Bonjour,
J'aimerais relayer sur le forun de physique une question posée par Lévesque sur celui de mathématique et resté sans réponse:
http://forums.futura-sciences.com/po...5.html#1305785
Je résume le problème physique.
Une particule scalaire non chargée de masse m est émise au temps 0, quelle amplitude de probabilité a t on pour qu'on la retrouve au même endroit au temps t.
Le Peskin page 27 dit exp(-imt) quand t est grand.
Quelqu'un pourrait il justifier ceci?
Bonjour,
Si on prend l'eq. de Schroedinger
avec
On resoud alors cette equation et on obtient :
Voili voilou,
J'espere que la demo est correcte et que cela pourra vous aider...
Cordialement
Bonjour,Envoyé par fab_79
avec
On resoud alors cette equation et on obtient :
C’est bien tenté car cette onde stationnaire pour une particule d’énergie m, est effectivement celle qui pour des grands t fournit la pulsation cherchée exp(-mt).
En fait, à la création de la particule en un point et à un instant précis, les énergies et impulsions sont indéterminées d’après le principe d’Heisenberg.
En notant
Peskin affirme que pour t tendant vers l'infini c'est la composante p = 0 qui l'emporte le long de la droite x = y = z = 0. Et ceci avec une formule qui pose pb quant à sa valeur
Ce qui est surprenant en plus c’est que le terme en exp(-mt) est obtenu en posant E = m or ceci donne un coefficient nul devant l’exponentielle;
Bref:
Bonjour,
à cet égard, je me pose une question. L'argument de Peskin et Schroeder sur la causalité fait finalement intervenir le commutateur entre des mesures, c'est-à-dire les opérateurs phi(x) et phi(y).
Dans la réalité, mesure-t-on vraiment un champ? Je veux dire, un champ est-il un observable? Cette question m'apparait essentielle, mais non discutée dans le livre. Peut-être que c'est seulement moi qui comprend mal
Je ne pense pas. Enfin on mesure les excitations des champs, maintenant le fait que ce qu'on mesure est en fait un quantum d'un concept plus abstrait (le champ) me parait en-soi inaccessible à l'expérience. C'est une facon de modéliser les choses, rien de plus.Dans la réalité, mesure-t-on vraiment un champ? Je veux dire, un champ est-il un observable?
D'une manière générale un lagrangien en théorie des champs (ie les champs et les constantes de couplages) ne sont pas des quantités physiques car ils sont infinis (ce qu'on appelle le lagrangien nu). Il est nécessaire de définir des relations entre le lagrangien et des grandeurs mesurées, c'est ce qu'on appelle un schéma de renormalisation.
Alors, que penses-tu de l'argument de Peskin et Schroeder au sujet de la causalité?
euh tu peux me rappeler la page où se trouve le paragraphe en question ?
pages 27 à 29 de mon édition. Voir le sous chapitre Causality du chapitre 2.
Je bloque sur l'assertion : "la quantité la plus simple qu'on puisse mesurer est le champ lui-meme".
Je ne vois pas comment cela est possible, ni ce que cela représente. A moins que le champ en question soit un vrai champ physique, ie un champ de vitesse dans l'écoulement d'un fluide ou un truc dans le genre.
Maintenant si on admet cette assertion, le reste de l'argument tient. Si le commutateur est nul, les deux opérateurs sont diagonalisables simultanemment et il y a aucune interférence possible entre les deux, ce qui est une condition nécessaire et suffisante pour la causalité.
C'est aussi ce qui est dit dans mon cours.
Mais on peut aussi se dire que c'est l'opérateur le plus "simple" que l'on a sous la main pour commencer une vérification de causalité.
Mieux : le champ contient les opérateurs de création et d'annihilation de particules, or ce que l'on peut mesurer par exemple c'est le nombre de particule (donc une valeur propre de l'opérateur nombre), donc d'une certaine façon vérifier la causalité sur le champ c'est la vérifier sur cet opérateur qui est, lui, physique.
Bonjour,
Peshkin traite ici du propagateur Dm(x,t)) d'une particule scalaire de masse m et affirme que pour t >> 1, Dm(0,t) se comporte comme exp(-imt).
Styer démontre dans ce lien: http://oberlin.edu/physics/dstyer/St...ein-Gordon.pdf
que pour une telle particule de masse nulle, on a
On peut donc penser que le propagateur massique "au meme endroit" cherché est de la forme
Styer va plus loin, il montre que pour le propagateur massique, on a
J'espère que l'un d'entre vous aura le talent d'arriver à la formule cherchée.
Gwyddon pensait à l'évaluation de l'intégrale par le théorème de la phase stationnaire, il y a sans doute une idée là mais l'intégrale a quand même une drole d'allure qd on l'écrit comme Peshkin
Quelqu'un peut il donner un sens a une telle écriture?
merci pour vos réponses
Euh Gwyddon il a bien précisé que c'était une idée rapide qui lui venait à l'esprit, donc faut pas non plus lui accorder trop de crédit
Il faudrait sérieusement que je me penche sur cette question, quand je l'avais vu il y a 5 mois ça ne m'avait pas choqué, mais bon ma lecture était bien rapide...
