Équation de Schrödinger libre

[isozv]

Bonjour,

Je me prends la tête avec un exemple tiré d'un bouquin sur l'éq. de Schrödinger (bien évidemment l'auteur ne fait pas le détail des calculs...).

On prend l'équation de Schrödinger libre et on simplifie son écriture de manière à avoir:



Ensuite en résolvant moi je trouve (c'est très simple car il s'agit d'une ED sans second membre):



et là évidemment je suis coincé pour la condition de normalisation. Car les bornes de l'intégrale sont (+-) l'infini .

Or l'auteur (Alonso-Finn) pour simplifier le problème et sans argument il pose la solution comme étant:



Je veux bien mais pour moi:

1. La somme de solutions doit être solution aussi

2. Il n'explique pas avec des bornes à l'infini comment il obtient 1 pour les constantes A,B

J'ai fait des recherches sur Internet mais je n'ai pas trouvé cet exemple particulier d'une particule (totalement) libre.

Merci d'avance pour vos précieuses lumières.
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[Karibou Blanc]

La somme de solutions doit être solution aussi

Il cherche simplement les modes propres, ensuite tu es libre de créer un état superposé si tu le souhaites.

Il n'explique pas avec des bornes à l'infini comment il obtient 1 pour les constantes A,B

Le probleme principal est qu'une onde plane n'est pas normalisable (ce n'est pas une fonction de carré sommable, cf. un appendice de Cohen-Tannoudji). Je ne me rappelle plus tres bien mais il me semble qu'on peut normaliser la transformée de Fourier, qui sera un simple delta. Tu devrais obtenir facilement le 1 (modulo la convention choisie pour les facteurs 2pi).

[GillesH38a]

tu tombes sur un probleme mathématique difficile : pour les particules libres (non confinées dans un domaine fini de l'espace), tu ne peux pas normaliser la fonction d'onde (ça correspond aussi à un spectre de valeurs propres continu). Ca se comprend puisque la particule etant délocalisée dans un volume infini avec une densité de probabilité constante, la probabilité ne peut pas etre normalisée à 1 !

on peut s'en tirer en remplaçant l'interprétation de densité de probabilité par un "courant" de probabilité qui représente un flux de particules par unité de surface, qui lui est fini.

[isozv]

Ok merci à tous les deux. Je me disait bien que cela n'était pas si simple...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

Ca se comprend puisque la particule etant délocalisée dans un volume infini avec une densité de probabilité constante, la probabilité ne peut pas etre normalisée à 1 !

C'est tres juste, et je viens d'ailleurs de me rendre compte que ce que je disais pour la TF est faux (ca ne peux que l'etre en fait, puisque la TF réalise une bijection entre l'espace des x et celui des k). J'avais oublié dans ma précipitation qu'il fallait intégrer le module carré, or un delta au carré n'est pas normalisable non plus. Ouf c'est cohérent.

on peut s'en tirer en remplaçant l'interprétation de densité de probabilité par un "courant" de probabilité qui représente un flux de particules par unité de surface, qui lui est fini.

Ouais, ou aussi on considérant un "paquet d'ondes" libre.

[invitea774bcd7]

Les solutions libres doivent être normalisées par unité d'énergie ou par unité de k, comme on veut.
ou
avec


Ça peut paraître compliqué mais c'est tout simple. Ça veut dire que la partie radiale de doit aller en , resp. , quand r va à l'infini

[Karibou Blanc]

Ça peut paraître compliqué mais c'est tout simple

ben non, c'est ce que je disais plus haut ta fonction delta n'est pas normalisable et tu as choisis une normalisation arbitraire (=1).

Ça veut dire que la partie radiale

de quelle partie radiale tu parles, il s'agit d'un probleme uni-dimensionnel ...

[invitea774bcd7]

Où vois-tu une normalisation à 1 ? Il s'agit de fonctions delta de Dirac pas de symboles de Kronecker. Il s'agit effectivement de normalisation arbitraire (dans le continuum, on normalise comme on veut puisque c'est pas normalisable ). Dans la pratique, on utilise exclusivement ces deux normalisations; j'y peux rien
Si c'est unidimensionnel, ça ne change rien. Les sont des comme je les ai écrit, voilà tout

[Karibou Blanc]

Où vois-tu une normalisation à 1 ?

ici :

Il s'agit de fonctions delta de Dirac pas de symboles de Kronecker

aucun rapport.

