Paradoxe de Zénon d'Elée

[ClairEsprit]

Aujourd'hui, en expédiant mes 300km quotidiens de route, je méditais sur la meilleure façon d'exclure t de mes équations du mouvement, lorsque j'ai eu un enchaînement d'idées qui m'a remémoré le fameux paradoxe de Zénon :

La tortue qu'Achille essaie de rattraper ne s'arrête jamais, ainsi elle a toujours loisir de prendre un petit peu d'avance lorsque qu'Achille couvre le chemin qui la séparait d'elle à un moment donné. On peut exprimer le tout en équation et on se retrouve avec une série convergente, mais avec une infinité de terme.

La communauté mathématique applaudit des deux mains, et les physiciens s'arrachent les cheveux. Brutalement j'ai oublié ma variable t et je me suis mis à imaginer un univers quantifé spatialement. Après tout, pourquoi accepter toutes ces infinités sous le tapis (Feynman ) ? Le paradoxe tombe aussi, si il suffit d'un nombre fini de "saut spatiaux" pour couvrir une distance finie. Y a-t-il des théories tenant la route utilisant le concept de quantification spatiale ? Et vous, vous préférez une infinité de termes, ou un nombre fini de sauts ?
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[invite14ea0d5b]

espace quantifié

Comment pourrait-on mettre en évidence une possible "quantification de l'espace" ? Est-ce que ça sert à quelque chose de considérer ça ?

[invitee16ff47e]

Les modèles de "discrétisation de l'espace-temps" sont très étudiés en physique théorique, parce qu'ils sont plus faciles à étudier que les modèles continus, notamment (mais pas uniquement) lorsqu'il s'agit de quantifier la gravitation. Mais à ma connaissance, c'est plutôt pour des raisons techniques que conceptuelles.

[invite8ef897e4]

Certes, la tentative de discretiser l'espace-temps resulte de considerations tres techniques : les mousses de spin, proposees par Penrose. Ce sont des diagrammes de Feynman generalises. Un diagramme de Feynman est une classe d'equivalence topologique de chemins dans l'espace-temps. Une mousse de spin prend en compte l'histoire de la geometrie de la metrique, il faut rajouter une dimension aux diagrammes de Feynman pour qu'ils deviennent des mousses de spin. Chaque section d'une mousse de spin selon cette dimension supplementaire correspond a un diagramme de Feynman. A chaque sommet de ce diagramme en mousse il faut ajoindre un groupe de symmetrie, analogue aux groupes de symmetries qui apparaissent avec des spin : U(N) par exemple, d'ou le terme "mousse de spin".

C'est tres "utile" ou en tout cas cela apparait necessaire : tout le monde dit toujours "il est impossible de quantifier la gravite". Oui mais est-ce si certain ? Ne s'y est-on pas mal pris ? Apres tout, il doit bien exister une facon de representer la gravite au moins de facon effective ?

La theorie des cordes fait plusieurs hypotheses fortes sur la Nature :

• existence d'objet etendus (cordes, membranes, D-branes)
• supersymmetrie
• dimensions supplementaires : exactement 10+1 dimensions

Si cette derniere prediction est correcte, cela sera l'une des plus admirables "decouvertes" par la pure pensee.

Seulement, la gravite en boucles essaie de quantifier la gravite sans ces hypotheses. Elle ne rejette pas ces hypotheses, elle en est independante. C'est a la fois un atout en terme de generalite, mais c'est aussi moins de pouvoir predictif. La gravite en boucles n'essaie pas d'unifier les differentes interactions par exemple.

Cependant, il existe un lien profond entre la theorie des noeuds, les theories de jauge, et la gravite quantique : ce sont les boucles. D'ailleurs, la theorie des cordes predit les equations d'Einstein, dans une certaine limite "a basse energie", sous la forme de... boucles !

