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démonstration des dérivées de la position/vitesse/accélération



  1. #1
    noixdecoco

    démonstration des dérivées de la position/vitesse/accélération

    bonjour,
    On m'a dit que l'acceleration c'est la derivee du vecteur vitesse et ce dernier est la derivee du veteur position.Est ce que vous savez ou je peux trouver la démonstration? ou bien m'expliquer parce que je ne comprend pas tout ( on va dire que j'ai un peu du mal avec les dérivées !) .
    merci d'avance

    -----


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  3. #2
    Calvert

    Re : démonstration des dérivées de la position/vitesse/accélération

    Salut!

    J'imagine que tu es familier avec la notion de vitesse moyenne: c'est simplement la distance parcourue divisée par le temps mis pour la parcourir:



    Cette définition est valable sur un intervalle de temps. On peut se demander maintenant quelle es la vitesse instantanée de l'objet? En pratique, il s'agit de mesurer le déplacement effectué pendant un temps très court. On traduit ceci mathématiquement par un limite. La vitesse instantanée (plus généralement appelée la vitesse) est donc:



    Or, on reconnaît ici la définition de la dérivée. Nous avons donc:



    Voili!

  4. #3
    Universus

    Re : démonstration des dérivées de la position/vitesse/accélération

    Salut,

    Il n'y a pas de démonstration de ceci, c'est plutôt des définitions.

    En analysant le mouvement d'un objet, comment t'y prendrais-tu pour connaître sa position? Tu pourrais prendre un grand ruban à mesurer et faire avancer l'objet par rapport à ce ruban. À l'aide d'un appareil photo, tu pourrais connaître à un moment (presque) précis connaître où se trouvait l'objet par rapport au ruban à mesurer.

    Si tu voulais par la suite connaître la vitesse de ton objet, comment t'y prendrais-tu? Eh bien, en prenant deux photographies du corps à différents moments connus (par exemple après 2 secondes d'analyse dy mouvement et après 5 secondes), en comparant la position de l'objet à chacun de ces deux moments, tu pourrais trouver la vitesse moyenne avec laquelle se déplaçait l'objet entre les deux moments et les deux positions par la formule :



    En d'autres termes, la vitesse est la variation de position d'un objet dans un certain intervalle de temps.

    Mais ce peut-il que cet objet ne bouge pas avec la même vitesse tout au long de ton analyse? Bien possible. Alors, pour trouver son accélération, tu chercherais à connaître la variation de vitesse entre deux moments, d'où :



    Il s'agit de définitions. L'intérêt du calcul différentiel, c'est de connaître par exemple la vitesse de ton mobile, ou son accélération, alors que l'intervalle de temps entre la prise de deux photos est très très très petit, de sorte que la vitesse, ou l'accélération, ait très légèrement varier si elle a à varier.

    Prenons un exemple. Si tu te rends à l'école en bus et que l'école est à 10km de chez toi et que ça te prend 10 min t'y rendre, tu pourrais dire, en utilisant la formule ci-haut, tu peux connaître qu'elle aurait la vitesse à laquelle le bus aurait dû avancer tout au long du trajet pour parcourir 10km en 10min. D'où la notion de vitesse moyenne. Mais tu sais très bien, au fond, que le bus s'est arrêté à des feux de circulation, qu'il a accéléré, ralenti pour prendre un virage, etc. Comment connaître sa vitesse à un moment précis? Eh bien, si tu connais la fonction, soit où le bus se trouvait sur son trajet à tel moment précis, tu peux à partir de là espérer connaître, grâce au calcul différentiel, la vitesse à un moment précis, ou l'accélération à un moment précis.

    On écrit donc la vitesse instantanée d'un corps comme étant la variation de sa position entre deux moments infiniment proches l'un de l'autre :



    L'accélération instantanée est, quant à elle, la variation de la vitesse entre deux moments tout aussi proches :



    Là, quand à savoir ce que valent les formules, ça dépend de la fonction, de la façon dont le mobile bouge.

    En espérant avoir pu apporté une bonne réponse

    Universus

    PS : Le message précédent est plus concis, c'est peut-être mieux pour comprendre

  5. #4
    noixdecoco

    Re : démonstration des dérivées de la position/vitesse/accélération

    merci beaucoup, j'ai compris !!

  6. #5
    dodo71

    Re : démonstration des dérivées de la position/vitesse/accélération

    La vitesse peut être négative alors?
    Si par exemple on a une fonction qui décrit l'évolution de l'altitude d'un mobile qu'on jette en l'air. Ca fonction est de forme parabolique croissante puis décroissant à partir du moment où il atteint son altitude maximal.

    La dérivé de la fonction décrit la vitesse et donc est positive puis négative une fois que la parabole a atteint son max(coefficient directeur de la parabole négative à partir de cette altitude max)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mariposa

    Re : démonstration des dérivées de la position/vitesse/accélération

    Citation Envoyé par dodo71 Voir le message
    La vitesse peut être négative alors?
    Si par exemple on a une fonction qui décrit l'évolution de l'altitude d'un mobile qu'on jette en l'air. Ca fonction est de forme parabolique croissante puis décroissant à partir du moment où il atteint son altitude maximal.

    La dérivé de la fonction décrit la vitesse et donc est positive puis négative une fois que la parabole a atteint son max(coefficient directeur de la parabole négative à partir de cette altitude max)
    Bonjour,

    Oui

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  10. #7
    mach3

    Re : démonstration des dérivées de la position/vitesse/accélération

    La vitesse peut être négative alors?
    Si par exemple on a une fonction qui décrit l'évolution de l'altitude d'un mobile qu'on jette en l'air. Ca fonction est de forme parabolique croissante puis décroissant à partir du moment où il atteint son altitude maximal.

    La dérivé de la fonction décrit la vitesse et donc est positive puis négative une fois que la parabole a atteint son max(coefficient directeur de la parabole négative à partir de cette altitude max)
    De même pour l'accélération, elle peut être négative mais tout dépend du repère choisi et de l'outil mathématique qu'on utilise pour décrire la vitesse. Si on considère que c'est un vecteur, alors elle est toujours positive, mais c'est le sens du vecteur qui change. La projection du vecteur sur un axe adapté a en revanche un signe, par exemple l'indicateur de vitesse verticale dans un avion qui à une valeur positive quand on monte et une valeur négative quand on descend.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

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