[invitea774bcd7]

Il n'y a toujours pas de normalisation à 1. La fonction delta de Dirac ne vaut 1 nulle part.

[Karibou Blanc]

Il n'y a toujours pas de normalisation à 1

...patience patience... pour normaliser il faut integrer sur toutes les valeurs possibles de E.

[chwebij]

On prend l'équation de Schrödinger libre et on simplifie son écriture de manière à avoir:



Ensuite en résolvant moi je trouve (c'est très simple car il s'agit d'une ED sans second membre):

juste pour rappeler que ton n'est pas solution de :

mais de

et que est bien la solution de l'équation de Schrodinger

[invitea774bcd7]

...patience patience...

Houla… Excuse-moi de te faire perdre ton temps

[isozv]

Bonjour,

Je vais chercher à détailler les développements. D'après mes recherches sur le web il faudrait passer par la TF mais je peine à la normaliser. Je vais demander à un copain mathématicien comment faire cela au propre et je continue de chercher sur Internet aussi.

[Karibou Blanc]

D'après mes recherches sur le web il faudrait passer par la TF mais je peine à la normaliser

c'est ce que je disais plus haut, une onde plane n'est pas normalisable dans l'espace des positions comme dans celui des impulsions, ce qui comprend puisque la TF est une bijection entre les deux. Donc une fonction d'onde ou sa TF ont les memes propriétés "physiques", entre autres elles ne sont pas de carré sommable.

[isozv]

Ok mais dans ce cas passer par la fonction delta de Dirac je veux bien... mais:

1. Je ne trouve pas de raison physique pour l'introduire autrement qu'une justification purement mathématique (donc l'interprétation physique me fait défaut).

2. D'après mes recherches sur le web (car j'arrive toujours pas à trouver les calculs détaillés) on doit quand même ensuite utiliser des conditions périodiques aux bornes et ça c'est du bricolage non?

Merci

[invitea774bcd7]

La fonction delta apparaît naturellement quand tu calcules

C'est la définition de la fonction delta en tant que transformée de Fourier de 1. (je mets proportionnel à car il y a un facteur qui traîne quelque part )

[isozv]

Et que penses-tu pédagogiquement parlant de cette approche:

http://www.physics.csbsju.edu/QM/fall.11.html

Passant par une gaussienne? Car interpréter un dirac se propageant c'est pas joyeux.

[invitea774bcd7]

Il n'y a pas de Dirac se propageant. est une onde plane comme tu l'as indiqué dans ton premier message.

[Thwarn]

Il y a propagation dans l'espace des x avec une impulsion k, mais pas de propagation dans l'espace des impultions (k ne change pas), d'où le dirac quand tu fais la TF.

[isozv]

Ok merci à tous pour vos précieuses interventions.

Une question... cela a-t-il vraiment un intérêt d'étudier ce sujet sachant de toute façon que cette équation d'évolution de Schrödinger n'est pas relativiste et ne prend pas en compte le spin?

Peut-être qu'avec l'équation de Pauli ou Dirac ce problème de non normalisation n'existe pas?

Je pose la question car je n'ai pas étudié dans les détails la solution des ces deux dernières équations (vu qu'elles sont un peu lourdes...)

Merci d'avance

[Thwarn]

L'equation de Schodinger est toujours tres utilisé (car, apres tout, la plupars des exeperience que l'on fait son non relativiste). D'apres ce que j'en sais, celle de Pauli est plus ou moins celle de S ou l'on tient compte du spin, si c'est bien le cas, la normalisation est la meme.
Pour les spineurs de Dirac, la normalisation est une histoire de convention, elle depend de ce qu'on veut faire des spineurs (on prend des fois une normalisation egale a 2m, avec m la masse du fermion). On peut voir ça assez facilement: en MQ NR le module au carré de la fonction d'onde est la densité de probabilité de trouver la particule dans une unité de volume. Or, en RR, le volume n'est pas un invariant, donc une normalisation de la fonction dans un referentiel ne sera plus de 1 dans un autre.