Aux lecteurs du Peskin

[invite54165721]

Bonjour,

J'aimerais relayer sur le forun de physique une question posée par Lévesque sur celui de mathématique et resté sans réponse:

http://forums.futura-sciences.com/po...5.html#1305785

Je résume le problème physique.

Une particule scalaire non chargée de masse m est émise au temps 0, quelle amplitude de probabilité a t on pour qu'on la retrouve au même endroit au temps t.

Le Peskin page 27 dit exp(-imt) quand t est grand.

Quelqu'un pourrait il justifier ceci?
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[inviteaccb007d]

Bonjour,

Si on prend l'eq. de Schroedinger



avec modelisant une particule scalaire relativiste non-chargée de masse m et sans impulsion . On obtient l'eq. suivante :

.

On resoud alors cette equation et on obtient : .
Voili voilou,
J'espere que la demo est correcte et que cela pourra vous aider...

Cordialement

[invite54165721]

avec modelisant une particule scalaire relativiste non-chargée de masse m et sans impulsion . On obtient l'eq. suivante :

.

On resoud alors cette equation et on obtient : .

Bonjour,

C’est bien tenté car cette onde stationnaire pour une particule d’énergie m, est effectivement celle qui pour des grands t fournit la pulsation cherchée exp(-mt).
En fait, à la création de la particule en un point et à un instant précis, les énergies et impulsions sont indéterminées d’après le principe d’Heisenberg.
En notant
est formé d'une superposition d’ondes d'énergies différentes:

Peskin affirme que pour t tendant vers l'infini c'est la composante p = 0 qui l'emporte le long de la droite x = y = z = 0. Et ceci avec une formule qui pose pb quant à sa valeur

Ce qui est surprenant en plus c’est que le terme en exp(-mt) est obtenu en posant E = m or ceci donne un coefficient nul devant l’exponentielle;
Bref:

[Lévesque]

Bonjour,

à cet égard, je me pose une question. L'argument de Peskin et Schroeder sur la causalité fait finalement intervenir le commutateur entre des mesures, c'est-à-dire les opérateurs phi(x) et phi(y).

Dans la réalité, mesure-t-on vraiment un champ? Je veux dire, un champ est-il un observable? Cette question m'apparait essentielle, mais non discutée dans le livre. Peut-être que c'est seulement moi qui comprend mal

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

Dans la réalité, mesure-t-on vraiment un champ? Je veux dire, un champ est-il un observable?

Je ne pense pas. Enfin on mesure les excitations des champs, maintenant le fait que ce qu'on mesure est en fait un quantum d'un concept plus abstrait (le champ) me parait en-soi inaccessible à l'expérience. C'est une facon de modéliser les choses, rien de plus.
D'une manière générale un lagrangien en théorie des champs (ie les champs et les constantes de couplages) ne sont pas des quantités physiques car ils sont infinis (ce qu'on appelle le lagrangien nu). Il est nécessaire de définir des relations entre le lagrangien et des grandeurs mesurées, c'est ce qu'on appelle un schéma de renormalisation.

[Lévesque]

Alors, que penses-tu de l'argument de Peskin et Schroeder au sujet de la causalité?

[Karibou Blanc]

Alors, que penses-tu de l'argument de Peskin et Schroeder au sujet de la causalité?

euh tu peux me rappeler la page où se trouve le paragraphe en question ?

[Lévesque]

euh tu peux me rappeler la page où se trouve le paragraphe en question ?

pages 27 à 29 de mon édition. Voir le sous chapitre Causality du chapitre 2.

[Karibou Blanc]

Je bloque sur l'assertion : "la quantité la plus simple qu'on puisse mesurer est le champ lui-meme".

Je ne vois pas comment cela est possible, ni ce que cela représente. A moins que le champ en question soit un vrai champ physique, ie un champ de vitesse dans l'écoulement d'un fluide ou un truc dans le genre.

