[MPSI] Electrocinétique : câble coaxial

[invitea7fcfc37]

Bonsoir à tous,

Je planche sur un exercice dont le sujet est un câble coaxial.
L'énoncé est en pièce jointe.

Questions :

1. Exprimer la résistance d'une couronne d'isolant de hauteur dx.



2. En applicant la loi d'Ohm successivement à l'âme, à l'armature externe et à l'isolant, établir 3 ED en V1(x) V2(x) et i(x).

J'ai considéré que la résistance pour une couronne de l'armature externe de hauteur dx était c'est bon ?

De plus je veux bien appliquer la loi d'Ohm, je connais la différence de potentiel, mais que vaut l'intensité dans la couronne de l'armature externe ?

i(x), i(x+dx), une moyenne des deux ?

Merci d'avance !

A+
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[pephy]

bonjour
la résistance d'une longueur dx de l'armature externe se calcule comme pour l'isolant:

pour la loi d'Ohm je pense que l'on peut utiliser i(x) pour les 2 conducteurs [ i(x+dx)est très voisin de i(x)] et la différence i(x+dx)-i(x) pour l'isolant
Ce qui donnerait:
V1(x+dx)-V1(x)=dV1=dR1.i(x)
dV2=-dR2.i(x)
V2(x)-V1(x)=dV=dR.[i(x+dx)-i(x)]

[invitea7fcfc37]

Salut pephy,

Merci pour ta réponse,

Pour les résistances, je pensais que le terme résistance linéique nous donnait la résistance d'une portion unitaire du conducteur, en fait quelle est la différence entre la résistivité et la résistance linéique ?

Pour les équations, j'ai bien compris le principe, cependant, cela ne devrait pas plutôt être :

dV1 = -dR1 * i(x)
dV2 = dR2 * i(x)
V2(x) - V1(x) = dR di
?

Ensuite on me demande de sortir une ED du 2nd ordre en i(x), mais j'dois avouer que la troisième égalité me pose des soucis, j'ai pensé à exprimer dV2 - dV1 de 2 manières :

d(V2(x) - V1(x)) = dV2 - dV1 = d(dR di) = d²r di + d²i dr
dV2 - dV1 = (dR1 + dR2) i(x)

et en remplaçant les dRi par ki*dx où ki désigne le coefficient constant associé au dx dans l'expression de dRi on a

(k1 + k2) dx i(x) = k d²x di + k d²i dx

ensuite je divise par dx mais ça ne donne rien de probant

En tout cas, merci pour l'aide.

Ciao

[pephy]

bonjour
Désolé pour la résistance, j'avais mal lu l'énoncé: on donne effectivement la résistance par unité de longueur et non la résistivité;donc çà fait bien
et
Pour le reste:
V(x+dx)-V(x)=dV --> en écrivant la loi d'Ohm de x vers x+dx ,on est dans le sens du courant pour le conducteur central et en sens inverse pour le conducteur extérieur...donc je me suis trompé dans les signes
La 3ème équation V2(x)-V1(x)=dR.di ne semble pas homogène (infiniment petit d'ordre 1 à gauche et d'ordre 2 à droite)...je réfléchis ...à suivre

[A voir en vidéo sur Futura]

[pephy]

OK j'ai vu où était le problème:
lorsque tu calcules la résistance de l'isolant, la longueur de conducteur n'est pas dx, mais r2-r1 avec une section variable..
pour une couronne élémentaire de rayon r , de longueur dr , la section vaut dS=2*pi*r*dx d'où une résistance:

à intégrer entre r1 et r2, soit
il y a un dx en dénominateur ce qui arrange bien les choses lorsqu'on fait ensuite dV2/dx-dV1/dx

[invitea7fcfc37]

Salut pephy,

Merci beaucoup, j'ai compris où je m'étais planté
C'est un courant de fuite perpendiculaire à l'axe des x donc forcément la longueur n'est pas dx ...

Je vais continuer avec ce que tu m'as indiqué, et reviendrais si j'ai encore des soucis

Encore merci !

A+

[invitea7fcfc37]

Alors :

J'ai avancé un peu : je recommence tout

On souhaite calculer la résistance d'une portion d'isolant de longueur dx, on a :

On a aussi pour les deux conducteurs :

On applique la loi d'Ohm aux deux conducteurs et à l'isolant, on obtient :

ce qui nous donne :

On note donc .

On en déduit une équation du second degré en i(x) :

D'une part :

D'autre part :

d'où :

soit :

On note .

La solution générale de cette équation différentielle est :

Sa dérivée vaut :

Or pour x = 0, on a :

d'après l'ED de plus haut.

On en déduit ensuite et puis la solution de l'ED en i(x).

Voilà, louée soit l'âme courageuse qui a tout lu
Je ne sais pas si il y a des fautes, je vais faire la suite bientôt, à savoir déduire et .

Merci beaucoup,

A+

[invitea7fcfc37]

Bon je continue, sait-on jamais, pephy reviendra peut être

Alors je calcule et :

En intégrant on obtient :

Or pour x = 0 on a :

d'où :

De la même manière :

En effectuant la même méthode il vient :

Bon je sais pas du tout si c'est bon, je doute, sur 30 lignes j'dois bien avoir 1 erreur de calcul au moins

Bref, la question d'après, et la dernière d'ailleurs c'est :

4. En déduire la résistance de ce câble coaxial, définie par :

avec en indication l'utilisation d'un DL.

Je ne vois pas trop pour l'instant, je vais y réfléchir, en espérant que ce que j'ai déjà fait soit bon....

Merci,

A+

[invitea7fcfc37]

Je me rends compte que j'ai oublié de donner l'expression de i(x) que j'avais trouvé finalement, je la donne ici :

[pephy]

Me revoilà!
çà me semble OK;
j'ai intégré l'équadiff en i(x)=A*exp(wx)+B*exp(-wx) plutôt que de manipuler les fonctions hyperboliques; j'obtiens la même valeur pour i(x)
Je vais vérifier pour les tensions.

[invitea7fcfc37]

Super merci

J'ai utilisé les fonctions hyperboliques parce que notre prof préfère, mais c'est vrai qu'en exponentielle c'est tout aussi bien.

Je réfléchis à la dernière question.

[pephy]

C'est bon pour les tensions.
Si on connaît la longueur L du câble et ce qu'il y a au bout on peut exprimer (v1-v2)/i0 en fonction de sh(wL) et ch(wL) ?
Pour faire un DL je ne vois pas trop....