Objet suspendu à 4 ressorts

[Fridorik]

Bonjour

J'aimerai connaître une méthode pour résoudre le problème suivant:

Un objet est suspendu par 4 points connus à des ressorts identiques (voir schémas). Comment déterminer les réactions à chacun des points en fonction de la position de G et l'effort appliqué en G.

Avec un logiciel genre Ossature (RDM6) la modélisation est très aisée. Mais j'aimerai savoir résoudre ce type de problème à la main afin d'automatiser certaines tâches avec un tableur.

Si quelqu'un connaît une ou plusieurs méthodes.

D'avance merci.
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[zoup1]

Il faut que tu écrives les équatons de l'équilibre de ton système pour l'ensemble des points importants de ton système (la masse d'une part et les points d'attache d'autre part), c'est à dire : somme des forces appliquées au point considéré = 0.
Il faut pour cela il faut invoquer les forces qui interviennent dans ton système : la tension dans les ressorts qui est proportionnelle à l'allongement du ressort et orienté suivant la direction du ressort et enfin l'effort exercé en G et la réaction des points d'attaches.
Cela donne un système un système de 5 équations vectorielles
avec comme inconnues les allongements des 4 ressorts et les réactions du support.
Ensuite il faut résoudre ce système.

[Fridorik]

Le soucis est que le système ne peut être considéré comme un problème de statique (Pb hyperstatique) il me manque une équation pour résoudre le système. Sauf erreur de ma part:

On a avec l'origine en A (X suivant AD, Y suivant AB, Z vers le haut)
Somme des forces (vecteurs):
fA+fB+fC+fD+fG=0
donc suivant Z on a: fA+fB+fC+fD-fG=0
avec fG connu

Somme des moments en A:
mA+mB+mC+mD+mG=0
mA=0
mG connu

Autour de X
yB.fB+yC.fC+yD.fD-yG.fG=0

Autour de Y
xB.fB+xC.fC+xD.fD-xG.fG=0

J'ai donc 3 équations et 4 inconnus

Avec 3 ressorts, le problème est assimilable à un problème isostatique. La je sais faire. Mais pas à 4 ou n ressorts.

Comment faire ?

[zoup1]

alors il faut également écrire que le moment des forces est nulle. Tu peux par exemple calculer ce moment par rapport à G
Cela va ajouter une relation (celle qui te manque).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fridorik]

Pardonnez moi, mais ce que vous proposez, ajoute une inconnue mais n'ajoute pas d'équation (voir mon précédent post).

Pouvez vous poser ces équations afin d'étayer votre raisonnement ? Ce que vous écrivez n'est pas très clair.

Sauf erreur de ma part, le "principe fondamental de la statique" ne s'applique pas ici. D'où ma première question, quelle est la méthode à employer pour ce type de problème?

[Fridorik]

Personne n'a une idée ou une méthode ?

[invite1a7050d5]

Slt,

petite question : tiens tu compte de l'allongement des ressort ? je veux dire, ton plan est-il toujour parallèle ou est-il paramétré par 2 rotations ?

[invite1a7050d5]

Slt,

petite question : tiens tu compte de l'allongement des ressort ? je veux dire, ton plan est-il toujour parallèle ou est-il paramétré par 2 rotations ?

mmm de toute façon ca change pas grand chose !

[invite1a7050d5]

Somme des moments en A:
mA+mB+mC+mD+mG=0
mA=0
mG connu

Je pense que tu peux décomposer l'équation du moment sur l'axe des x et sur l'axes des y. Cela te fais une équation en plus

[Fridorik]

Heu...Ressort ou appuis simple, ça ne change pas le problème je pense.
Je me demande si je n'y arriverais pas avec les lois d'énergétique, genre Ménabréa et autre Castigliano. Mais je n'ai rien sous le coude pour utiliser ces théorèmes. Je ne sais pas m'en servir

[invite1a7050d5]

Je pense que tu peux décomposer l'équation du moment sur l'axe des x et sur l'axes des y. Cela te fais une équation en plus

ppfffffffiou faut que j'apprene à lire !

laisse tombé je vais me coucher

[invite1a7050d5]

Je tente un dernier truc :

Tu ne peux pas modéliser ton problème en deux problèmes plans ? j'explique, si l'axe verticale est z, tu fais un problème plan sur O,x,z avec F1 = fA+fB et F2 = fC + fD (par exemple) et un autre problème plan sur O,y,z avec F1' = fA + fC et F2' = fB + fD.

sur O,x,z, si tu exprime le moment au point d'application de F1, tu annules fA ET fB

je sais pas si ça marche, j'écris comme je pense...

[zoup1]

Pardonnez moi, mais ce que vous proposez, ajoute une inconnue mais n'ajoute pas d'équation (voir mon précédent post).

Pouvez vous poser ces équations afin d'étayer votre raisonnement ? Ce que vous écrivez n'est pas très clair.

Sauf erreur de ma part, le "principe fondamental de la statique" ne s'applique pas ici. D'où ma première question, quelle est la méthode à employer pour ce type de problème?

