Intégration fonctionnelle sur un chemin fonctionnel ?

[invite93279690]

Bonjour,

Je suis bloqué sur une démonstration (dans un bouquin) que je ne comprends pas et j'aurais besoin de vos lumières .

En physique statistique d'équilibre de liquides avec intéraction de paires, on définit une certaine fonction de correlation de la façon suivante :

(1)

où est le potentiel de paire et est une energie libre.
Pour effectuer un développement perturbatif de l'enrgie libre, l'auteur décompose l'enrgie de paire de la façon suivante :



où le premier terme est l'energie de paire de référence et le deuxième est une perturbation.
Il introduit ensuite une famille d'energies de paires de la façon suivante :


avec
Il dit ensuite qu'il intègre (1) à fixé et qu'on obtient alors directement :



où



Je n'ai personnelment jamais entendu parler de ce genre de calcul et je ne vois pas trop comment il a fait en détail d'auatnt que ce résultat a l'air exact (dans le sens où ce n'est a priori pas juste le début d'un développement de taylor fonctionnel).

est ce que quelqu'un aurait une idée ?

Merci d'avance !
-----

[invite7ce6aa19]

Bonjour,

Je suis bloqué sur une démonstration (dans un bouquin) que je ne comprends pas et j'aurais besoin de vos lumières .

En physique statistique d'équilibre de liquides avec intéraction de paires, on définit une certaine fonction de correlation de la façon suivante :

(1)

.
Je ne comprend pas le sens de cette formule et donc difficile de comprendre la suite.

[invite93279690]

.
Je ne comprend pas le sens de cette formule et donc difficile de comprendre la suite.

On définit formellement la fonction de correlation à deux points comme la dérivée fonctionnelle de l'enrgie libre par rapport au potentiel de pair. Pour faire le calcul, il semblerait qu'il n'y ai rien de plus à connaitre sur l'enrgie libre à part le fait que c'est une fonctionnelle de (qu'on n'utilise pas) et de .

[invite7ce6aa19]

On définit formellement la fonction de correlation à deux points comme la dérivée fonctionnelle de l'enrgie libre par rapport au potentiel de pair. Pour faire le calcul, il semblerait qu'il n'y ai rien de plus à connaitre sur l'enrgie libre à part le fait que c'est une fonctionnelle de (qu'on n'utilise pas) et de .

Je ne pense pas qu'il s'agisse d'une définition mais d'un résultat (tu peux t'en convaincre a T=0 où l'énergie libre c'est l'énergie tout court).

La formule en question dit comment ton énergie libre de ton système à N particules varie lorsque l'intensité d'interaction entre 2 particules varie à distance de paires constantes. D'où l'introduction du facteur lambda. Cette variation a obligatoirement pour origine l'écrantage du a ton gaz de particules decrit par la distribution rho1.(qur tu obtiens par intégration sur la fonction de distribution a 2 particules)
.
Tu as donc un problème auto-consistant. Pour la bonne fonction de distribution a 2 particules et l'énergie libre correspondante tu auras la dérivée fonctionnele nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

Je ne pense pas qu'il s'agisse d'une définition mais d'un résultat (tu peux t'en convaincre a T=0 où l'énergie libre c'est l'énergie tout court).

Ba en tout cas dans le livre c'est présenté comme une défintion équivalente à pleins d'autres définitions de cette fonction sauf qu'ici le but est de passer par une dérivation fonctionnelle (qui est ensuite plus utile pour des approximations à venir).

Cette variation a obligatoirement pour origine l'écrantage du a ton gaz de particules decrit par la distribution rho1.(qur tu obtiens par intégration sur la fonction de distribution a 2 particules)

je ne vois pas du tout d'où vient cette affirmation (pourquoi un écrantage ?).

Tu as donc un problème auto-consistant. Pour la bonne fonction de distribution a 2 particules et l'énergie libre correspondante tu auras la dérivée fonctionnele nulle.

Si je faisais la dérivée fonctionnelle par rapport à effectivement ça ferait zero mais je ne vois pas pourquoi ça ferait zero avec la derivée fonctionnelle par rapport au potentiel de pair.

[invite7ce6aa19]

Ba en tout cas dans le livre c'est présenté comme une défintion équivalente à pleins d'autres définitions de cette fonction sauf qu'ici le but est de passer par une dérivation fonctionnelle (qui est ensuite plus utile pour des approximations à venir)

.

Je l'écrit sous une formule simplifiée

ainsi du = delta(r1-r2).dV(r1-r2)

qui donne la variation d'énergie interne due à 2 particules dont la distance est fixée mais dont le potentiel d'interaction varie (a distance fixée).
.
A partir de cette formule tu remplaces le Dirac par une distribution de paires et la variation d'énergie par une variation d'énergie libre (donc a température finie).
.
L'interet du langage fonctionnel résulte du fait que l'équilibre thermodynamique d'un système est une fonctionnel unique de la densité (voir théorie LDF)

je ne vois pas du tout d'où vient cette affirmation (pourquoi un écrantage ?).

.
Cela résulte d'une stratégie générale du problème à N corps. Un système a N corps est complètement décrit par une fonction de distribution à N particules a partir de laquelle on peut calculer des fonctions de distribution d'ordre inférieur et donc a 2 particules.
.
En cherchant a décrire la physique en utilisant de des fonctions de corrélations a 2 particules, le prix a payer est d'introduire une interaction effective a 2 corps. Dans un contexte physique d'électrons a l'ordre 1 le potentiel est réduit par un facteur que l'on appelle constante diélectrique qui dépend de r1 et r2. Classiquement on appelle çà l'écrantage.

Si je faisais la dérivée fonctionnelle par rapport à effectivement ça ferait zero mais je ne vois pas pourquoi ça ferait zero avec la derivée fonctionnelle par rapport au potentiel de pair.

.
Le but est de trouver la bonne fonction de corrélation de paires qui est celle qui minimise l'énergie du système. Bien sur ceci est valable a l'équilibre.

[invite93279690]

Je viens de comprendre qu'on ne se comprends pas .
Si je comprends bien ce que tu me dis, tu es en train de m'expliquer le pourquoi du comment de la formule (1) qui donne la "définition" de la fonction de distribution de pair en gros (et je t'en remercie). Mais celle là je vois très bien d'où elle vient . Moi ce que je ne comprenais pas c'est comment, mathematiquement, on pouvait determiner la forme de l'enrgie libre telle qu'on l'obtient à la fin du calcul (dans mon premier message) en partant seulement de la formule (1).