question physique Math sup'

[invitec482fa6f]

Bonjour tout le monde,

je suis confronté à 2 écueils que je n'arrive pas à résoudre ! Le premier est essentiellement mathématique. On remplit une demi-sphère avec de l'eau.

( )
( )
(_______) (imaginez une demi sphère avec un trou au-dessus pour pouvoir y verser de l'eau...).

on va savoir pour quelle hauteur h d'eau la coupole va se soulever par les forces de pression.

Pour cela, j'ai introduit un angle x, qui est en fait l'angle formé par le centre de la base de la coupole, et le niveau d'eau (j'espère être clair, mais c'est pas évident sans dessin !). La force résultante étant verticale, j'ai tout projeté selon cet axe. Par une RFD, on obtient que le poids de la coupole doit être opposé à la résultante des forces de pression pour qu'elle se soulève. Ensuite j'ai intégré. Hélas, après maintes transformations, j'obtiens :

(cos(x))^3+cos(x)=a (je ne précise pas a c'est pas vraiment important).

Premièrement : avez-vous la même expression que moi en intégrant ?
Deuxièmement : si oui, comment arrivez-vous à résoudre une telle équation ?


Passons au deuxième problème, plus physique. Le problème est très intéressant. On se propose d'étudier la "sphéricité" de la terre, de montrer qu'elle ne l'est pas tout à fait, et d'établir alors une nouvelle énergie potentielle, plus exactement en 1/r. On assimile la Terre à une goutte de liquide très visqueux. on me demande d'écrire la relation fondamentale de la statique au sein de la terre. Mais dans le cours, on n'a que

dP/dz=-(masse volumique du fluide)*g

hors ici, je ne vois pas trop comment appliquer cette formule, étant donné que le champ de pesanteur n'est plus seulement selon z. j'ai essayé par rapport à er (en coordonnées polaires) mais je m'emmêle un peu les pinceaux, et je ne suis pas sûr de mon coup.

Merci pour votre aide que je devine déjà bienfaitrice !
-----

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je n'ai pas compris votre problème. Vous dites que vous versez de l'eau à l'intérieur d'une sphère pour qu'elle se soulève? Je ne comprends pas.

Pour le deuxième problème il vous manque la force centrifuge due à la rotation de la terre.

Au revoir.

[invitec482fa6f]

Je réexplique (c'est dur à dire sans dessin !). On ne prend pas une sphère, mais bien un demi-sphère. Un coupole. J'ai essayé de faire un dessin avec des parenthèses, mais ça enlève les espaces donc il sert à rien :'(. En fait, c'est comme une cloche à fromage percée en eau où on y verse de l'eau.

Pour le deuxième problème on considère au départ qu'il n'y a pas de force centrifuge. On la considère seulement après pour réétudier plus précisément, c'est même là que l'étude commence à devenir intéressante !

[invitec053041c]

Salut.

Je comprends ton problème.
Moi j'ai pris les coordonnées sphériques habituelles, et (theta_0) l'angle partant de la verticale jusqu'au niveau de l'eau (ça doit être le complémentaire du tiens).

J'obtiens pour résultante verticale des forces:



Et là, bouark ,pas joli . Je ne pensais pas que ce soit simplifiable outre mesure, alors j'ai demandé à maple de me simplifier cette expression trigonométrique, et miracle, il me sort:



Tu n'as plus qu'à faire ton petit pfd projeté sur la verticale, poids=force de pression à la rupture, puis voilà .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec482fa6f]

Je ne comprends pas la signification de ton theta_0 ! C'est la valeur de l'angle recherché non ?

Après avoir lu plus précisément ta réponse, je me suis rendu compte que j'ai fait une grosse boulette ! J'ai pris (comme tu le dis) le complémentaire de l'angle ! Mes formules de dS ()sont donc fausses !

Je vais refaire les calculs sans regarder ta correction, pour voir si on trouve bien la même chose .

[invitec053041c]

Oui, theta_0 est l'angle à rechercher (l'angle de la verticale avec le niveau de l'eau).

()sont donc fausses !

Attention, c'est R².

[invitec482fa6f]

Euh oui désolé, R².

C'est bizarre, je n'ai pas exactement la même chose que toi...

Perso, j'ai :



D'où, en projetant avec une RFD et en notant m la masse de la coupole :

mais avec une racine cubique (je ne connais pas tex, je m'inspire de ton post précédent !).

Pour être plus clair, j'ai considéré que l'angle était au départ (pas d'eau quoi) et ensuite l'eau monte jusqu'à l'angle , d'où le signe moins (j'inverse les bornes !). ça me paraît cohérent non ? pourtant on n'a pas le même résultat...

