement.

[cerfa]

C'est équation n'admet pas de solution exprimable en fonction des fonctions mathématiques usuelles.

Par ailleurs pour des oscillations inférieures à 22°, l'écart entre sin(theta) et theta est inférieur à 0.01. Pour un écart relatif inférieur à 1% il faut se limiter à 14°

[invitea01d101a]

Ca dépend de ce que tu appelles "loin". A 10°, l'erreur relative commise en remplaçant sin(theta) par theta est de 0,5%.

bonjour,

'faut croire qu'alaink est un matheux !!!

Rappel : la physique n'est pas une science exacte, elle se contente de rendre compte de la réalité par des modèles. La physique est une science qui se charge, dans le cadre d'un modèle, de faire des prédictions. D'aileurs, contrôlons-nous tous les paramètres physiques d'une expérience ? Nos mesures sont-elles précises ? Les résultats de nos mesures sont-ils bien ce qu'on souhaite réellement mesurer ? Et enfin, notre modèle est-il juste (par exemple, force de rappel du ressort en 1/2kx^2) ?

cordialement,

[Eogan]

Suis-je bête: dans les équations fournies au message 4 j'ai déjà effectué l'approximation des petits angles! Et effectivement ça n'aide pas à la résolution. D'autre part dans ce problème précis je pense que cette approximation n'a pas d'utilité physique: j'ai réalisé l'expérience et les résultats ne sont "intéressants" que pour de grands angles (On observe une sorte d'ellipse dont les foyers se promènent bizarrement, faites le c'est enivrant )
Je me mets à l'approche lagrangienne de ce pas.

[juliendusud]

bonjour,

'faut croire qu'alaink est un matheux !!!

Rappel : la physique n'est pas une science exacte, elle se contente de rendre compte de la réalité par des modèles. La physique est une science qui se charge, dans le cadre d'un modèle, de faire des prédictions. D'aileurs, contrôlons-nous tous les paramètres physiques d'une expérience ? Nos mesures sont-elles précises ? Les résultats de nos mesures sont-ils bien ce qu'on souhaite réellement mesurer ? Et enfin, notre modèle est-il juste (par exemple, force de rappel du ressort en 1/2kx^2) ?

cordialement,

Si la physique n'est pas une science exacte, je me demande bien qu'est ce qui pourrait l'être? La justesse (je préfère parler de sa finesse) d'un modèle doit être adaptée à la précision nécessaire fonction du type d'expérimentation que l'on veut mener, le modèle par définition se veut approximatif contrairement à la théorie qui se veut réfutable (attention à la confusion entre modèle et théorie).

[invitea01d101a]

M. Eogan,

votre système d'équation est :



(je prends en compte votre "mauvais choix" pour , qui ne vaut pas à l'équilibre, mais vaut ... j'ai noté la longueur du ressort à vide, et sa raideur).

en vue de la remarque qui précède, envisageons la méthode des perturbations, ie des "petites variations par rapport à l'équilibre" (l'équilibre == solution stable statique du système d'équation diff). L'équilibre stable est donné par :



Faisons alors un changement de fonctions tel que :



et posons (la longueur du ressort chargé au repos, je vous laisse le vérifier).

Faisons également apparaître deux fonctions du temps et définies par :



Après quelques pages de calculs... on aboutit à :



qui constitue, avec le système précédent, un système de quatre équations à quatre inconnues (les inconnues étant ). Ce système est exact (compte tenu du modèle qu'on a choisit pour modéliser les forces + référentiel du labo galiléen + mécanique newtonnienne). Malheureusement, il n'est pas facile à exploiter (à cause de tous les paramètres, longueur du ressort chargé au repos, masse etc.). On va alors "adimensionner tout ça. On effectue à nouveau un changement de fonctions :



( reste ce qu'il est.)

Après quelques copieuses pages de calculs, l'on a :



qui est un système à quatre équations, quatre inconnues, dans lequel n'apparaît plus que deux dimensions caractéristiques du phénomène :

est une pulsation "caractérisant" (entre guillemets, car la longueur du pendule n'est plus fixe) les oscillations du pendule habituel (l'indice "o" pour oscillation),

est la plusation propre du ressort.