Maintenant si on admet cette assertion, le reste de l'argument tient. Si le commutateur est nul, les deux opérateurs sont diagonalisables simultanemment et il y a aucune interférence possible entre les deux, ce qui est une condition nécessaire et suffisante pour la causalité.

[Gwyddon]

C'est aussi ce qui est dit dans mon cours.

Mais on peut aussi se dire que c'est l'opérateur le plus "simple" que l'on a sous la main pour commencer une vérification de causalité.

Mieux : le champ contient les opérateurs de création et d'annihilation de particules, or ce que l'on peut mesurer par exemple c'est le nombre de particule (donc une valeur propre de l'opérateur nombre), donc d'une certaine façon vérifier la causalité sur le champ c'est la vérifier sur cet opérateur qui est, lui, physique.

[invite54165721]

Bonjour,

Peshkin traite ici du propagateur Dm(x,t)) d'une particule scalaire de masse m et affirme que pour t >> 1, Dm(0,t) se comporte comme exp(-imt).

Styer démontre dans ce lien: http://oberlin.edu/physics/dstyer/St...ein-Gordon.pdf

que pour une telle particule de masse nulle, on a

On peut donc penser que le propagateur massique "au meme endroit" cherché est de la forme

Styer va plus loin, il montre que pour le propagateur massique, on a


J'espère que l'un d'entre vous aura le talent d'arriver à la formule cherchée.

Gwyddon pensait à l'évaluation de l'intégrale par le théorème de la phase stationnaire, il y a sans doute une idée là mais l'intégrale a quand même une drole d'allure qd on l'écrit comme Peshkin

Quelqu'un peut il donner un sens a une telle écriture?

merci pour vos réponses

[Gwyddon]

Gwyddon pensait à l'évaluation de l'intégrale par le théorème de la phase stationnaire, il y a sans doute une idée là

Euh Gwyddon il a bien précisé que c'était une idée rapide qui lui venait à l'esprit, donc faut pas non plus lui accorder trop de crédit

Il faudrait sérieusement que je me penche sur cette question, quand je l'avais vu il y a 5 mois ça ne m'avait pas choqué, mais bon ma lecture était bien rapide...

[Lévesque]

Voici une partie du calcul.

L'équation (2.50) du Peskin est la suivante:

. (eq1)

On veut un intervalle de type temps, et on se place dans le référentiel où . Substituant dans l'eq1, on trouve

.

Puisque , on obtient

.

On passe en coordonnées sphériques pour obtenir





.

Ce dernier résultat est la première ligne de l'équation (2.51). Sachant que , qui implique , on a





qui est la deuxième ligne de l'équation (2.51).

Voilà d'où vient l'intégrale sur E dont on cherche le comportement asymptotique. Ensuite, il faut faire quelques changement de variables ( et ). On obtient

.

Il reste à étudier le comportement asymptotique de l'intégrale sur x et, par exemple, montrer qu'elle converge moins rapidement que l'exponentielle. Voilà où j'en suis.

Simon

[invite54165721]

Euh Gwyddon il a bien précisé que c'était une idée rapide qui lui venait à l'esprit, donc faut pas non plus lui accorder trop de crédit

Bonjour,

je trouve tellement que c'est une bonne idée que jaimerais l'appliquer 3 fois de suite.

Dans la phase:

les dérivées prtielles par rapport aus impulsions ne s'annulent qu'une fois en 0 qui est le point critique et les dérivées secondes sont strictement positives.

devient
puis
puis

ce qui est l'exposant recherché!

Au total on a une expression dutype



Il reste à voir si l'on peut procéder ainsi
Pour celà l'avis de Martini et autres pointures seraient utiles.

J'ai trouvé un petit PDF sur le théorème de la phase complexe (5 pages seulement) de l'université de Rennes qui mériterait de se trouver dans la bibiothèque virtuelle au rayon "outils mathématiques".
http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/d...cs/fazstat.pdf

L'auteur y commence d'ailleurs en doutant qu'on puisse travailler avec plusieurs variables ce qui est pourtant suggéré dans : http://en.wikipedia.org/wiki/Station..._approximation

[Lévesque]

Salut alovesupreme,

On peut soit examiner le comportement asymptotique de cette intégrale :

,

ou de celle-ci

.

lesquelles sont toutes obtenues de l'intégrale de départ (voir mon dernier post dans cette discussion).