[inviteaa85155c]

Attention ton expression de h n'est pas homogène !

Ah pardon j'ai mal lu : tu précises bien que la racine est cubique

[inviteaa85155c]

Vouv vous compliquez, il n'y a pas besoin de faire intervenir d'angle phi !
L'angle théta (entre la verticale au centre et le point de contact entre le niveau et la coupole) suffit, on a une symétrie circulaire

dF = P dS

La pression à la hauteur correspondant à l'angle théta est :
P = mu g R ( cos theta zéro- cos theta)

dS = 2 pi R² dtheta

dFz= P dS cos theta

donc dFz = 2 pi Rcube mu g ( cos theta zéro- cos theta) cos theta dtheta

Il n'y a plus qu'à intégrer entre théta 0 et pi /2

(Une primitive de cos²x est x/2 + (sin(2x))4)

Il y a plus qu'à dérouler (je vais au pieu)

[invitec482fa6f]

Je ne comprends toujours pas pourquoi vous mettez dans votre intégrale...

Et sinon, le problème N°2, vous y avez réfléchi ?

[inviteaa85155c]

En fait je suis d'accord avec le message 4, le rayon du cercle étant R sin theta, j'ai oublié un sin theta (j'y ai repensé une fois couché...)

Je ne comprends toujours pas pourquoi vous mettez ... dans votre intégrale...

ca vient de la pression, qu'il faut compter nulle à la surface de l'eau et croissante en descendant.
Elle est en mu g z, avec z pointant vers le bas. Quand tu exprimes z en fonction de theta, tu trouves la formule que t'as écrite (fois R)

[invitec053041c]

ca vient de la pression, qu'il faut compter nulle à la surface de l'eau et croissante en descendant.
Elle est en mu g z, avec z pointant vers le bas. Quand tu exprimes z en fonction de theta, tu trouves la formule que t'as écrite (fois R)

Oui, parceque la force de pression résulte de la différence de pression entre l'extérieur et l'intérieur de la sphère. Donc compter une pression nulle à la surface de l'eau et à l'extérieur, c'est pareil que de compter une pression p0 à l'extérieur, et une pression en p0-µgz dans l'eau (à adapter avec le contexte).

[inviteaa85155c]

Pour le deuxième problème on considère au départ qu'il n'y a pas de force centrifuge. On la considère seulement après pour réétudier plus précisément, c'est même là que l'étude commence à devenir intéressante !

Faudrait que tu clarifies ce que tu cherches, parce que sans rotation la terre est parfaitement ronde !

[invitec482fa6f]

Mais oui, suis-je bête, dans le cours on a vu la pression effective, donc j'avais enlevé ce P_0...

Pour le deuxième exo, il n'y a pour l'instant rien de compliqué. En fait, dans ma question la terre ne tourne pas encore, et elle est d'ailleurs parfaitement ronde, ce n'est que dans les question d'après où l'on considère que la terre est ronde ! J'ai présenté l'exo au cas où il y ait d'autres questions sur lequel je bloque .

merci pour votre aide !

[invitec482fa6f]

Pas d'idée pour le deuxième problème ? J'en aurais bien besoin...

[invite6dffde4c]

La surface d'équilibre d'un liquide est une surface d'égale énergie potentielle. Comme l'énergie potentielle est mgR/2 (avec le zéro au centre de la terre) on obtient R constante.

[invitec053041c]

Ou on peut dire que la surface correspondrait à la surface où la pression s'annule, en première approximation.
(idée du verre d'eau qui tourne, avec surface parabolique).

[invite6dffde4c]

Ou on peut dire que la surface correspondrait à la surface où la pression s'annule, en première approximation.
(idée du verre d'eau qui tourne, avec surface parabolique).

Oui, mais cela ne nous avance pas beaucoup. La pression de l'eau s'annule à sa surface quelque soit sa forme, même pour un rouleau (une vague qui brisse). Donc cela ne permet pas de trouver sa forme.

[inviteaa85155c]

c'est de l'hydrostatique, donc une pression en rho g z

[invitec053041c]

Oui, mais cela ne nous avance pas beaucoup. La pression de l'eau s'annule à sa surface quelque soit sa forme, même pour un rouleau (une vague qui brisse). Donc cela ne permet pas de trouver sa forme.

Pour répéter ce qui a déjà été dit: on est en hydrostatique, donc on ne considère pas de tels mouvements de fluide..

[invite6dffde4c]

c'est de l'hydrostatique, donc une pression en rho g z

Bon d'accord, passons par l'hydrostatique. Simplement on ne peut utiliser rho.g.z que si on est dans une zone très petite de la terre, avec toutes les forces de gravité verticales et la gravité constante.
On peut peut-être mettre un tuyau vertical au pôle, relié par un tuyau parallèle à la surface de la terre, à un autre tuyau vertical à une latitude quelconque. Dans ce cas on peut utiliser rho.g.r où r est la distance au centre de la terre.

