exercice sur les molécules ioniques

[Soo]

J'ai un exercice en physique qui me pose problème...voici l'énoncé:

On considère une molécule ionique A-B+, l'ion A- (charge -e) est fixé à l'origine O, l'ion B+ (charge +e) peut se déplacer sur l'axe Ox, son abscisse x étant toujours positive.
L'énergie potentielle de B+ en présence de A- est donnée par:
U(x)=(Uo/2)[(xo/x)^3-3(xo/x)]
Uo et xo étant 2 constantes positives.

1/ déterminer la dimension des constantes xo et Uo. Quelles sont leurs unités fans le système international?
Bon déjà U(x) est en Joule, c'est-à-dire en Newton par mètre, ou kg.m².s-²
Mais comment trouver Uo et xo?
Je ne demande par la réponse à la question, juste des pistes qui pourraient m'orienter...

Merci!
-----

[invitea3eb043e]

Regarde ton expression : tu peux mettre x/x0 en facteur et il te reste dans le crochet un (x/x0)² - 3 ce qui montre que x/x0 n'a pas de dimension donc x et x0 ont même dimension, soit des mètres.
Tu trouves alors que U0 est en joules.

[Soo]

Merci JeanPaul!

Dans la question 2/ on me demande de déterminer la position xe d'équilibre ainsi que la nature de l'équilibre, puis de calculer U(xe).
Je sais juste qu'à l'équilibre, la dérivée première de l'énergie potentielle est nulle, et la dérivée seconde est positive.
Donc d(U(xe))/dx=0 et d²(U(xe))/dx>0
Mais comment je trouve xe?

[invitea3eb043e]

Eh bien il faut calculer la dérivée de U par rapport à x et dire que ça vaut zéro. Il serait simple de poser p = x0/x et écrire que
dU/dx = dU/dp * dp/dx
On trace le tableau de variation de U(x) et on voit bien quand la dérivée s'annule et si ça fait un max ou un min.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Soo]

Alors en posant p=xo/x, je trouve:
dU/dx=dU/dp*dp/dx=(Uo/2)(3p²-3)*(-xo/x²)
C'est bien ça?
Donc dU/dx=(Uo/2)[(-3xo^3/x^4)+(3xo/x²)]

Par contre ensuite je ne voit pas comment simplifier pour trouver x

[invitea3eb043e]

Il n'est pas trop dur de voir quand 3 p² - 3 vaut zéro et d'analyser le signe sans faire le produit.

[Soo]

Bien sur! Il faut que j'ouvre un peu plus les yeux moi...

Bon finalement je trouve que dU/dx est positif entre - l'infini et -xo et entre xo et + l'infini, et est négatif en -xo et xo, avec une assymptote verticale en 0.

Donc U(x) admet un maximmum en -xo qui est égal à Uo et un minimum en xo qui est égal à -Uo. Donc xe=-xo et +xo?

Il y a donc un maximum en -xo, donc xe=-xo est une équilibre stable, et il y a un minimum en xo, donc xe=xo est un équilibre instable.
C'est bien ça?

Donc pour calculer U(xe), on a 2 possibilités:
soit U(xe)=U(xo)=-Uo
soit U(xe)=U(-xo)=Uo

Est-ce que c'est juste?

[invitea3eb043e]

x ne peut être négatif, c'est une distance entre 2 ions.
On se limite donc entre 0 et +infini, et là il y a un minimum d'énergie en x = x0 donc c'est stable au contraire.