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Contrainte dans poutre encastrée en flexion



  1. #1
    Arnaud_P

    Contrainte dans poutre encastrée en flexion


    ------

    Bonjour,

    Je suis en train de calculer les contraintes dans une poutre cylindrique encastrée à un bout et soumise à un effort de flexion à son autre extrémité.

    Les données sont les suivantes :

    Longueur poutre = 85.5 mm
    Effort = 530 N
    Rayon de la poutre = 2.75 mm
    Matériau de la poutre : Acier --> E=210000 MPa

    Calculs :

    Sauf erreur ou oubli de ma part, la contrainte dans l'extremité encastrée se calcule ainsi :

    Contrainte = M/I

    avec
    M = F*L = 530*85.5 = 45315 N.mm
    I = PI*R^4/4 = 44.9 mm^4

    Ce qui me donne :

    Contrainte = 45315/44.9) = 1009 MPa

    Problème :

    Comment faire apparaitre la variable "Matériau" afin de savoir si la poutre résiste ou non à ce chargement?

    Merci d'avance pour votre aide.

    -----

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  3. #2
    Infra_Red

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    1ere erreur : contrainte = (moment / I)x rayon

    2eme erreur : I = (Pi.D^4)/64

  4. #3
    Infra_Red

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Comment faire apparaitre la variable "Matériau" afin de savoir si la poutre résiste ou non à ce chargement?

    la contrainte est indépendante du matériau, ca ne dépend que de la force et de la géométrie, c'est juste une pression.

    par contre celle ci doit être inférieure à la contrainte maximale de compression traction du matériau, donc :

    contrainte < ou = contrainte admissible

  5. #4
    Arnaud_P

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Pour le calcul de I, les deux formules sont identiques :

    I = PI*D^4/64 = PI*R^4/4

    Tout dépend si on base le calcul sur le rayon ou de diamètre.

    En revanche que vient faire le rayon dans le calcul "Contrainte = (moment / I) x rayon" étant donné qu'il apparait déjà dans le calcul de I?

  6. #5
    omicron

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Salut,

    Citation Envoyé par Arnaud_P Voir le message
    Bonjour,

    Je suis en train de calculer les contraintes dans une poutre cylindrique encastrée à un bout et soumise à un effort de flexion à son autre extrémité.
    Il serai tellement plus simple si la force était uniformement réparti sur toute la barre !! Dans ce cas,

    Contrainte = F / S en tout point ...

    Mais bon, il en ai pas ainsi ...


    Citation Envoyé par Arnaud_P Voir le message

    Sauf erreur ou oubli de ma part, la contrainte dans l'extremité encastrée se calcule ainsi :

    Contrainte = M/I

    Problème :

    Comment faire apparaitre la variable "Matériau" afin de savoir si la poutre résiste ou non à ce chargement?
    Là, comme le dit Infra_Red, il y a un soucis dans la formule de C, tout simplement parce que ce n'est pas homogène ...

    [C]=[F]/[S] Contrainte
    [M]=[F]*[L]
    [I]=[L]²*[S] (si I est bien un moment d'inertie ??)

    [C] "différent de" [M]/[I]

    Après, je ne connais pas cette formulation de la contrainte, je ne peux pas t'en dire plus désolé ... mais je suis curieux de savoir !

    Voilou, a++
    C11 XLT une "pile" de bonheur !! :-)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mécano41

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Bonjour,

    Sauf erreur de ma part, ça casse quel que soit le matériau (sauf peut être carbure de silicium, etc ... !).

    Flèche :

    où :

    avec :









    on trouve f = 0,0115 m soit 11,5 mm

    mais la contrainte est :



    avec :

    on trouve :

    Il y aura casse avant d'atteindre la flèche calculée.


    Cordialement

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  10. #7
    Infra_Red

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    [QUOTE]Il serai tellement plus simple si la force était uniformement réparti sur toute la barre !! Dans ce cas,

    Contrainte = F / S en tout point ...

    Mais bon, il en ai pas ainsi ...
    [QUOTE]

    t'es ouf ca serait plus compliqué

  11. #8
    omicron

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Re,

    @Infra_Red : En fait en y réflichissant un peu, je ne pense pas que ça change grand chose niveau difficulté ... Je me suis peut être un peu emballé !!

    @mécano41:

    Citation Envoyé par mécano41 Voir le message
    Bonjour,

    Sauf erreur de ma part, ça casse quel que soit le matériau (sauf peut être carbure de silicium, etc ... !).





    avec :

    on trouve :

    Il y aura casse avant d'atteindre la flèche calculée.


    Cordialement
    Simple curiosité, peut tu nous en dire un peu plus sur la formule de la contrainte, a partir de quoi elle se déduit ?

    Merci d'avance

    Cordialement
    Bye
    C11 XLT une "pile" de bonheur !! :-)

  12. #9
    mécano41

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Bonjour,

    ... un peu long à expliquer ... mais cela me fera un rappel (en reprenant un peu les bouqins )

    On considère une poutre sur appuis et l'on considère la partie située entre deux sections passant par Go et G1, distantes de x. Les efforts internes sur des éléments de surface sont, en cisaillement et en traction/compression , et étant respectivement les contraintes de cisaillement et de traction/compression. On écrit les équations d'équilibre.

    Projection des forces sur GoX :



    soit : d'où :

    Projection des forces sur GoY :



    soit : d'où :

    Somme des moments des forces (situées à gauche de la section passant par G1) par rapport à l'axe GZ :



    soit :

    Dans une section soumise à flexion, la contrainte dans une fibre est proportionnelle à la distance y de celle-ci à la fibre neutre (passant par G), on peut donc écrire : k étant une constante à déterminer.