Si on veut couper des cheveux en quatre, on pourrait protester en disant que rho.g.h n'a été démontré que localement, et qu'il faudrait démontrer que la formule est aussi valide pour des tuyaux situés dans des endroits où les forces gravitationnelles ne sont pas parallèles.

[invitec053041c]

Bon d'accord, passons par l'hydrostatique. Simplement on ne peut utiliser rho.g.z que si on est dans une zone très petite de la terre, avec toutes les forces de gravité verticales et la gravité constante.
On peut peut-être mettre un tuyau vertical au pôle, relié par un tuyau parallèle à la surface de la terre, à un autre tuyau vertical à une latitude quelconque. Dans ce cas on peut utiliser rho.g.r où r est la distance au centre de la terre.

Si on veut couper des cheveux en quatre, on pourrait protester en disant que rho.g.h n'a été démontré que localement, et qu'il faudrait démontrer que la formule est aussi valide pour des tuyaux situés dans des endroits où les forces gravitationnelles ne sont pas parallèles.

Je n'ai jamais dit qu'il fallait utiliser p=µ.g.z

Il faut appliquer où fv désigne la force volumique, qui ne vaut même pas µ.g (car dépendante de r) , mais qu'il faudrait calculer grâce au théorème de Gauss..
Bon, c'est un peu long, mais c'est l'idée.

EDIT: Gauss nous donne un champ de gravitation linéaire en r dans la boule, donc on obtient une pression de la forme p=-ar²+cst (a cst>0 dépendant de mu,G,Rterre et autre ).

[invite6dffde4c]

Pour répéter ce qui a déjà été dit: on est en hydrostatique, donc on ne considère pas de tels mouvements de fluide..

Si vous relisez ce que j'ai écrit vous verrez que j'ai dit "toujours" et cela vaut, je crois, quand on est en hydrostatique.

[invitec482fa6f]

Finalement, je crois avoir trouvé la réponse.

Normalement, on a .

Ici, c'est selon r, et le champ de pesanteur n'est plus g mais (en effet, étant donné qu'on est à l'intérieur de la Terre, ce n'est pas ).

Ainsi, on a .

Qu'en pensez-vous ?

[invitec053041c]

Oui c'est ça.

[invitec482fa6f]

Ensuite, en intégrant ma relation par parties et en trouvant les constantes issues de l'intégration telles que le champ de pesanteur soit bien GM/R à la surface de la Terre, j'ai Pression au centre de la Terre = 515GPa, qu'en pensez-vous une nouvelle fois ?

[invitec053041c]

Ensuite, en intégrant ma relation par parties et en trouvant les constantes issues de l'intégration telles que le champ de pesanteur soit bien GM/R à la surface de la Terre, j'ai Pression au centre de la Terre = 515GPa, qu'en pensez-vous une nouvelle fois ?

Je ne vois pas où tu as besoin d'une intégration par partie..bref.

dP/dr= ... est juste car tu es en coordonnées sphériques et à symétrie sphérique.

Dans le cas général, c'est (ce qu'il faudra utiliser lorsque tu tiendras compte de la force centrifuge).

[inviteaa85155c]

Bon d'accord, passons par l'hydrostatique. Simplement on ne peut utiliser rho.g.z que si on est dans une zone très petite de la terre, avec toutes les forces de gravité verticales et la gravité constante.
On peut peut-être mettre un tuyau vertical au pôle, relié par un tuyau parallèle à la surface de la terre, à un autre tuyau vertical à une latitude quelconque. Dans ce cas on peut utiliser rho.g.r où r est la distance au centre de la terre.

Si on veut couper des cheveux en quatre, on pourrait protester en disant que rho.g.h n'a été démontré que localement, et qu'il faudrait démontrer que la formule est aussi valide pour des tuyaux situés dans des endroits où les forces gravitationnelles ne sont pas parallèles.

exact, je croyais que tu parlais du précédent problème avec la coupole... (j'ai encore répondu trop vite)

Sinon s'il s'agit de calculer la pression au centre de la terre, j'ai déjà traité ca dans un sujet récent

[invitec482fa6f]

Désolé, je voulais dire une intégration à variables séparables.

[inviteaa85155c]

Sinon s'il s'agit de calculer la pression au centre de la terre, j'ai déjà traité ca dans un sujet récent

Ca va vite, il est déjàen page 5 :
http://forums.futura-sciences.com/thread216019.html