La variation de la phase dépend des fonctions suivantes



.

Pour que la méthode de la phase stationnaire puisse s'appliquer, il faut que , où est la valeur de p (resp. de E) en laquelle (resp. ) est stationnaite, c'est-à-dire que (resp. ).

On trouve facilement que si et donc . Il n'est pas difficile alors de montrer que , c'est-à-dire que la condition pour utiliser la méthode de la phase stationnaire n'est pas respectée en ce qui concerne la première intégrale.

Pour la seconde intégrale, c'est encore plus simple. La dérivée seconde de h est nulle, et ne peut donc être supérieur à zéro.

Dans les deux cas, donc, on ne peut pas utiliser la méthode de la phase stationnaire.

Cordialement,

Simon

[invite54165721]

Il n'est pas difficile alors de montrer que , c'est-à-dire que la condition pour utiliser la méthode de la phase stationnaire n'est pas respectée en ce qui concerne la première intégrale.


Simon

Salut Lévesque,

Ok j'ai fait une erreur de signe... même pas grave!

Regarde bien le lien indiqué de l'université de Rennes (le PDF de 5 pages):
Il suffit pour appliquer la formule que la dérivée seconde soit non nulle au point critique.
intervient en valeur absolue au dénominateur et dans une constante par son signe.
la différence dans le calcul donne un autra K, c'est tout.

J'aimerais quand même que ce court texte soit validé et savoir si l'on peut faire ce calcul en cascade.

[invitefa5fd80c]

qui est la deuxième ligne de l'équation (2.51).

Voilà d'où vient l'intégrale sur E dont on cherche le comportement asymptotique.

Salut,

Il n'y a pas que le comportement asymptotique qu'il faut étudier: il faut aussi étudier le comportement quand

L'exponentielle (imaginaire) effectue un cycle complet sur un intervalle donné par :



Posons :

Moins la fonction varie sur l'intervalle ci-haut, et plus l'intégrale sur cet intervalle s'approche de . La quantité importante ici est donc:



Pour les très grandes valeurs de , il est facile de montrer qu'il n'y a qu'un petit intervalle près de qui contribue à l'intégrale et donc la dépendance sur est de la forme

[invitefa5fd80c]

La quantité importante ici est donc:



Pour les très grandes valeurs de , il est facile de montrer qu'il n'y a qu'un petit intervalle près de qui contribue à l'intégrale et donc la dépendance sur est de la forme

PS : La raison étant que quand

[invitefa5fd80c]

Pour les très grandes valeurs de , il est facile de montrer qu'il n'y a qu'un petit intervalle près de qui contribue à l'intégrale et donc la dépendance sur est de la forme

PS2 : à moins d'une erreur, la dépendance sur devrait être de la forme

[invite54165721]

PS2 : à moins d'une erreur, la dépendance sur devrait être de la forme

Salut,

Et c'est ce que je trouve.

[Lévesque]

Bonjour popol,

merci pour les indices, mais j'aimerais revenir sur quelques points pour être certain de bien comprendre.

L'exponentielle (imaginaire) effectue un cycle complet sur un intervalle donné par :



Posons :

Moins la fonction varie sur l'intervalle ci-haut, et plus l'intégrale sur cet intervalle s'approche de .

Ok, je pense que je vois où tu veux en venir. On pourrait écrire :





Et alors, seulement les premiers termes de cette série compteront puisque c'est là où f varie le plus.

La quantité importante ici est donc:

Ici, je ne vois pas d'où ça vient et ou ça nous mène... Pourrais-tu m'expliquer un peu le lien entre cette quantité et l'intégrale qu'on évalue?

