Aux lecteurs du Peskin

[invite54165721]

Bonsoir,

je considère personellement le problème comme résolu.

A la suite de la suggestion de Gwyddon d'utiliser l'estimation par la méthode du col, j'arrivais au résultat en partant de l'intégrale triple par l'utilisation 3 fois de suite par la meme formule d'évaluation.
Ceci me posais problème car je croyais cette formule uniquement applicable avec une seule variable d'intégration.

En fait j'avais lu trop rapidement le lien http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/d...cs/fazstat.pdf que javais indiqué.
Si l'auteur doute dès le départ que l'on puisse étendre la formule à plusieurs paramètres (et là il utilise malencontreusement le mot variable) il indique quelques lignes plus bas que la généralisation à des intégrales multiples est immédiate.
Il indique meme comment elle sécrit (déterminant Hessien à la place de phi'' etc)

Il y à donc une formule simple qui donne le résultat cherché.

Pour les forts en maths dont je ne suis pas j'ai quand meme trouvé ceci (6 pages mais c'est du lourd)
Annales institut Fourier 1979 ou on utilise la Hessienne de façon massive.

Se ramener à une intégrale simple complique en fait le problème.
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[Gwyddon]

Bonsoir,

Je voulais adresser un grand bravo à alovesupreme, Simon, Popol et tous ceux qui ont participé

Même si je me suis fait discret, j'ai suivi avec attention et j'ai tenté ce soir de refaire les calculs, mais bon je suis assez convaincu par ta méthode alovesupreme

Sinon pour la question de rvz à propos du sens à donner à l'intégrale initiale, il faut la voir comme une transformée de Fourier d'une distribution.

[Karibou Blanc]

Ça m'a échappé sur le coup, mais ça n'a pas plus de sens de dire qu'une quantité adimensionnée est grande ou petite : 1 est grand devant 0.000001 mais est petit devant 1000000

Sauf que pour une grandeur sans dimension, grand ou petit s'entend toujours devant 1 (et non 10000000 ou 0.00000000000001), il n'y a qu'une seule "unité" en math, c'est 1 et point barre. Alors qu'une grandeur dimensionnée n'a pas de référence évidente, l'unité pouvant toujours être redéfinie 1m,1cm,1mm etc...
Bref je veux pas pinailler, mais en général en physique quand on dit grand ou petit, c'est toujours (et ce doit toujours être) pour une grandeur sans dimension (la plupart du temps un rapport) comparée à 1, car c'est ce qu'il est utile de savoir lorsqu'on veut faire des approximations (ie des développement limités).

[Gwyddon]

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec ton pinaillement, car si on compare deux grandeurs dans la même unité, ça revient à comparer leur quotient par rapport à 1, donc finalement tu ne fais que reformuler le problème

[invitefa5fd80c]

Sauf que pour une grandeur sans dimension, grand ou petit s'entend toujours devant 1 (et non 10000000 ou 0.00000000000001), il n'y a qu'une seule "unité" en math, c'est 1 et point barre.

Pas d'accord. Prend la fonction , où et sont toutes les deux des grandeurs sans dimension. On entendra habituellement ici par petites valeurs de comme étant celles qui sont petites devant . La valeur de étant quelconque, je te laisse conclure.

Alors qu'une grandeur dimensionnée n'a pas de référence évidente, l'unité pouvant toujours être redéfinie 1m,1cm,1mm etc...

Comme l'a judicieusement fait remarquer Gwyddon, il y a une référence évidente pour une grandeur dimensionnée, à savoir une autre grandeur du même type dimensionnel et exprimée dans la même unité de mesure.

Bref je veux pas pinailler,

[Rincevent]

Pas d'accord. Prend la fonction , où et sont toutes les deux des grandeurs sans dimension. On entendra habituellement ici par petites valeurs de comme étant celles qui sont petites devant .

absolument pas d'accord avec ça : x grand veut dire grand devant 1. Pas devant alpha ou son inverse. On comparera x à 1/alpha uniquement si ce sont des grandeurs physiques dimensionnées.

Comme l'a judicieusement fait remarquer Gwyddon, il y a une référence évidente pour une grandeur dimensionnée, à savoir une autre grandeur du même type dimensionnel et exprimée dans la même unité de mesure.

ça ne me semble pas si judicieux que ça justement : la grandeur de référence n'est en rien "évidente" puisque n'importe quelle autre grandeur de même dimension et exprimée dans la même unité fait l'affaire... tu dis toi-même "une autre grandeur", signifiant par là "n'importe laquelle", ce qui illustre l'aspect non-évident de ce choix.