Admirez la beauté de ce dernier système !!! Il pas (en apparence) de dérivées secondes, et il n'y a plus que deux parramètres (les pulsations) !!!

y'a plus qu'à passer aux oscillations faibles ( et ). Comment on fait ? Il faut être un peu malin, si l'on souhaite faire les choses correctement...

je vais réflechir à une méthode permettant d'obtenir sans trop de difficulté la solution à l'ordre "un" pas facile à la main !!!

Cordialement,

[invitea01d101a]

Si la physique n'est pas une science exacte, je me demande bien qu'est ce qui pourrait l'être? La justesse (je préfère parler de sa finesse) d'un modèle doit être adaptée à la précision nécessaire fonction du type d'expérimentation que l'on veut mener, le modèle par définition se veut approximatif contrairement à la théorie qui se veut réfutable (attention à la confusion entre modèle et théorie).

je n'ai pas employé les "bons mots" (pas très doué en philosophie moi)... Néanmoins, ma pensée converge vers la vôtre (je me suis montré "maladroit" en associant "justesse" et "théorie", bien que je fasse nettement la différence entre un modèle et une théorie) !

Cordialement,

[invitea01d101a]

M. Eogan,

votre système d'équation est :



[...]

Cordialement,

PS il est bien évident que dans ce post, j'ai utilisé la méthode lagrangienne pour trouver rapidement les équations obtenues... mais bon, ça peut trèèèès bien se faire dans le point de vue newtonnien ! Peut-être 20 pages d'écriture ??? ieeeerk !

Cordialement,

[Eogan]

Merci ! Votre intervention m'a été très instructive et m'a permis de me confronter à mon premier exercice de mécanique analytique.
J'ai juste un problème pour arriver aux même équations:
comment calcule-t-on d(r²)/d
et d(²)/dr
Il doit y avoir un "truc" pour s'en débarrasser non?

[Eogan]

Pour ce qui est du système final, suffit-il de faire quelques petits développements limités?
Si oui voilà ce que je trouve:

[invitea01d101a]

Merci ! Votre intervention m'a été très instructive et m'a permis de me confronter à mon premier exercice de mécanique analytique.
J'ai juste un problème pour arriver aux même équations:
comment calcule-t-on d(r²)/d
et d(²)/dr
Il doit y avoir un "truc" pour s'en débarrasser non?

bien sûûûûr !!! en fait, n'apparaît que parce que l'on ne fait pas gaffe à la "chain rules" de dérivations (les physiciens, par habitude, sous-entendent les changements de variables...)

Dire signifie en réalité que la fonction que l'on dérive est une fonction implicite de , ie de la vitesse radiale. On pourrait la voir (modulo un changement de variables) aussi comme une fonction du temps...

On fait un changement de variables (ça a un sens mathémtique, mais un peu compliqué à expliquer... pour faire les choses proprement, le meilleur cadre est celui des variétés euclidiennes et de la notion de "push forward") en appiquant la "chain rule" :



Essayez de faire l'autre, en utilisant les mêmes trucs

Cordialement,

[invitea01d101a]

Pour ce qui est du système final, suffit-il de faire quelques petits développements limités?
Si oui voilà ce que je trouve:

...j'ai pas corrigé vos DL's s'ils sont justes, maiiis... si le coeur vous en dit, oui, vous pouvez faire des DL et regarder si les solutions obtenues sont "bonnes" par rapport au système exact... Utilisez pour cela Maple ou Mathlab

Cordialement,

PS j'ai essayé d'appliquer "à la main" la technique des perturbations... Eh ben, même à l'ordre un, c'est gore !!!

[Eogan]

Mais c'est bien sur! J'avais déjà vu cette astuce en fin de spé mais avec les vacances j'ai eu le temps d'oublier! Effectivement avec cette technique on se débarrasse des termes encombrants.

Pour ce qui est du système , j'ai essayé de le résoudre avec maple mais je ne sais pas comment lui demander de résoudre des systèmes différentiels. J'essaye à la main là et c'est vrai que c'est chaud!