Espace eucledien ou non

[ABN84]

bonsoir,
selon la convention d'einstein dans un espace eucledien un vecteur s'ecrit:
v=a1.x+a2.y+a3.z
à quoi ressemblerait un espace ou:
v=a1.x+a1.a2.y+a1.a2.a3.z
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[mach3]

à quoi ressemblerait un espace ou:
v=a1.x+a1.a2.y+a1.a2.a3.z

Pas trop calé sur la question mais j'intuite des choses :

-ça reste un espace euclidien, j'ai l'impression, c'est juste un mauvais choix de coordonnées. On peut montrer que les trois coordonnées a1, a1.a2 et a1.a2.a3 sont indépendantes quand a1 et a2 sont non nuls.

-Je dirais que c'est p-t un sous-espace ou une partie de R³, car certaines coordonnées sont exclues. On dirait que c'est R³ dont on a ôté le plan x=0 tout en laissant le point 0,0,0, ou encore RxR*xR*+{0,0,0}

quelqu'un pourra p-t confirmer... ce fil serait pas mieux en maths??

m@ch3

[invite5456133e]

à quoi ressemblerait un espace où:
v=a1.x+a1.a2.y+a1.a2.a3.z ?

Je crois qu'il ressemblerait à un espace où v = b1.x + b2.y + b3.z
avec b1 = a1, b2 = a1.a2, b3 = a1.a2.a3
Chalut!

[Coincoin]

Salut,
Effectivement, il ne s'agit que d'un mauvais choix de coordonnées.
Enfin la première expression que tu donnes n'est pas réduite au cas où l'espace est euclidien. C'est simplement la définition d'une base, et ça marche dans n'importe quel espace à 3D dimensions, euclidien ou non.
Pour savoir s'il est euclidien, il faut regarder la longueur du vecteur (la norme). Dans un espace euclidien, ça sera simplement a1²+a2²+a3², mais ça sera plus complexe dans un espace non-euclidien (il faut introduire la métrique pour pouvoir la calculer).

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

Salut,
Effectivement, il ne s'agit que d'un mauvais choix de coordonnées.
Enfin la première expression que tu donnes n'est pas réduite au cas où l'espace est euclidien. C'est simplement la définition d'une base, et ça marche dans n'importe quel espace à 3D dimensions, euclidien ou non.
Pour savoir s'il est euclidien, il faut regarder la longueur du vecteur (la norme). Dans un espace euclidien, ça sera simplement a1²+a2²+a3², mais ça sera plus complexe dans un espace non-euclidien (il faut introduire la métrique pour pouvoir la calculer).

Pour compléter ce qu'a dit coincoin par définition un espace vectoriel est euclidien si il est muni d'un produit scalaire.
Où un produit scalaire est par définition une forme bilinéaire (notée (.,.) par exemple) définie positive i.e. vérifiant pour un espace vectoriel :




Un espace métrique réel non euclidien est alors muni d'une métrique qui ne vérifie tout simplement pas les deux dernières conditions.

[gatsu]

bonsoir,
selon la convention d'einstein dans un espace eucledien un vecteur s'ecrit:
v=a1.x+a2.y+a3.z
à quoi ressemblerait un espace ou:
v=a1.x+a1.a2.y+a1.a2.a3.z

Salut,

Juste pour préciser aussi que, contrairement à ce que tu dis, tu n'utilises pas la convention de somme d'Einstein qui justement est faite pour ne pas écrire explictement les sommations.
Pourrais tu d'ailleurs à l'avenir nous dire où sont les composantes et où sont les vecteurs dans tes expressions parce que là c'est pas très exlicite pour moi en tout cas.

[invite5456133e]

par définition un espace vectoriel est euclidien si il est muni d'un produit scalaire.

Je crois qu'en plus qu'il doit être construit sur le corps des réels sinon c'est un espace préhilbertien. (http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace préhilbertien).

[gatsu]

Je crois qu'en plus qu'il doit être construit sur le corps des réels sinon c'est un espace préhilbertien. (http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace préhilbertien).

effectivement j'aurais dû préciser un R-espace vectoriel.

[invite5456133e]

effectivement j'aurais dû préciser un R-espace vectoriel.

C'est pas grave! C'était surtout pour préciser à einstein que l'écriture d'un vecteur dans un espace euclidien nest pas une "convention d'Einstein" mais une définition mathématique bien précise, définition qu'il doit connaître vu ses études et son pseudo .
Bonjour (ou bonsoir, c'est selon) à tous et à toutes (c'est selon aussi).

[ABN84]

j'ai peut etre été pas tres clair,mais si je posais la question c'est que je n'arrive pas à voir c'est l'interet de l'indice muet.

Juste pour préciser aussi que, contrairement à ce que tu dis, tu n'utilises pas la convention de somme d'Einstein qui justement est faite pour ne pas écrire explictement les sommations.

oui tu as raison. disons que les a_i doivent etre independants dans la conventions de l'indice muet. la question serait donc: qu'est ce que ça cangerait s'ils ne l'etaient pas.

[gatsu]

j'ai peut etre été pas tres clair,mais si je posais la question c'est que je n'arrive pas à voir c'est l'interet de l'indice muet.

oui tu as raison. disons que les a_i doivent etre independants dans la conventions de l'indice muet. la question serait donc: qu'est ce que ça cangerait s'ils ne l'etaient pas.

Si les sont tes vecteurs de base ils sont forcément indépendants par définition d'une base d'un espace vectoriel. Et ça n'a strictement rien à voir avec la convention de sommation d'Einstein qui est juste une notation et rien d'autre et qui ne change, de ce fait, absolument pas la nature des expressions qu'elle permet de simplifier.

[Coincoin]

La convention d'Einstein consiste à ne pas préciser les sommes sur les indices muets répétés.
Par exemple, je peux appeler x1, x2 et x3 les vecteurs de la base (plutôt que x, y, z). Tout vecteur peut alors s'écrire V=a1.x1+a2.x2+a3.x3, ou encore . Jusque là, rien de spécial. La convention d'Einstein consiste alors à simplement écrire L'indice i étant répété, une sommation est sous-entendue.

[invite5456133e]

qu'est ce que ça changerait s'ils ne l'étaient pas.

S'ils ne sont pas indépendants on descend de dimension (2 au lieu de 3).