[invitefa5fd80c]

absolument pas d'accord avec ça : x grand veut dire grand devant 1. Pas devant alpha ou son inverse.

Il ne faut pas oublier que le concept de grandeur ou de petitesse ne réfère pas à une propriété absolue des quantités mais à une propriété relative qui découle d'une relation d'ordre définie sur l'ensemble auquel appartiennent ces quantités. Lorsque l'on est vraiment rigoureux, on dit explicitement par rapport à quelle autre quantité on considère une certaine quantité comme étant grande ou petite et on évite ainsi toute confusion possible.

ça ne me semble pas si judicieux que ça justement : la grandeur de référence n'est en rien "évidente" puisque n'importe quelle autre grandeur de même dimension et exprimée dans la même unité fait l'affaire... tu dis toi-même "une autre grandeur", signifiant par là "n'importe laquelle", ce qui illustre l'aspect non-évident de ce choix.

Non, pas "n'importe laquelle". Dans un contexte donné, il y a très généralement une quantité de même dimension par rapport à laquelle il convient de comparer la quantité que l'on veut qualifier de "grande" ou de "petite". À titre d'exemple, dans le présent problème il convient de comparer la quantité à la quantité de référence .

[Rincevent]

Il ne faut pas oublier que le concept de grandeur ou de petitesse ne réfère pas à une propriété absolue des quantités mais à une propriété relative qui découle d'une relation d'ordre définie sur l'ensemble auquel appartiennent ces quantités.

et comme l'a rappelé Karibou, en math l'unité c'est 1... 10^-50 ne sera jamais un "grand nombre"... en math en tous cas.

Lorsque l'on est vraiment rigoureux, on dit explicitement par rapport à quelle autre quantité on considère une certaine quantité comme étant grande ou petite et on évite ainsi toute confusion possible.

à ceci près qu'en math l'unité est implicite

Non, pas "n'importe laquelle".

si : un choix d'unité physique est arbitraire

Dans un contexte donné, il y a très généralement une quantité de même dimension par rapport à laquelle il convient de comparer la quantité que l'on veut qualifier de "grande" ou de "petite".

très généralement mais pas toujours. Tu as parfois plusieurs phénomènes simultanées ayant des ordres de grandeurs différents et l'impossibilité de dire "ceci est l'Échelle"...

À titre d'exemple, dans le présent problème il convient de comparer la quantité à la quantité de référence .

ce n'est qu'un exemple trivial et on est tous bien évidemment d'accord sur ce cas précis.

[invitefa5fd80c]

et comme l'a rappelé Karibou, en math l'unité c'est 1...

Pas toujours. Par exemple, les angles sont habituellement comparés à (ou à ) et non à 1.

à ceci près qu'en math l'unité est implicite

En spécifiant la base de comparaison, on évite toute confusion possible. Tu as sûrement déjà dû voir dans des bouquins l'énoncé :

si : un choix d'unité physique est arbitraire

...mais qui n'a aucune incidence sur le résultat de la comparaison.

très généralement mais pas toujours.

Comme l'unité 1 en maths par exemple

ce n'est qu'un exemple trivial et on est tous bien évidemment d'accord sur ce cas précis.

Alors présente-nous un exemple moins "trivial" et on pourra en rediscuter.

[invite54165721]

Bonjour,

Je suggère que le jeu des "mystères du Peshkin" se poursuive:
Un modérateur souligne un point délicat à une page précise du livre.
Le vainqueur reçoit alors de la part des éditeurs du bouquin un exemplaire dédicaçé par les auteurs.
Alors là Ils seraient mesquins de refuser vu toute la pub qu'on va leur faire (et leur nom qui arrive en tete de page à chaque réponse!)

Bienvenue à nos nouveaux sponsors

[Rincevent]

Pas toujours. Par exemple, les angles sont habituellement comparés à (ou à ) et non à 1.

uniquement car le domaine de définition est compact

En spécifiant la base de comparaison, on évite toute confusion possible. Tu as sûrement déjà dû voir dans des bouquins l'énoncé :

non, jamais vu

franchement, je trouve que tu joues un peu le gars obtu sur ça... j'ai pas dit qu'on ne compare jamais deux nombres en math, simplement, je te parie une bouteille de champagne que tu ne trouveras jamais ce que tu affirmes pouvoir trouver : un texte mathématique dans lequel il est écrit "10^-50 est grand". Ça veut dire quoi comparer deux nombres ? ça veut juste dire comparer leur rapport par rapport à l'unité mathématique naturelle, 1... on en revient toujours au même.

