Interprétation d'une simulation

[invite7863222222222]

Bonjour,

J'ai une petite question concernant des résultats graphiques sur une simulation que j'ai imaginé.

Supposons un systeme constitué de N particules.

Chaque particule possède initialement une énergie donnée choisie aléatoirement et inférieure à une certaine valeur Emax.

Une particule a peut soit fusionner (avec le probabilité constante p) avec une autre particule, soit se désintégrer (donc avec la probabilité 1-p).

Lorsqu'une particule a fusionne avec une autre particule b, elle fusionne en une particule c d'énergie Ec = Ea+Eb sauf dans le cas où Ea+Eb > Emax où on a alors deux particules une d'énergie Emax et une autre d'énergie Emax - Ea - Eb.

Lorsqu'une particule a se désintègre, on se retrouve soit:
- avec deux particules b et c d'énergie Eb = Ec = Ea/2, lorsque Ea <= Emax/2
- avec trois particules a', b, c telles que Ea' = 2 Ea - Emax et Eb = Ec = (Emax-Ea)/2, lorsque Emax > Ea > Emax/2.

Si la probabilité de désintégration p est faible alors on aura peu de particules mais avec une bonne proportion Q de particules à énergie Emax, si p est forte, on aura beaucoup de particules mais à faible énergie. On peut aussi s'attendre pour une certaine valeur de p intermédiaire à une évolution oscillatoire de la valeur de Q.

J'ai mis en PJ, ces graphiques (avec en abcisse p) pour un nombre de particules initial égal à 40 et un nombre d'itération de 100000.

J'ai mis aussi deux graphes pour deux simulations (p = 0.25), montrant l'évolution de la quantité Q (Q1 et Q2).

On voit assez bien sur la courbe de Q2 une sorte de coupure vers 8000 et je me demandais comment et si cette coupure pouvait avoir une explication ?
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[invite8c514936]

Salut,

La « coupure » ne me semble pas si nette... Tu as un zoom sur cette région ?

Après, si effectivement il y a quelque chose, ça peut être dû au hasard. Tu simules des événements, certains événements extrêmes sont rares et quand ils arrivent on les voit comme le nez au milieu de la figure...

Le décrochement qui te perturbe apparaîtrait au début de ta simulation, quand le système se thermalise, c'est pas vraiment étonnant qu'il se passe des choses un peu violentes ou extrêmes. Je te pose la question inverse, pourquoi ne verrais-tu pas ce genre de chose ?

Pour en avoir le cœur net, il faut faire plusieurs simulations indépendantes et les analyser de manière statistique, extraire les quantités qui t'intéressent (pourquoi as-tu fait ces simus, que veux-tu étudier ?) et étudier leur évolution sur l'ensemble des simus.

[invite88ef51f0]

Salut,
Tu peux aussi essayer d'augmenter le nombre de particules initiales. Ton petit nombre de particules crée des lignes horizontales sur Q qui empêche de voir les effets fins.

Mise à part la thermalisation initiale (qui se fait vraiment rapidement), ça ressemble beaucoup à du bruit Mais l'humain a ceci de particulier qu'il est capable de trouver de l'information dans quelque chose qui n'en contient aucune (bruit, horoscope, ...)

[invite7863222222222]

Bonsoir,

merci pour vos réponses.

La « coupure » ne me semble pas si nette..

Oui c'est vrai, c'est pour ça que je vais essayer de voir comment, en jouant notamment sur p, rendre cette coupure plus nette.

pourquoi as-tu fait ces simus, que veux-tu étudier ?

En fait, au début je voulais en gros savoir par quel algorithme on pourrait discrétiser certaines grandeurs comme Q. Mais en fait, ca n'a pas bien marché car je suis tombé directement sur un graphe avec des trainées et non un nuage de points. Mais comme le fait remarquer Coincoin, ca serait intéressant de refaire les simus avec plus de particules.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7863222222222]

En fait, au début je voulais en gros savoir par quel algorithme on pourrait discrétiser certaines grandeurs comme Q

En passant le nombre de particules à 400 au lieu de 40, il y a un vrai bruit (voir PJ).

