Ressort et PFD

[invite6f96b329]

Bonjour, j'aimerais démontrer l'expression de la période d'un ressort par le principe fondamental de la dynamique... Je fais -mg + k(l-l_O)=mvec(a) mais je ne sais pas trop comment continuer. Dois-je sortir la vitesse ?

Merci de m'aider.

David
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Il faut projeter ta relation sur un vecteur unitaire bien choisi et exprimer le lien entre l'accélération de la masse et l'allongement du ressort.

[invite6f96b329]

Salut,

Il faut projeter ta relation sur un vecteur unitaire bien choisi et exprimer le lien entre l'accélération de la masse et l'allongement du ressort.

Je vois pas très bien en fait. J'ai projeté sur un axe vertical dirigé vers le haut. Je ne sais pas ce que je dois faire de l'accélération... Et surtout comment arriver à la période.

[invite6f96b329]

"exprimer le lien entre l'accélération de la masse et l'allongement du ressort." Je ne vois pas ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

OK pour la projection. Pour l'accélération de la masse, qu'elle est sa définition ?

La périodicité apparaîtra quand tu aura résolu l'équation différentielle vérifiée par la position de la masse. (ou par l'allongement du ressort, ça marche aussi)

[invite6f96b329]

L'accélération de la masse, c'est la dérivée de la vitesse du centre d'inertie par rapport au temps.

[invite6f96b329]

Je ne vois pas comment arriver à l'équation différentielle par ce que j'ai que dv/dt et mg et k(l-lo) et pas d'autre v. Et je ne comprends pas comment introduire la périodicité.

[Flyingsquirrel]

Tu ne vois pas le lien entre la vitesse v et l'allongement l ? As tu un schéma de la situation sous les yeux ? avec toutes les grandeurs représentées dessus ?

Pour la périodicité ne t'inquiètes pas, elle s'introduira d'elle même.

[invite6f96b329]

Si, j'ai un schéma mais non, je vois pas comment relier l et v à moins que ce soit vt ?

[invite6f96b329]

Comment faut-il faire ? l'allongement ? Comment le relier à la vitesse (car elle n'est pas constante ? dl/dt ?

[invite6f96b329]

J'essaye, j'essaye mais ne vois pas...

[invite6f96b329]

Ce serait possible que l'on me donne une indication, parce que je n'avance pas et ne sais pas comment faire...

[invite6f96b329]

Flyingsquirrel, je comprends que tu ne veuilles pas le faire à ma place lol mais donne moi un indice ! (En fait, je veux comprendre le cours, parce que c'est une démo que le prof a dit simple et j'essaye depuis un moment et je ne trouve pas...)

[invite6f96b329]

Personne ne peut m'aider ?....

[invite6f96b329]

Quelqu'un peut m'aider? Ce serait très gentil...

[Heimdall]

salut,

Peut-etre tu as du mal avec le terme d'allongement.

Imagine une table, un ressort a l'horizontal dessus, d'un coté attaché à un mur de l'autre une bille qui roule sans frottement.

Au repos la position de la bille est x = l0 par rapport au mur (i.e. la position du mur est x = 0)

Lorsque tu tire sur le ressort la bille se trouve à d = l-l0 de la position de départ, d est la longueur entre la position l actuelle et la position l0 au repos.

on peut établir l'équation du mouvement en fonction de la variable d, l'allongement du ressort. Mais on peut aussi (et c'est plus facile je pense) parler de la position absolue de la bille qui est au bout du ressort.

Disons que la bille est à x = 0 au départ, c'est à dire quand le ressort est au repos. Note qu'on vient de décaler l'axe précédent d'une longueur l0 par rapport au mur, mais on s'en fout en fait de la valeur numérique de x, on place donc le 0 sur la bille au départ.

Maintenant tire sur le ressort en tirant sur la bille, que ce passe-t-il ? x augmente, et quand tu lache, la tension du ressort rappelle la bille vers les x plus petit jusqu'à ce que le ressort repousse la bille etc etc.. indéfiniment.

En supposant que la bille roule sans frottement sur la table, alors le ressort va pousser la bille et la retirer indéfininment, sa position x va donc osciller entre une valeur xmax et xmin en suivant une période bien déterminée.

Ok, maintenant, il doit etre possible d'obtenir une équation pour le mouvement de x.

Quels sont les parametres du système ?

Et bien tu connais la Masse de la bille : m
Tu connais la constante de raideur du ressort : k

quelles sont les variables :

x : on a vu que la position oscillait.
v : la vitesse est une variable car quand on est a un extremum du mouvement elle s'annule
a : l'acceleration en est une aussi.