Voici une partie du calcul.
L'équation (2.50) du Peskin est la suivante:
On veut un intervalle de type temps, et on se place dans le référentiel où
Puisque
On passe en coordonnées sphériques pour obtenir
Ce dernier résultat est la première ligne de l'équation (2.51). Sachant que
qui est la deuxième ligne de l'équation (2.51).
Voilà d'où vient l'intégrale sur E dont on cherche le comportement asymptotique. Ensuite, il faut faire quelques changement de variables (
Il reste à étudier le comportement asymptotique de l'intégrale sur x et, par exemple, montrer qu'elle converge moins rapidement que l'exponentielle. Voilà où j'en suis.
Simon
Euh Gwyddon il a bien précisé que c'était une idée rapide qui lui venait à l'esprit, donc faut pas non plus lui accorder trop de crédit
Bonjour,
je trouve tellement que c'est une bonne idée que jaimerais l'appliquer 3 fois de suite.
Dans la phase:
les dérivées prtielles par rapport aus impulsions ne s'annulent qu'une fois en 0 qui est le point critique et les dérivées secondes sont strictement positives.
ce qui est l'exposant recherché!
Au total on a une expression dutype
Il reste à voir si l'on peut procéder ainsi
Pour celà l'avis de Martini et autres pointures seraient utiles.
J'ai trouvé un petit PDF sur le théorème de la phase complexe (5 pages seulement) de l'université de Rennes qui mériterait de se trouver dans la bibiothèque virtuelle au rayon "outils mathématiques".
http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/d...cs/fazstat.pdf
L'auteur y commence d'ailleurs en doutant qu'on puisse travailler avec plusieurs variables ce qui est pourtant suggéré dans : http://en.wikipedia.org/wiki/Station..._approximation
Salut alovesupreme,
On peut soit examiner le comportement asymptotique de cette intégrale :
ou de celle-ci
lesquelles sont toutes obtenues de l'intégrale de départ (voir mon dernier post dans cette discussion).
La variation de la phase dépend des fonctions suivantes
Pour que la méthode de la phase stationnaire puisse s'appliquer, il faut que
On trouve facilement que
Pour la seconde intégrale, c'est encore plus simple. La dérivée seconde de h est nulle, et ne peut donc être supérieur à zéro.
Dans les deux cas, donc, on ne peut pas utiliser la méthode de la phase stationnaire.
Cordialement,
Simon
Il n'est pas difficile alors de montrer que
Simon
Salut Lévesque,
Ok j'ai fait une erreur de signe... même pas grave!
Regarde bien le lien indiqué de l'université de Rennes (le PDF de 5 pages):
Il suffit pour appliquer la formule que la dérivée seconde soit non nulle au point critique.
la différence dans le calcul donne un autra K, c'est tout.
J'aimerais quand même que ce court texte soit validé et savoir si l'on peut faire ce calcul en cascade.
Salut,
qui est la deuxième ligne de l'équation (2.51).
Voilà d'où vient l'intégrale sur E dont on cherche le comportement asymptotique.
Il n'y a pas que le comportement asymptotique qu'il faut étudier: il faut aussi étudier le comportement quand
L'exponentielle (imaginaire) effectue un cycle complet sur un intervalle
Posons :
Moins la fonction
Pour les très grandes valeurs de
PS : La raison étant queLa quantité importante ici est donc:
Pour les très grandes valeurs de
PS2 : à moins d'une erreur, la dépendance surPour les très grandes valeurs de
Salut,PS2 : à moins d'une erreur, la dépendance sur
Et c'est ce que je trouve.
Bonjour popol,
merci pour les indices, mais j'aimerais revenir sur quelques points pour être certain de bien comprendre.
Ok, je pense que je vois où tu veux en venir. On pourrait écrire :L'exponentielle (imaginaire) effectue un cycle complet sur un intervalle
Posons :
Moins la fonction
Et alors, seulement les premiers termes de cette série compteront puisque c'est là où f varie le plus.
Ici, je ne vois pas d'où ça vient et ou ça nous mène... Pourrais-tu m'expliquer un peu le lien entre cette quantité et l'intégrale qu'on évalue?La quantité importante ici est donc:
ça c'est très clair pour moi.Pour les très grandes valeurs de
Là il me manque une étape, peut-être en lien avec la quantité importante que je n'ai pas vu venir.et donc la dépendance sur
Merci encore pour l'aide,
Simon
Ok, tu as raison. Dans une référence [1], la condition est belle et bien que la dérivée seconde doit être supérieure à zéro, mais dans une autre [2], j'ai le cas plus général où elle peut aussi être inférieure à zéro.