Pour les très grandes valeurs de , il est facile de montrer qu'il n'y a qu'un petit intervalle près de qui contribue à l'intégrale

ça c'est très clair pour moi.

et donc la dépendance sur est de la forme

Là il me manque une étape, peut-être en lien avec la quantité importante que je n'ai pas vu venir.

Merci encore pour l'aide,

Simon

[Lévesque]

Regarde bien le lien indiqué de l'université de Rennes (le PDF de 5 pages):
Il suffit pour appliquer la formule que la dérivée seconde soit non nulle au point critique.

Ok, tu as raison. Dans une référence [1], la condition est belle et bien que la dérivée seconde doit être supérieure à zéro, mais dans une autre [2], j'ai le cas plus général où elle peut aussi être inférieure à zéro.

J'utilisais au début la référence [1], mais je viens de réaliser que la [2] est beaucoup plus claire... J'y reviens lorsque j'aurai fait le calcul en détail.

Cordialement,

Simon

[1] A. Erdelyi, Asymptotic expansions, Dover, p. 51 (1965)
[2] E. T. Copson, Asymptotic expansions, Cambridge, p.31 (1965)

[Lévesque]

Oh, je pense que ça y est. Dans un terme comme celui-ci,



puis-je argumenter que lorsque t est grand, la facteur 1/t au cube écrase le terme infini d'ordre 1/E?

Si c'est le cas, alors tous les termes (sauf un) s'annullent, et le résultat est celui escompté.

Qu'en pensez-vous?

Simon

[invite54165721]

Bonjour,

je me pose une question à propos du caractère dimensionnel du résultat à trouver.

On part de
.

en posant [M] = 1 , [L] = [T] = -1, on voit que [D] = 2.

Avec la méthode de la phase stationnaire on remplace une intégrale par l'intégrant multiplié par donc dans ce cas par
Si l'on peut procéder avec l'intégrale triple à 3 approximations successives, on voit diparaitre les 3 signes intégrales et on multiplie par
l'intégrant
ce qui donne qui est bien de dimension2.

Pourtant on connait l'expression exacte propagateur de la particule scalaire de masse nulle de masse nulle (je rappelle le lien : propagateur Klein Gordon
C'est l'inverse de l'invatiant relativiste: qui est lui aussi de dimension 2

On voit pourtant dans le lien le rapport entre ces deux propagateurs:
doit etre obtenu en remplaçant dans le propagateur massique le terme en m par zero!!!

Et ce n'est pas le cas dans mon résultat. D'où mon problème.

[invitefa5fd80c]

Ici, je ne vois pas d'où ça vient et ou ça nous mène... Pourrais-tu m'expliquer un peu le lien entre cette quantité et l'intégrale qu'on évalue?

Salut Simon,

La quantité n'intervient pas directement dans le calcul. C'est simplement une quantité qui sert d'indicateur pour identifier les valeurs de qui contribuent le plus à l'intégrale.

ça c'est très clair pour moi.

Par contre, après une analyse plus rigoureuse, c'est un peu moins clair pour moi. En fait, il semble finalement que l'intégrale diverge (voir plus bas) et que tout ce que l'on peut faire c'est évaluer la contribution relative des différentes valeurs de les unes par rapport aux autres.

Ok, je pense que je vois où tu veux en venir. On pourrait écrire :





Et alors, seulement les premiers termes de cette série compteront puisque c'est là où f varie le plus.

C'est ce que je me disais en première analyse mais en étudiant le problème plus rigoureusement, tout ce qu'on peut dire c'est que les premiers termes diminuent moins vite au fur et à mesure que l'on augmente .
Pour simplifier, faisons le changement de variables que tu as fait dans un post antérieur :

Voilà d'où vient l'intégrale sur E dont on cherche le comportement asymptotique. Ensuite, il faut faire quelques changement de variables ( et ). On obtient

.