    L'équation (1) peut s'écrire : et comme k est une constante : . Comme est le moment statique de la section par rapport à GZ et que ce moment est nul, cela signifie que GZ passe par le centre de gravité de la section et donc que GoG1 porte les centres de gravité de toutes les sections. L'axe neutre d'une section est l'axe perpendiculaire à l'axe de symétrie de la section, passant par son centre de gravité. L'équation (1) indique que la somme des forces est nulle et que, par suite, l'ensemble des est équivalent à un couple.
    En reprenant l'équation (3) on voit que le second membre correspond à la définition du moment fléchissant donc :

    et comme on a :ou :

    La quantité est le moment quadratique d'une section n par rapport son l'axe neutre Gn, on a donc :



    En reprenant l'équation (4) :

    On a finalement :

    et comme est appelé module d'inertie ou V est la distance de la fibre la plus éloignée de l'axe neutre, on peut écrire :



    Ouf !

    Cordialement
    Images attachées Images attachées

  13. #10
    omicron

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Bonsoir,

    J'ai mis pas mal de temps, mais je pense avoir compris les grandes lignes !!
    Merci Mécano41 !

    L'expression de la contrainte qu'on obtient au final s'applique uniquement pour les poutres où il est possible de définir une fibre neutre, si je comprend un peu...
    D'où ma question,
    A part l'expression de la contrainte: Contrainte = Force / Surface , n'éxiste t-il pas une formule générale applicable à tout type de volume ? Ou bien faut il "bidouller" pour chaque cas ?

    Merci pour tout
    Cordialement
    Romain
    C11 XLT une "pile" de bonheur !! :-)

  14. #11
    mécano41

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Bonsoir,

    Si l'on connait les dimensions de l'objet en tous points (sinon, on ne peut pas faire grand chose) on peut toujours, que ce soit par des fonctions ou numériquement si le profil est donné par points, calculer le centre de gravité d'une section quelconque. Par calcul de sections rapprochées, on peut donc définir la fibre neutre. Cela peut être très fastidieux mais reste théoriquement possible. Il vaut mieux, dans bien, des cas définir des tronçons de poutre "enveloppe mini" (c'est à dire, à chaque fois, un tronçon théorique contenu dans le tronçon réel - donc hypothèse défavorable) puis faire le calcul plus facile de ces tronçons. Ne pas oublier que le calcul de RDM a pour objet d'être sûr de ne pas dépasser les contraintes et flèches autorisées en essayant de ne pas mettre trop de matière inutile. On ne recherche pas une précision absolue.

    Cordialement

  15. #12
    Pierre9o

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Pour savoir si le materiau est adequat pour la sollicitation il faut comparer les contraintes max à la contrainte admissible... generalement la limite elastique avec un facteur de securité....

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  17. #13
    omicron

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Ha d'accord, en fait cette méthode permet égalements des approximations dans des volumes moins réguliers que les poutres, c'est bon a savoir Merci !

    Si ça vous interesse j'ai trouvé une autre démarche pour arriver au résultat de la contrainte.

    On part de la loi de Hooke : C = E * dl / l

    C : contrainte
    dl / l : déformation

    Après déformation de la poutre, la fibre neutre, par définition n'a pas changé de longueur.

    dS = r * dthéta = l

    dS : longueur élémentaire de la fibre neutre
    r : Rayon de courbure

    dT = (r-v) * dthéta

    V est la distance de la fibre la plus éloignée de l'axe neutre
    dT : longueur élémentaire de la fibre la plus éloignée de l'axe neutre

    Alors, dl / l = ( r*dthéta - (r-v)*dthéta ) / r*dthéta = v/r

    et donc C = E * (v/r)

    Mais 1/r ~ M/EI

    Alors

    C = ( M / I ) * v

    Et voilà, on arrive a la même chose. Bon contrairement a vous il faut connaître 2 choses :

    - La loi de Hooke
    - la relation 1/r ~ M/EI

    Après c'est du tout cuit ...

    En espérant avoir vos avis ...

    Cordialement
    C11 XLT une "pile" de bonheur !! :-)

  18. #14
    Arnaud_P

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    Et bien merci pour toutes ces informations, cela me parait très clair dorénavant.

    Finalement je m'appercois que les choses qu'on apprend à l'école sont vites oubliées sans pratique... Heureusement que certains échappent à cette règle!

    Encore merci.

  19. #15
    geagea

    Re : Contrainte dans poutre encastrée en flexion

    bonjour,
    vous avez un diamètre de 5,50mm,une charge ponctuelle de 53daN appliquée a 85,50mm de l'encatrement
    Votre acier si c'est du S235 la limite élastique est de 23,50daN/mm²,si votre acier est en S355 la limite élastique est de 35,50daN/mm²,ou autre acier a limite élastique supérieure a 35,50daN/mm²
    le moment fléchissant est P.L soit 53x8,55=453,15daN.cm a savoir si la charge est a l'ELS ou a l'ELU si la charge est a l'ELS,la contrainte admissible doit être 23,5/1,50=15,67 daN/mm² pour de l'acier S235 et pour de l'acier S355 la contrainte admissible est:35,5/1,5=23,67daN/mm²
    L'nertie est de pi.D^4/64=3,1416.0,55^4/64=0,0045cm4
    Le module de flexion est: ( pi.D^4/64)/D/2 soit 0,0045/0,275=0,0163cm3
    la contrainte de flexion est:Moment/module de flexion soit 453,15/0,0163=27801daN/cm² pour de l'acier S235 la limite de rupture mini pour information est de 3400daN/cm²,votre pièce est loin de la contrainte admissible

    cordialement

    géagéa

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