J'utilisais au début la référence [1], mais je viens de réaliser que la [2] est beaucoup plus claire... J'y reviens lorsque j'aurai fait le calcul en détail.
Cordialement,
Simon
[1] A. Erdelyi, Asymptotic expansions, Dover, p. 51 (1965)
[2] E. T. Copson, Asymptotic expansions, Cambridge, p.31 (1965)
Oh, je pense que ça y est. Dans un terme comme celui-ci,
puis-je argumenter que lorsque t est grand, la facteur 1/t au cube écrase le terme infini d'ordre 1/E?
Si c'est le cas, alors tous les termes (sauf un) s'annullent, et le résultat est celui escompté.
Qu'en pensez-vous?
Simon
Bonjour,
je me pose une question à propos du caractère dimensionnel du résultat à trouver.
On part de
en posant [M] = 1 , [L] = [T] = -1, on voit que [D] = 2.
Avec la méthode de la phase stationnaire on remplace une intégrale par l'intégrant multiplié par
Si l'on peut procéder avec l'intégrale triple à 3 approximations successives, on voit diparaitre les 3 signes intégrales et on multiplie par
ce qui donne
Pourtant on connait l'expression exacte propagateur de la particule scalaire de masse nulle de masse nulle (je rappelle le lien : propagateur Klein Gordon
C'est l'inverse de l'invatiant relativiste:
On voit pourtant dans le lien le rapport entre ces deux propagateurs:
Et ce n'est pas le cas dans mon résultat. D'où mon problème.
Salut Simon,
La quantité
Par contre, après une analyse plus rigoureuse, c'est un peu moins clair pour moi.En fait, il semble finalement que l'intégrale diverge (voir plus bas) et que tout ce que l'on peut faire c'est évaluer la contribution relative des différentes valeurs de
C'est ce que je me disais en première analyse mais en étudiant le problème plus rigoureusement, tout ce qu'on peut dire c'est que les premiers termes diminuent moins vite au fur et à mesure que l'on augmenteOk, je pense que je vois où tu veux en venir. On pourrait écrire :
Et alors, seulement les premiers termes de cette série compteront puisque c'est là où f varie le plus.
Pour simplifier, faisons le changement de variables que tu as fait dans un post antérieur :
On peut réécrire ça comme suit :Voilà d'où vient l'intégrale sur E dont on cherche le comportement asymptotique. Ensuite, il faut faire quelques changement de variables (
On doit évaluer l'intégrale
Définissant
On peut alors écrire
Pour les valeurs très grandes de
On a :
La contribution de l'intervalle
Par contre si on évalue l'intégrale :
pour une valeur de
Par conséquent, la contribution des grandes valeurs de
Donc, au fur et à mesure que
Il reste à étudier les valeurs intermédiaires de
Voila, j'espère ne pas avoir trop fait d'erreurs
Cette approximation n'est certainement pas vrai pour les petites valeurs de k.Pour les valeurs très grandes de x
De plus, c'est le rapport x/(2mt) qu'il faut comparer devant l'unité.
Bref je doute que la suite soit correcte à cause de cette erreur.
Pour les valeurs très grandes deJe me suis certes mal exprimé (ce qui est excusable lorsqu'on résoud un problème devant un écran et de surcroît en Latex), mais compte tenu de l'approximation qui suit mon hypothèse, "on" aura compris que je voulais dire : "pour les valeurs de
Bref, je doute que la suite soit fausse à cause de la façon d'exprimer la chose
Pour ce qui est des valeurs de
Sinon, as-tu une meilleure solution à proposer à ce problème ?
J'avais en tete l'erreur pour les petites valeurs de k quand j'ai dit cela. Sinon pour le reste ce serait plutot un conseil : ca n'a pas de sens de dire qu'une grandeur dimensionnée est grande ou petite, seules les grandeurs adimensionnée peuvent etre qualifiées comme tel. Ca peut paraitre du pinaillage, mais ca permet outre l'exactitude de mieux faire passer sa démarche de calcul.Bref, je doute que la suite soit fausse à cause de la façon d'exprimer la chose
Honnetement j'ai lu la discussion en diagonale, je ne sais meme pas pourquoi l'integrale a été découpée en une série sur k. Et sans animosité aucune, j'ai d'autres chats (tigres?) à fouetter en ce momentSinon, as-tu une meilleure solution à proposer à ce problème ?désolé de ne pouvoir plus aider. Bon courage.
...qui n'en était pas une
Mais ça a du sens de dire qu'une grandeur dimensionnée est grande ou petite devant une autre quantité de même dimension.
Merci, mais je n'en ai pas besoin, c'est un plaisir de travailler sur de tels problèmes et non une corvée
Ça m'a échappé sur le coup, mais ça n'a pas plus de sens de dire qu'une quantité adimensionnée est grande ou petite : 1 est grand devant 0.000001 mais est petit devant 1000000. La grandeur ou la petitesse concerne la relation entre deux quantités, dimensionnées ou non.