On peut réécrire ça comme suit :



On doit évaluer l'intégrale donnée par :



Définissant comme je l'ai fait plus haut, ceci correspond à un donné par :

On peut alors écrire comme suit :



Pour les valeurs très grandes de , on a : , de sorte que :



On a :



La contribution de l'intervalle en ne dépend donc pas de la valeur de . C'est pourquoi je disais plus haut que l'intégrale que tu veux évaluer diverge, car se rend jusqu'à l'infini.

Par contre si on évalue l'intégrale :



pour une valeur de beaucoup plus petite que , on trouve :



Par conséquent, la contribution des grandes valeurs de diminue plus rapidement par un facteur qu'un petit intervalle autour de .

Donc, au fur et à mesure que augmente, la contribution relative des valeurs de autour de augmente de plus en plus par rapport à la contribution des grandes valeurs de .

Il reste à étudier les valeurs intermédiaires de , ce qui est beaucoup moins simple, mais intuitivement ça ne devrait pas changer le résultat.


Voila, j'espère ne pas avoir trop fait d'erreurs

[Karibou Blanc]

Pour les valeurs très grandes de x

Cette approximation n'est certainement pas vrai pour les petites valeurs de k.
De plus, c'est le rapport x/(2mt) qu'il faut comparer devant l'unité.
Bref je doute que la suite soit correcte à cause de cette erreur.

[invitefa5fd80c]

Pour les valeurs très grandes de , on a : ,...

Cette approximation n'est certainement pas vrai pour les petites valeurs de k.
De plus, c'est le rapport x/(2mt) qu'il faut comparer devant l'unité.
Bref je doute que la suite soit correcte à cause de cette erreur.

Je me suis certes mal exprimé (ce qui est excusable lorsqu'on résoud un problème devant un écran et de surcroît en Latex), mais compte tenu de l'approximation qui suit mon hypothèse, "on" aura compris que je voulais dire : "pour les valeurs de grandes devant "
Bref, je doute que la suite soit fausse à cause de la façon d'exprimer la chose

Pour ce qui est des valeurs de , on ne peut rien te cacher, c'est effectivement pour les grandes valeurs de que l'approximation s'applique.

Sinon, as-tu une meilleure solution à proposer à ce problème ?

[Karibou Blanc]

Bref, je doute que la suite soit fausse à cause de la façon d'exprimer la chose

J'avais en tete l'erreur pour les petites valeurs de k quand j'ai dit cela. Sinon pour le reste ce serait plutot un conseil : ca n'a pas de sens de dire qu'une grandeur dimensionnée est grande ou petite, seules les grandeurs adimensionnée peuvent etre qualifiées comme tel. Ca peut paraitre du pinaillage, mais ca permet outre l'exactitude de mieux faire passer sa démarche de calcul.

Sinon, as-tu une meilleure solution à proposer à ce problème ?

Honnetement j'ai lu la discussion en diagonale, je ne sais meme pas pourquoi l'integrale a été découpée en une série sur k. Et sans animosité aucune, j'ai d'autres chats (tigres?) à fouetter en ce moment désolé de ne pouvoir plus aider. Bon courage.

[invitefa5fd80c]

J'avais en tete l'erreur pour les petites valeurs de k quand j'ai dit cela.

...qui n'en était pas une

Sinon pour le reste ce serait plutot un conseil : ca n'a pas de sens de dire qu'une grandeur dimensionnée est grande ou petite,

Mais ça a du sens de dire qu'une grandeur dimensionnée est grande ou petite devant une autre quantité de même dimension.

Bon courage.

Merci, mais je n'en ai pas besoin, c'est un plaisir de travailler sur de tels problèmes et non une corvée

[invitefa5fd80c]

Sinon pour le reste ce serait plutot un conseil : ca n'a pas de sens de dire qu'une grandeur dimensionnée est grande ou petite, seules les grandeurs adimensionnée peuvent etre qualifiées comme tel.

Ça m'a échappé sur le coup, mais ça n'a pas plus de sens de dire qu'une quantité adimensionnée est grande ou petite : 1 est grand devant 0.000001 mais est petit devant 1000000. La grandeur ou la petitesse concerne la relation entre deux quantités, dimensionnées ou non.