...mais qui n'a aucune incidence sur le résultat de la comparaison.

bah si : une distance de 1m c'est très grand si tu la regardes en nanomètres, mais très petit si tu la regardes en années-lumière... le choix de l'unité de mesure est ce qui te permet de dire si ton truc est "grand" ou pas.

Comme l'unité 1 en maths par exemple

à ceci près qu'en math tu n'as que deux situations : définition sur un ensemble borné ou pas. En physique tu peux avoir un nombre indéfini d'échelles différentes qui interviennent.

Alors présente-nous un exemple moins "trivial" et on pourra en rediscuter.

considère la matière dans une étoile en effondrement gravitationnel. Dedans, tu as comme [exemples d']échelles de temps :

- le temps dynamique d'effondrement
- le temps de réaction par interaction faible [qui joue sur la composition de la matière et son approche d'un equilibre chimique]
- le temps lié à l'interaction électromagnétique [semblable à la fréquence plasma qui joue pour la neutralité de la matière]
- le temps lié à la période de rotation de l'étoile
- les temps hydrodynamiques d'éventuelles oscillations [les périodes desquelles peuvent avoir des ordres de grandeurs de différence car les divers modes d'oscillations sont nombreux : ondes d'Alfven, ondes de Rossby, ondes acoustiques, ondes de gravité, etc]
- etc...

tu as un phénomème physique [l'effondrement d'une étoile], mais selon ce que tu regardes précisément dans ce phénomène, les temps mentionnés peuvent être considérés comme très petits ou très grands... ils ont tous leur importance et c'est à toi de dire : je prends cette unité-là et je vais considérer comme petit ce qui est faible devant ça. C'est un choix arbitraire.

[invitefa5fd80c]

uniquement car le domaine de définition est compact



non, jamais vu

franchement, je trouve que tu joues un peu le gars obtu sur ça... j'ai pas dit qu'on ne compare jamais deux nombres en math, simplement, je te parie une bouteille de champagne que tu ne trouveras jamais ce que tu affirmes pouvoir trouver : un texte mathématique dans lequel il est écrit "10^-50 est grand". Ça veut dire quoi comparer deux nombres ? ça veut juste dire comparer leur rapport par rapport à l'unité mathématique naturelle, 1... on en revient toujours au même.



bah si : une distance de 1m c'est très grand si tu la regardes en nanomètres, mais très petit si tu la regardes en années-lumière... le choix de l'unité de mesure est ce qui te permet de dire si ton truc est "grand" ou pas.



à ceci près qu'en math tu n'as que deux situations : définition sur un ensemble borné ou pas. En physique tu peux avoir un nombre indéfini d'échelles différentes qui interviennent.



considère la matière dans une étoile en effondrement gravitationnel. Dedans, tu as comme [exemples d']échelles de temps :

- le temps dynamique d'effondrement
- le temps de réaction par interaction faible [qui joue sur la composition de la matière et son approche d'un equilibre chimique]
- le temps lié à l'interaction électromagnétique [semblable à la fréquence plasma qui joue pour la neutralité de la matière]
- le temps lié à la période de rotation de l'étoile
- les temps hydrodynamiques d'éventuelles oscillations [les périodes desquelles peuvent avoir des ordres de grandeurs de différence car les divers modes d'oscillations sont nombreux : ondes d'Alfven, ondes de Rossby, ondes acoustiques, ondes de gravité, etc]
- etc...

tu as un phénomème physique [l'effondrement d'une étoile], mais selon ce que tu regardes précisément dans ce phénomène, les temps mentionnés peuvent être considérés comme très petits ou très grands... ils ont tous leur importance et c'est à toi de dire : je prends cette unité-là et je vais considérer comme petit ce qui est faible devant ça. C'est un choix arbitraire.

On pourrait certes argutier jusqu'à la fin des temps là-dessus, mais je crois que tu seras d'accord avec moi pour dire nous avons l'un et l'autre des choses beaucoup plus intéressantes à faire

[Lévesque]

je suis assez convaincu par ta méthode alovesupreme

Je n'ai pas expliqué ma méthode, c'est pour ça

La méthode de la phase stationnaire est relativement abstraite.. il faut en avaler la preuve et c'est pas trivial pour moi. Je suis tombé sur un article de Erdelyi[1] qui démontre que l'expansion asymptotique obtenue de la méthode de la phase stationnaire peut être obtenue par de simples intégrations par parties successives. Ça m'a donné une idée qui est simple et qui fonctionne.