Bien, maintenant tout ça identifié, on connait le PFD qui nous permet de lier l'accélération d'un corps soumis a une force à sa vitesse.

Le PFD te permet de relier 2 des 3 variables qu'on a identifié : l'accélération et la vitesse.

La question est : connais-tu une équation permettant de relier la troisième variable à l'une des deux autres ? Si oui, il suffit de la remplacer dans ton équation, pour n'avoir une équation que d'une variable.

[invite6f96b329]

Merci pour ta réponse Heimdall... J'ai bien compris ce qu'était l'allongement grâce à toi.

On a vec(P) + vec(F (de rappel) = m vec a
Si on projette sur un axe horizontal :
k(l-lo) = m(dv/dt)
l-lo varie en fonction de la vitesse si l-lo = -x alors la primitive est la vitesse.

J'ai l'impression de dire n'importe quoi...

[Heimdall]

continue... si tu as -kx = mdv/dt, regarde la liste des variables qu'on a pour le probleme et écris l'équation différentielle en fonction d'une seule variable.

On cherche à trouver l'équation régissant le mouvement, c'est à dire l'équation régissant l'évolution temporelle de la position de la bille au bout du ressort.

[invite6f96b329]

Oui, mais je ne vois pas grand chose à part que v(t)=xt
-kx = mdv/dt,
-(k/t)(xt)=mdv/dt
-(k/mt)v=dv/dt
dv/v=(-k/mt)dt
ln v = -k/m lnt + C
Si v = 1, ln v = 0 donc C = 0

ln v = -k/m lnt
v = t e(-k/m)

Pour l'instant je suis dans le bon ?

[Heimdall]

Oui, mais je ne vois pas grand chose à part que v(t)=xt

Non
Premièrement si v=xt alors tu as un problème de dimension, une vitesse sont des mètres par seconde, donc une longueur divisée par un temps. et là tu dis que ce sont des metre FOIS un temps.... Donc ça serait plutot v = x/t.

Mais v = x/t n'est pas la définition de la vitesse, si x était une distance et t une durée (ce qui n'est pas le cas ici x est une position et t un temps, i.e. on se fout de l'origine) alors cette division serait la vitesse moyenne.

Tu as mdv/dt = -kx.

on a dit que x représente la position de la bille à l'instant t, c'est à dire sa position instantanée. Que représente dv/dt ? Tu l'as trouvé toi même, c'est l'accélération au temps t, et par définition c'est la variation infinitésimale de la vitesse, c'est à dire sa dérivée par rapport au temps.

Maintenant, qu'est-ce que la vitesse instantanée de la bille, par rapport à sa position ?

[invite6f96b329]

a = dv/dt = d²x/dt² mais je ne vois toujours pas comment l'exprimer en fonction de v

[invite2593aa43]

a = dv/dt = d²x/dt² mais je ne vois toujours pas comment l'exprimer en fonction de v

il dit mx''=-kx
x''=(-k/m)x
x''+(k/m)x=0 ,w=k/m

[invite6f96b329]

Ah ok je croyais qu'il fallait garder v. donc m(dv/dt)=-kx
mx''=-kx
x''=(-k/m)x
Avec d²x/dt², la résolution se fait comment ?

[invite6f96b329]

Parce que je sais que 1er ordre K x exp(-b/a)

[Heimdall]

Salut,

Je ne comprends pas bien, je pensais que tu l'avais vu en cours et que tu n'avais pas compris ?

La solution des équations différentielles ordinaires linéaires du second ordre de la forme :



est :



Comme c'est une équation différentielle du second ordre (i.e. la dérivée de la fonction apparait à l'ordre 2 au max) il faut grossièrement intégrer deux fois pour trouver la solution, d'où l'apparition des deux constantes A et qui se déterminent à partir des conditions initiales du problème.

Applique ça a ton Eq. diff, quelle est la période de ton mouvement ? Comment augmente la fréquence lorsque tu augmente la constante de raideur ?

[invite6f96b329]

Merci pour ta réponse en fait c'est une parenthèse dans le cours où on nous dit qu'on peut trouver que la constante vaut 2pi en utilisant le PFD. On avait démontré la forme générale de la période.

[invite6f96b329]

Ca donne pour le début :



ET LA JE NE SAIS PLUS OU ALLER...

[invite6f96b329]

Ca s'intègre un ln ?

[Heimdall]

je t'ai donné la réponse... !
Il suffit d'avoir les conditions initialies pour en déduire la valeur des constantes.

[invite6f96b329]

mais je ne peux plus intégrer là ?