Forces non-conservatives et lagrangien

[Coincoin]

Salut,
Le lagrangien d'un système est défini par avec l'énergie cinétique, et le potentiel. On peut montrer que si on prend le principe de moindre action, on peut retomber sur la relation fondamentale de la dynamique (Newton)...
Mais, que se passe-t-il si les forces considérées ne dérivent pas d'un potentiel ?
Si quelqu'un pouvait m'expliquer rapidement (et donc grossièrement) comment on fait (mon prof de maths m'a dit que ça se posait pas trop de problèmes), je lui en serais vraiment reconnaissant !
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[chaverondier]

Salut,
Le lagrangien d'un système est défini par avec l'énergie cinétique, et le potentiel. On peut montrer que si on prend le principe de moindre action, on peut retomber sur la relation fondamentale de la dynamique (Newton)...
Mais, que se passe-t-il si les forces considérées ne dérivent pas d'un potentiel ?
Si quelqu'un pouvait m'expliquer rapidement (et donc grossièrement) comment on fait (mon prof de maths m'a dit que ça se posait pas trop de problèmes), je lui en serais vraiment reconnaissant !

On écrit alors
Où est la puissance virtuelle des forces (non prises en compte dans le potentiel intervenant dans le Lagrangien ) dans le champ de vitesses engendré par

Bernard Chaverondier

[j.yves]

C'est à dire qu'on peut écrire des sortes d'équations de Lagrange même avec des forces non conservatives, et c'est pratique pour les changements de coordonnées. Mais par contre, à ma connaissance, le principe de stationnarité de l'action ne s'applique plus.
Heureusement que toutes les forces microscopiques dérivent d'un lagrangien...

[Coincoin]

Merci à tous les deux !

[A voir en vidéo sur Futura]

[BioBen]

Salut,
en quelle année commence-t-on à étudier les Lagrangiens ? C'est un extension de la mécanique newtonienne ?
Merci
a+
ben

[Coincoin]

C'est un extension de la mécanique newtonienne ?

C'est une autre manière (équivalente) de formuler la mécanique classique que la vision newtonienne. Et c'est utile après en physique plus théorique...

[j.yves]

Bioben, c'est très simple dans l'idée, mais tu le sais déjà peut-être: c'est plus facile à comprendre dans le cas de l'optique géométrique que de la mécanique classique. Lorsque tu calcules la trajectoire d'un rayon lumineux entre un point situé dans l'air et un point situé au fond de la piscine, tu as deux méthodes équivalentes : 1) les lois de Descartes qui te disent en chaque point où le rayon doit aller, c'est l'équivalent des lois de Newton; 2) un point de vue plus global, le principe de Fermat, qui te dit que le chemin choisi par la lumière entre les deux points sera, parmi tous les chemins possibles, celui qui minimise le chemin optique. C'est le point de vue "lagrangien". On l'étudie en général en 3eme année de licence, parce que c'est un problème de minimisation beaucoup plus compliqué que le minimum d'une courbe.

Par contre, le bagage mathématique dont on a besoin pour comprendre les équations de Lagrange (qui ne sont qu'un petit bout de la mécanique lagrangienne) n'est pas beaucoup plus grand que pour les équations de Newton, ce sont juste des dérivées (partielles). Et leur intérêt essentiel est qu'elle permettent de changer de coordonnées (en particulier, de choisir des coordonnées non cartésiennes, du genre angles) très facilement, alors que c'est carrément pénible avec les équations de Newton.

[chaverondier]

Salut, en quelle année commence-t-on à étudier les Lagrangiens ? C'est une extension de la mécanique Newtonienne ?

En licence il me semble (mais peut-être que c'est abordé en 2ème année de Deug ?). On peut modéliser la mécanique Newtonienne sous une forme Lagrangienne mais le champ d'application de ce formalisme est bien plus vaste. On peut exprimer dans ce cadre presque toutes les lois d'évolution des systèmes physiques.

C'est ce qui fait l'intérêt de la formulation Lagrangienne des lois de la physique notamment quand elles sont recherchées (et non connues) et qu'on a des raisons de les croire invariantes vis à vis de l'action de tel ou tel groupe de symétrie. En effet, le problème de recherche de la loi d'évolution en question se ramène alors à la recherche d'un Lagrangien invariant vis à vis de ce groupe de symétrie.

J'ai présenté quelques considérations conduisant à une formulation Lagrangienne des lois de la physique (et quelques éléments qui motivent son introduction ainsi que la façon dont on passe d'une formulation Lagrangienne à une formulation Hamiltonienne) en m'appuyant sur l'exemple d'un oscillateur harmonique classique (un système masse ressort) en http://minilien.com/?z5QQhrZNQm (fil Re: principe variationnel et méca analytique sur fr.sci.physique).

Bernard Chaverondier

[BioBen]

Ok, merci à vous pour toutes ces précisions. Je vais aller regarder ca de plus près après mes examens, ca m'a l'air très interressant comme façon de voir les choses ...
a+
ben

[glevesque]

Salut

Mais qu'est-ce qu'un Hamiltonienne, ca décrit qu'oi cette chose là ?

A++

[chaverondier]

Qu'est-ce qu'un Hamiltonien, ça décrit quoi cette chose là ?

C'est l'énergie du système exprimée en fonction de ses variables d'état et de ses variables dites conjuguées
où désigne le Lagrangien du système et désigne la vitesse d'évolution de ses variables d'états.

Dans le cas d'un système de particules ponctuelles en interaction,
* les variables d'état sont les positions des particules
* les variables conjuguées sont leurs impulsions
* Le Lagrangien du système de particules c'est (considéré comme fonction des positions et des vitesses des particules)
où désigne l'énergie cinétique
où désigne la somme de l’énergie potentielle des forces d'interaction (et de l’énergie potentielle des forces extérieures s'il y en a)
* L'Hamiltonien du système c'est (considéré comme fonction des positions et des impulsions )

Une fois connu l'Hamiltonien du système on sait écrire ses équations d'évolution appelées équations d’évolution de Hamilton.



Bernard Chaverondier

[Heimdall]

C'est une autre manière (équivalente) de formuler la mécanique classique que la vision newtonienne.

pas que classique... cf lagrangien relativiste