Prenez l'intégrale sur dE donnée plus haut. Intégrez deux ou trois fois par partie et écrivez la formule générale si vous intégrez N fois par partie (c'est vraiment très facile). Vous avez alors une série de N + 1 termes, le dernier étant une intégrale qui s'avère être nulle (dans la limite considérée) par le lemme de Riemann-Lebesgue (beaucoup plus facile à démontrer que la méthode de la phase stationnaire). Regardez alors seulement l'ordre des N termes contenant t, et voyez celui qui est le plus grand dans la limite considérée. On trouve très facilement le résultat escompté.

Cordialement,

Simon

[1] A. Erdelyi, Asymptotic Representations of Fourier Integrals and The Method of Stationary Phase, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol. 3, No. 1. (Mar., 1955), pp. 17-27.

[Rincevent]

On pourrait certes argutier jusqu'à la fin des temps là-dessus, mais je crois que tu seras d'accord avec moi pour dire nous avons l'un et l'autre des choses beaucoup plus intéressantes à faire

ouaip. Reste que je vais tenter une dernière fois de te montrer le truc qui pose pb dans ce que tu dis : comment définis-tu x << y ? la seule façon, c'est en disant que c'est le cas SSI 1 << y/x. Donc le 1 est bien sous-jacent.

[Gwyddon]

ouaip. Reste que je vais tenter une dernière fois de te montrer le truc qui pose pb dans ce que tu dis : comment définis-tu x << y ? la seule façon, c'est en disant que c'est le cas SSI 1 << y/x. Donc le 1 est bien sous-jacent.

Ce que j'avais dit lors de ma dernière intervention, et ce que Popol a aussi noté

[Rincevent]

Ce que j'avais dit lors de ma dernière intervention, et ce que Popol a aussi noté

c'est pourquoi je ne comprends pas que vous ne soyez pas d'accord avec Karibou... il ne faisait pas que reformuler le problème... m'enfin, comme Popol l'a dit, on a tous mieux à faire que discuter de ça...

[Gwyddon]

c'est pourquoi je ne comprends pas que vous ne soyez pas d'accord avec Karibou...

Je n'ai pas dit qu'il disait des trucs faux, juste que c'était une autre manière de dire la même chose

m'enfin, comme Popol l'a dit, on a tous mieux à faire que discuter de ça...

C'est pas faux, quoique la discussion n'est pas forcément si inutile que ça

[Rincevent]

C'est pas faux, quoique la discussion n'est pas forcément si inutile que ça

elle l'est à mes yeux en ce sens où l'écrit n'est pas l'idéal pour ce genre de trucs...

[invitefa5fd80c]

Reste que je vais tenter une dernière fois de te montrer le truc qui pose pb dans ce que tu dis : comment définis-tu x << y ? la seule façon, c'est en disant que c'est le cas SSI 1 << y/x.

Lorsque l'on peut définir ces deux formes, elles sont bien entendu équivalentes. Par contre x << y est d'apllication plus générale que 1 << y/x. La preuve étant que x et y pourraient par exemple être des entiers naturels et la division n'est pas définie sur l'ensemble des entiers naturels. Pourtant on peut bien dire de deux entiers naturels x et y : x << y .

[Karibou Blanc]

La preuve étant que x et y pourraient par exemple être des entiers naturels et la division n'est pas définie sur l'ensemble des entiers naturels.

L'ensemble des entiers naturels ne forme pas un groupe pour la division, certes. Mais rien n'impose la structure de groupe, et 2/3 existe dans l'ensemble des réels.

Franchement il serait bon de reconnaitre une bonne fois pour toute que 1 est la seule unité en math.

[Rincevent]

Lorsque l'on peut définir ces deux formes, elles sont bien entendu équivalentes.

justement non! elles ne sont pas équivalentes. Je n'ai jamais dit ça et ne le soutiendrai jamais. 1 << x est bien plus fondamental et est sous-jacent comme je le disais. On définit y <<x une fois que l'on a déjà défini 1 << z et pas l'inverse.

ps: et si tu ne veux pas de la division et souhaites te restreindre aux entiers, ça ne change rien : n << p est défini à partir de 1 << (n+1-p) et on a donc 1 << m sous-jacent.

[Al-Kashi]

Salut,

Le livre de Pekin est un début pas mal en théorie quantique des champs, mais pour aller un petit peu loin il faut consulter des ouvrages beaucoup plus sérieux. Tout dépend de qu'est ce qu'on veut faire avec. Pour le niveau Magistère il est pas mal

[Karibou Blanc]

mais pour aller un petit peu loin il faut consulter des ouvrages beaucoup plus sérieux

ca dépend ce qu'on entend par aller loin. J'ai l'impression que ce signifierait aller ailleurs
Certes le Peskin est un ouvrage d'introduction non exhaustif, mais il présente tout ce qu'il faut savoir sur les théories de jauges, et traite meme vers la fin les corrections quantiques dans le secteur electrofaible du modele standard, sans parler d'un long chapitre sur QCD et la symétrie chirale. Non vraiment ce livre est une référence au sens propre du terme, c'est à dire un ouvrage auquel on se référe tout le temps avant et apres le doctorat.

