solution exacte d'un probleme de diffraction

[invite8c514936]

Bonjour a tou(te)s,

Je me pose une question de physique et avant de me lancer dans une recherche extensive sur le net (je n'ai pas acces a des bouquins pendant encore une semaine), toute aide de quelqu'un qui aurait une idee serait la bienvenue...

Alors voila. Je voudrais connaitre la distribution du champ electromagnetique dans la situation physique suivante, on envoie selon l'axe z une onde plane monochromatique polarisee rectilignement selon l'axe x, sur un plan conducteur perpendiculaire a l'axe z, dans lequel on a creuse une fente de largeur l dans la direction y et infinie dans la direction x...

Si vous avez survecu a cette description horrible, vous avez reconnu un dispositif de diffraction tout bete. Ce qui m'interesse c'est le champ electromagnetique derriere l'obstacle. Je sais resoudre ce probleme en utilisant la simplification apportee par le principe de Huygens, mais je me demande si une solution exacte, resultant de la resolution directe des equations de Maxwell avec les conditions aux limites appropriees, existe...

Merci d'avance pour vos commentaire et votre aide, de mon cote je reviens des que j'ai une piste ou la solution...
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[invite8c514936]

Bon, un indice apres une premiere peche aux infos, il semble que l'approche exacte fasse intervenir la transformation de Sommerfeld-Malyuzhinets, que je ne connais pas encore mais bon...

Au passage, si vous savez comment on resoud le probleme exactement avec seulement un demi-plan diffractant, je suis preneur aussi....

[invitea0046ad4]

Bonjour

la solution exacte de la diffraction par un demi-plan conducteur est connue (due à Sommerfeld) et s'exprime en fonction de l'intégrale de Fresnel.
Le développement complet est donné dans le Born&Wolf, "Principle of Optics" (la bible des opticiens).
Pour ce qui est de la solution de ton problème, à froid, sans avoir réfléchi, j'aurais tendance à essayer d'appliquer la forme électromagnétique du principe de Babinet.
Il est vrai qu'en général, on ne s'intéresse pas souvent à ce qui se passe juste au niveau de l'ouverture mais plutôt au champ lointain.

Quelle est l'application ?

[invite88ef51f0]

Salut Deep_turtle,
Si tu veux trouver des physiciens qui ont des scrupules à se placer en champ lointain tout de suite, tu peux regarder du côté de l'acoustique.
Dans l'expérience du plan diffractant, on a 2 formules possibles : en effet, la fonction de Green n'est pas unique et donc on peut toujours s'arranger pour faire sauter un terme gênant (c'est bôôô la physique !). Bref, notre ami Sommerfeld nous donne l'expression du potentiel acoustique au point d'observation en fonction soit du potentiel en (point appartenant au plan), soit de la dérivée du potentiel. Bref, vive LaTeX :

• Formule de Rayleigh-Sommerfeld : (où est la normale à ta surface)
• Formule de Rayleigh : (avec )

Ensuite à toi de choisir si tu préfères t'embêter avec la dérivée du potentiel ou bien avec le méchant terme en cos...

En espérant que tout ça puisse t'aider.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0046ad4]

Salut Deep_turtle,
Si tu veux trouver des physiciens qui ont des scrupules à se placer en champ lointain tout de suite, tu peux regarder du côté de l'acoustique.
Dans l'expérience du plan diffractant, on a 2 formules possibles : en effet, la fonction de Green n'est pas unique et donc on peut toujours s'arranger pour faire sauter un terme gênant (c'est bôôô la physique !). Bref, notre ami Sommerfeld nous donne l'expression du potentiel acoustique au point d'observation en fonction soit du potentiel en (point appartenant au plan), soit de la dérivée du potentiel. Bref, vive LaTeX :

• Formule de Rayleigh-Sommerfeld : (où est la normale à ta surface)
• Formule de Rayleigh : (avec )

Ensuite à toi de choisir si tu préfères t'embêter avec la dérivée du potentiel ou bien avec le méchant terme en cos...

En espérant que tout ça puisse t'aider.

Cette formule n'est pas utilisable ici car elle résulte d'une hypothèse qui n'est pas vérifiée : il s'agit des conditions aux limites.
Cette formule, ainsi que toutes ses variantes (intégrale de Kirchhoff...) suppose que l'obstacle diffractant est absorbant.
Ce qui n'est pas le cas : on parle d'un plan conducteur.