Pour la coupure j'imagine qu'il y a un évènement un peu particulier qui fait passer les valeurs d'un ensemble de valeurs à un autre. Finalement, c'est vrai, il n'y a pas de raison que cela ne se produise pas (même si je suis quand même étonné que ca produise pour "autant" de particules).

[invite88ef51f0]

Ce que tu peux faire, c'est couper la phase de thermalisation (genre à 50 000) et regarder les propriétés statistiques de ta courbe (moyenne, écart-type voire un histogramme). Tu verras si c'est simplement gaussien ou pas.

[invite7863222222222]

Bonsoir,

merci pour cette indication, qui m'a aiguillé pour essayer de déterminer la moyenne et l'écart type de Q, mais l'écart type n'est jamais le même à chaque fois de la simulation (la moyenne si, par contre). J'ai pensé à u ne influence des conditions initiales donc j'ai fait des simulations avec les mêmes données initiales à chaque fois mais malgré cela, l'écart type n'est tjrs pas constant.

On a donc un système plutôt chaotique, c'est à dire que des données macroscopiques telles que l'écart type de quantité Q, ne semble pas pouvoir être prédit à l'avance.

Maintenant, je suis en train de regarder si cet écart type, ne serait lui-même pas un bruit, bien que mes impressions me laissent penser qu'il serait plutôt discret qu'uniformément réparti.

[invite7863222222222]

j'ai dit une bêtise, même si d'une simulation à une autre, l'écart type change, je peux quand même essayer de voir pour une simulation, si c'est gaussien ou pas.

PS : je mets quand même l'écart type pour différentes (70) simulations.

[invite88ef51f0]

C'est normal que ton écart-type soit lui-même bruité, tu n'as qu'un nombre fini de réalisations. Faudrait faire un peut de stat pour évaluer les erreurs statistiques et voir si c'est cohérent avec un écart-type constant.
Mais bon, faut voir ce que tu cherches à étudier avant de se plonger dans cet aspect-là.

[invite7863222222222]

C'est normal que ton écart-type soit lui-même bruité

juste pour préciser : le graphique que j'ai mis pour l'écart type, c'est le résultat de l'écart type trouvé en lançant 70 fois la simulation (chaque simulation fait 100000 itérations).
A chaque fois j'obtenais des écarts types différents, mais comme l'indique le point suivant, faudrait que je confirme.

Parcequ'en effet, je ne sais pas pourquoi mais je ne retrouve plus les mêmes graphiques qu'avant, mais j'espère réussir à montrer une courbe gaussienne.

Mais bon, faut voir ce que tu cherches à étudier avant de se plonger dans cet aspect-là.

Oui c'est vrai que je n'ai pas expliqué, en fait après avoir vu le comportement statistique général comme tu me l'as indiqué, ce qui m'intéresse, c'est la courbe des valeurs prises par les différentes particules, à mon avis ces valeurs seront complètement aléatoires et assez uniformément réparties, en tout cas localement (petit détail : il y a une agitation thermique, puisque l'écart type est constant après la phase de thermalisation, comme je viens de le vérifier : donc difficile de vraiment parler de valeurs des particules, puisqu'elles changent à chaque fois, mais passons sur cela pour l'instant).

Donc pour revenir au sujet, ce que j'aimerais étudier c'est l'effet qu'aurait le fait de lier entre elles les particules (je ne sais pas bien comment pour l'instant), sur les valeurs que pourraient prendre les particules.

Intuitivement, je me dis que les valeurs des particules seraient plus probables en certaines valeurs qu'en d'autres au lieu du comportement uniformément réparti de la première simulation.

[invite88ef51f0]

Si tu as 100 000 itérations pour chaque point, en effet on peut considérer que ton écart-type n'est pas constant !

Donc pour revenir au sujet, ce que j'aimerais étudier c'est l'effet qu'aurait le fait de lier entre elles les particules (je ne sais pas bien comment pour l'instant), sur les valeurs que pourraient prendre les particules.