[Al-Kashi]

Je crois que c'est une petite initiation, mais je crois que le livre de Weinberg est meilleur (Question de goût personnel). Pour les théories de jauges et au delà ,il faut consulter des références spécialisées.

[Gwyddon]

Je crois que c'est une petite initiation

Sache pourtant que dans le labo de physique théorique où j'ai fait mon stage, au SLAC, ce livre est utilisé quotidiennement par des chercheurs chevronnés (Hélène Quinn ou encore Michael Peskin lui-même pour ne citer que quelques-uns).

[Al-Kashi]

Sache pourtant que dans le labo de physique théorique où j'ai fait mon stage, au SLAC, ce livre est utilisé quotidiennement par des chercheurs chevronnés (Hélène Quinn ou encore Michael Peskin lui-même pour ne citer que quelques-uns).

A harvard nous avions utilisé plutôt Weinberg et d'autres livres....Mais là bas tout le monde connait la technologie diagrammatique de Feynman dès la 2 ème année. La situation est différente en France à mon avis

[Gwyddon]

Euh... Le SLAC tu connais ? C'est aux USA, et c'est un des plus grands labos de physique des particules

Bref bien sûr il y a le Weinberg aussi qui sert, mais le Peskin est une réf, et encore une fois utilisée quotidiennement par des gens très très fort dans leur domaine.

Et excuse moi mais "tout le monde connaît la technique diagrammatique de Feynman dès la deuxième année", sûrement pas de manière rigoureuse (si j'ose dire) et ça m'étonnerait que l'on fasse faire des calculs de TQC aux undergraduate, même à Harvard. J'en ai vu des undergrad, à Stanford, et je doute qu'ils soient moins bien formés qu'à Harvard

[invitefa5fd80c]

justement non! elles ne sont pas équivalentes. Je n'ai jamais dit ça et ne le soutiendrai jamais.

Pourtant plus haut tu as bien dit :

comment définis-tu x << y ? la seule façon, c'est en disant que c'est le cas SSI 1 << y/x. Donc le 1 est bien sous-jacent.

et non pas :

comment définis-tu x << y ? la seule façon, c'est en disant que c'est le cas SI 1 << y/x. Donc le 1 est bien sous-jacent.

SSI signifie bien une équivalence, non ?

1 << x est bien plus fondamental et est sous-jacent comme je le disais. On définit y <<x une fois que l'on a déjà défini 1 << z et pas l'inverse.

On peut très bien définir y << x sans reférer à 1 << z. Par exemple, on peut dire que l'on a lorsque . Ce qui revient à dire qu'en première approximation est assimilable à 0. Sinon, comment définis-tu 1 << z ?

ps: et si tu ne veux pas de la division et souhaites te restreindre aux entiers, ça ne change rien : n << p est défini à partir de 1 << (n+1-p) et on a donc 1 << m sous-jacent.

Heu...tu voulais surement dire 1 << (p+1-n).
Sinon, je ne vois pas trop le sens à accorder à la quantité (p+1-n). Peux-tu développer ?

[Rincevent]

SSI signifie bien une équivalence, non ?

parce qu'une définition est une équivalence... mais tu ne peux pas définir simultanément les deux membres d'une équivalence! faut bien que tu commences par un des deux membres. Or, tu ne peux pas sans commencer par celle qui implique "1"...

bref, c'est tellement hors-sujet par rapport au fil et tu y mets tellement de mauvaise volonté que je laisse tomber....

[Rincevent]

Certes le Peskin est un ouvrage d'introduction non exhaustif, mais il présente tout ce qu'il faut savoir sur les théories de jauges, et traite meme vers la fin les corrections quantiques dans le secteur electrofaible du modele standard, sans parler d'un long chapitre sur QCD et la symétrie chirale. Non vraiment ce livre est une référence au sens propre du terme, c'est à dire un ouvrage auquel on se référe tout le temps avant et apres le doctorat.

je pense que ce que reproche peut-être Al-Kashi au Peskin c'est d'être un livre très appliqué au modèle standard et non pas un livre de QFT plus général tel que peu(ven)t l'être (par exemple) le Weinberg. De même l'aspect géométrique des théories de jauge (et tout ce que cela implique comme particularités pour leur quantification) n'est pas abordé.