Excuse moi, je n'avais pas vraiment pris le temps de lire ton message et donc réponse était un peu hative.

Pour résoudre le problème, il faut au préalable le préciser aussi je commence par une question :

D'après l'image que tu présentes, il semblerait que le point G soit le centre géométrique de la plaque et que les ressorts sont verticaux (en tout les cas que les points de fixation des ressort au plafond est des ressorts sur la plaque aient le même espacement), et que la force appliquée en G soit verticale.

Si c'est effectivement le cas, le problème est complètement symétrique et la charge est également répartie sur chacun des ressorts.

Si ce n'est pas le cas (par exemple G n'est pas le centre géométrique de la plaque) alors les ressorts ne vont pas avoir le même allongement et ils ne resteront pas verticaux.

Il faut alors correctement paramétré le problème.
Une voie est sans doute de chercher la position d'équilibre de la plaque.
ce qui doit se décrire par un déplacement (par exemple du point G)(soit 3 coordonnées) et l'orientation de la plaque (ce qui se décrit par 2 angles).

Il y a donc 5 quantités qu'il faut déterminer.
A partir de ces 5 quantité tu peux déterminer les allongements de chacuns de tes ressorts, ce qui va te permettre d'expliciter les forces qui s'exercent sur la plaque.

L'équilibre des forces te permet d'écrire une relation vectorielle (soit 3 équations)
L'équilibre des moments te permet d'écrire une nouvelle relation vectorielle (de nouveau 3 relations dont 2 seulement doivent être indépendantes correspondant aux 2 orientations possibles de la plaque).

Je l'ai pas fait... donc je ne sais pas trop si les relations géométriques ne sont pas trop compliquées, mais cela devrait fonctionner.

[zoup1]

Oups, j'ai oublié un angle pour la l'orientation de la plaque.
Il y a donc 3 angles pour décrire l'orientation de la plaque.
Et on a 3 équations (qui doivent être indépendantes) pour l'équilibre des moments...

[invite1a7050d5]

Si ce n'est pas le cas (par exemple G n'est pas le centre géométrique de la plaque) alors les ressorts ne vont pas avoir le même allongement et ils ne resteront pas verticaux.

Il faut alors correctement paramétré le problème.

A mon avis, pour un problème comme ça, on peut négliger l'allongement des ressorts qui doivent être petit devant les dimmentions de la plaque. De plus, lorsqu'on conçoit un truc dans le genre, on s'arrange pour dimmensionner les ressort pour que la plaque soit a peu près horizontale.

A mon avis ta plaque est posée sur 4 appuis simple et c'est tout !

Ciao

[ramza166]

Bonjour,

Je ne suis pas d'accord avec Minouchon car la répartition des efforts se fait en fonction des raideurs. Si l'on met des ressorts de raideurs différentes la répartion se fait par compatibilité de déformations. D'autre part cette distinction est importante en regard de ce que l'on conçoit parce qu'un "truc dans le genre" peut être beaucoup de chose...support en microéléctronique ou plateau lambda de système mécanique plus commun?
Il est bon de ne pas traîter à l'emporte pièce la conception d'un système sans en connaître le cahier des charges il me semble.

Enfin, pour répondre à la question de Fridorik, on peut résoudre ce problème en écrivant le PFS, en exprimant tous les efforts inconnus en fonction du poids de la plaque et de l'un des quatre efforts. On utilise alors une méthode énergétique. On peut par exemple minimiser le travail de la force prise comme paramètre des autres et obtenir le déplacement du à cet effort "paramètre"...celà revient à Castigliano si tu veux.

Je t'ai mis en équation ton problème (levée de l'hyperstatisme) dans le cas d'une répartition de masses quelconque sur ta plaque (donc position du centre de masse quelconque), en faisant l'hypothèse de l'infinie rigidité de ta plaque (ce qui semble être le cas) et en prenant des ressorts de raideurs quelconques.

Je ne peux pas t'envoyer le document sur forum Fridorik donc donne moi ton mail que je t'envoie le scan en pdf.

Cordialement,

[Fridorik]

Aïe!
Je vous ai induit en erreur, en dessinant le problème avec des ressort.
Mon énoncé est un peu vague en effet.Mais votre soucis de précision est salutaire.

Le problème est en effet:
- un objet indéformable (quelconque)
- n point d'appuis connus appartenant à cet objet (4 sur le schémas)
- une position du CdG de cet objet (quelconque).

Je souhaite exprimer les réactions aux appuis en fonction de la position de G et des positions des appuis. Généraliser le problème à n appuis est l'étape suivante.

Quant à l'assiette que l'objet prend dans le cas où celui-ci est suspendu, je pense qu'on peut l'évaluer en appliquant les déplacements issus de l'allongement des éventuels ressorts sur lesquels sont appliquées les réactions respectives. C'est encore l'étape suivante

Mon problème était de trouver une méthode pour lever l'hyperstatisme du système.