Ce qu'il faudrait que tu fasses, c'est un histogramme de tes valeurs. À la fin d'une simulation, tu relèves combien de particules ont une valeur comprise entre 0 et 0.1, puis entre 0,1 et 0,2, ... (bien entendu le pas de 0,1 n'est qu'un exemple, il faut adapter ton pas pour avoir suffisamment de particules dans chaque boîte mais qu'il reste suffisamment fin pour faire une jolie courbe). Tu peux ensuite moyenner les différents histogrammes pour cumuler les simulations. Avec un peu de chance, tu devrais commencer à voir une gaussienne (ou autre).
Et petit rappel du minimum vital de statistiques pour un physicien : si tu fais une moyenne sur N particules (donc par exemple tu as N particules dans un pas de ton histogramme), tu t'attends à ce que l'incertitude soit de l'ordre de la moyenne divisée par racine de N. Ça te permettra de mettre des barres d'erreur sur ton histogramme, et donc de voir ce qui est statistiquement significatif.

[invite7863222222222]

Voilà, donc en PJ, la courbe pour la densité de Q (pas encore pour les valeurs des particules).

J'ai coupé les données à 3 600 000.

Résultat : On a bien une gaussienne .

Si j'ai le temps je vais essayer de voir la distribution pour les valeurs des particules.

[invite88ef51f0]

Magnifique !

J'ai coupé les données à 3 600 000.

Si tu n'as pas un critère autre que l'oeil, je te conseille de couper un peu plus large. Ça évite de biaiser le reste pour quelques malheureuses itérations. Personnellement, j'aurais coupé à 5 000 000... Mais bon, c'est une question de goût.

Résultat : On a bien une gaussienne

Tu as vérifié que c'était bien une gaussienne ? À l'oeil, ça a l'air d'être le cas, mais bon c'est dur de voir si la cloche a la bonne forme. Un bon fit serait le bienvenu (et peut-être que la moyenne et l'écart-type de la gaussienne ont un intérêt théorique).

En tout cas, c'est de la vraie science ! Regarder des gaussiennes sur un ordi, ça ressemble beaucoup à ce que je fais tous les jours au labo !

[invite835105c9]

Salut,

juste pour être sûr d'avoir tout compris, la courbe que tu montres c'est l'évolution de Q au cours de ta simulation, où Q est le nombre de particules ayant Emax ?
Donc ce qu'on voit, c'est qu'après un régime transitoire tu trouves une valeur de Q constantes (variant autour d'une valeur moyenne !). Ok, comme dans beaucoup de simulations !

Mais tu disais que tu t'attendais à voir Q varier en fonction de ta proba p, l'as-tu fait ?
Ca, ca serait "plus" intéressant (à mon sens !).
Un autre truc à regarder c'est la distribution d'énergie en fonction de p. Le nombre de particules restantes une fois atteint l'équilibre. Et évidemment regarder s'il n'y a pas un effet de taille dans ton modèle, ce que tu semblais voir au début.

Enfin il est marrant ton petit modèle, ca fait penser à des modèles d'aggrégation.

J'suis d'accord c'est de la science et pas de la bidouille d'exercice de thermo (par exemple).

merci, ca fait du bien et ca nous rapproche du travail quotidien effectivement.

[invite7863222222222]

Bonjour,

Tu as vérifié que c'était bien une gaussienne ?

oui, j'ai bien vérifié : je posterai ici le fit que je n'ai pas ici (j'ai un peu de mal en plus) avec le graphe pour arriver à bien distinguer les deux courbes.

Donc ce qu'on voit, c'est qu'après un régime transitoire tu trouves une valeur de Q constantes (variant autour d'une valeur moyenne !). Ok, comme dans beaucoup de simulations !

Oui c'est vrai et l'interprétation du résultat (loi gaussienne) est peut-être assez évidente (quoi que), puisque Q n'est finalement qu'une somme de variables aléatoires indépendantes (qi pouvant prendre trois valeurs -1, 0 ou 1 à chaque itération).

Mais tu disais que tu t'attendais à voir Q varier en fonction de ta proba p, l'as-tu fait ?
Ca, ca serait "plus" intéressant (à mon sens !).
Un autre truc à regarder c'est la distribution d'énergie en fonction de p. Le nombre de particules restantes une fois atteint l'équilibre

Oui je suis d'accord, c'est bien la distribution d'énergie qui m'intéresse et qui me permettra de rendre le modèle encore plus amusant, c'est donc la prochaine étape .