Il faut poser les équations de Maxwell et les bonnes conditions aux limites pour résoudre le problème.

A+

[invite88ef51f0]

Argh... quelle idée de prendre un plan conducteur ! Bon ben je peux plus rien pour toi, Deep_turtle, avec mon acoustique.

[invite8c514936]

OK, merci pour ces remarques !

la solution exacte de la diffraction par un demi-plan conducteur est connue (due à Sommerfeld) et s'exprime en fonction de l'intégrale de Fresnel.
Le développement complet est donné dans le Born&Wolf, "Principle of Optics" (la bible des opticiens).

OK je vais regarder quand j'aurai de nouveau acces aux bouquins, je connais celui-ci en effet. Dans mon souvenir, les integrales de Fresnel intervenaient quand on faisait des hypotheses simplificatrices sur la propagation du champ, du style Huygens justement... Mais bon j'arrete de causer avant d'avoir suivi ton conseil, merci bien !

Quelle est l'application ?

Y en a pas vraiment... J'essaie de mettre mes idees a plat sur les hypotheses simplificatrices qu'on fait en optique enseignee a la fac, et de voir la nature et l'ordre de grandeur que ces hypotheses introduisent sur le resultat, le tout en me basant sur un exemple precis et assez simple...

Bon ben je peux plus rien pour toi, Deep_turtle, avec mon acoustique.

Ben en fait si, ton exemple m'est assez utile aussi, car ca peut permettre de voir en quoi l'hypothese de Huygens serait plus (ou moins) utilisable en acourstique qu'en optique, par exemple...

[invite88ef51f0]

ton exemple m'est assez utile aussi

Manière très diplomate de dire que ça ne t'est pas utile pour ce problème ... Mais c'est vrai que l'acoustique repose sur le même formalisme que l'optique ondulatoire (des ondes scalaires longitudinales ressemblent quand même très fortement à des ondes vectorielles transverses), mais par contre il y a quand même une différence notable qui vient de la longueur d'onde. On passe d'un demi-micron pour la lumière visible à un demi-millimètre pour des ultrasons dans l'eau. Ca permet donc de remettre en question des approximations classiques en optique, et d'avoir de la diffraction partout.
Et puis il y a aussi le fait qu'en acoustique, on est sensible directement à l'amplitude de l'onde, et non à une moyenne du carré...
Bref, faire de l'acoustique permet de prendre un peu de recul face à l'optique.

Fin du hors-sujet

[invitea0046ad4]

Bonjour

Deep_turtle:
- Je confirme qu'il s'agit bien d'une solution exacte pour le demi-plan.
Comme il y a plusieurs formules qui portent le nom de Fresnel, je précise qu'il s'agissait de Integrale(exp(i.x²)) (et non de l'intégrale de diffraction d'Huygens-Fresnel).
Voir chapitre "Rigourous diffraction theory" du Born&Wolf

- C'est vrai que dans les présentations pédagogiques de la diffraction, on passe souvent assez vite sur les conditions de validité. C'est justifié par le fait qu'en champ lointain, la différence est faible d'un point de vue pratique, et on s'intéresse rarement à ce qui se passe précisément au niveau de l'ouverture d'un diaphragme.
On ne s'intéresse pas non plus à ce qui se passe loin de la normale au diaphragme, dans le cas d'optique d'imagerie (ça peut être important pour d'autres problèmes !).
Par contre, on restreint un peu abusivement le champ d'application de la notion de trajectoire de rayon lumineux à l'approximation des hautes fréquences et à l'optique géométrique alors qu'on peut introduire rigoureusement la notion de "rayon diffracté" à partir d'un principe variationnel (une sorte de "super" principe de Fermat), et qu'on peut également propager des champs spatialement cohérents (donc "autodiffractant") au moyen de "rayons".

Coincoin:
- Tout dépend du domaine de longueur d'onde. A partir des micro-ondes, les détecteurs sont bien sensibles au champ et les gens qui travaillent sur les radars font couramment des calculs de diffraction d'amplitude.
Mais bon là, je chipote: le terme "optique" est plutôt réservé aux fréquences plus élevées, où la détection est quadratique.

A+

[invite8c514936]

OK, j'ai le bouquin sous les yeux et c'est exactement ce que je cherchais... Merci beaucoup pour votre aide et vos commentaires, merci ++ a Lambda0 !