En gravite, c'est la metrique qui fait naturellement apparaitre la notion de boucle : le concept meme d'adjacence se represente de la facon la plus naturelle sous la frome d'un diagramme de voisins. Les symmetries dans ce systeme sont determinees par le groupe d'homotopie des boucles fermees passant par un point donne (et ce groupe est independant du choix du point de base). Les mathematiques discretes sont plus simples que les mathematiques continues, peut etre. Les mathematiques discretes, ce sont les mathematiques dont on ne parle pas beaucoup. (qui a dit ca ?)

Reference : Boucles et Mousses de Spin en Gravite Quantique
these de Etera R. Livine

[A voir en vidéo sur Futura]

[ClairEsprit]

Merci humanino pour toutes ces informations . Cependant :

Certes, la tentative de discretiser l'espace-temps resulte de considerations tres techniques : les mousses de spin, proposees par Penrose. Ce sont des diagrammes de Feynman generalises. Un diagramme de Feynman est une classe d'equivalence topologique de chemins dans l'espace-temps. Une mousse de spin prend en compte l'histoire de la geometrie de la metrique, il faut rajouter une dimension aux diagrammes de Feynman pour qu'ils deviennent des mousses de spin. Chaque section d'une mousse de spin selon cette dimension supplementaire correspond a un diagramme de Feynman. A chaque sommet de ce diagramme en mousse il faut ajoindre un groupe de symmetrie, analogue aux groupes de symmetries qui apparaissent avec des spin : U(N) par exemple, d'ou le terme "mousse de spin".

Je ne saisis pas très bien où s'est glissée la tentative de discrétisation de l'espace-temps ? Note bien aussi que je parlais moi de discrétisation de l'espace, et non de l'espace-temps.

La theorie des cordes fait plusieurs hypotheses fortes sur la Nature

S'agit-il d'une autre théorie que celle manipulant les mousses de spin ou bien la finalité des idées de Penrose ?

Seulement, la gravite en boucles essaie de quantifier la gravite sans ces hypotheses

Les mousses et autres intégrales de chemins surdimensionnées ?

Cependant, il existe un lien profond entre la theorie des noeuds, les theories de jauge, et la gravite quantique

Attends, à quelles théories appartiennent quelles idées ??! Je ne suis plus du tout moi... Je vais aller faire un tour du côté de la thèse que tu indiques. En ce qui me concerne, j'ai arrêté mes études aux diagrammes de Feynman. J'avoue que je m'y perds dans tes références, car entre la physique et moi il s'est écoulé une bonne dizaine d'années.
Mais je repose ma question : y-a-t-il des théories tenant la route prenant en compte une discrétisation de l'espace, et seulement l'espace ? (le temps, je règlerai mes comptes avec lui après )

[ClairEsprit]

Bon. J'ai jeté le coup d'oeil sur la thèse en question. Elle est en français, ce qui est déjà un souci de confusion de moins. Seulement, j'en ai marre de passer du temps à essayer de comprendre ce qu'on fait les autres. Je sais que je finirai bien par y arriver un jour ou l'autre : c'est une question de courage et d'énergie, mais ce temps passé sera perdu pour mes réflexions personnelles. Déjà en fac je préférais tout redémontrer pas à pas pour être sûr d'avoir bien compris (avec l'aide du cours évidemment), plutôt que d'apprendre plus ou moins bêtement les formules. C'est pas la meilleure façon d'avoir les meilleures notes mais c'est le plus intéressant en physique. J'ai beaucoup déploré le fait que même en science fondamentale, on nous demande d'être aussi scolaire qu'en seconde. Il y a moyen d'arriver jusqu'au DEA en n'ayant rien compris a rien, c'est tout de même une honte ! Il y a tout de même un moment ou il faut s'arrêter pour réfléchir. J'ai arrêté les études pour ça, alors je ne vais pas m'y remettre de nouveau ! Si jamais mes réflexions me conduisent du côté des boucles, je serai plus attentif; mais pour le moment, je préfère refaire le chemin dans l'ordre, je ne serais pas surpris qu'il y ait encore des choses qui ont été laissées de côté par les illustres disparus.

[invite8ef897e4]

Je ne saisis pas très bien où s'est glissée la tentative de discrétisation de l'espace-temps ? Note bien aussi que je parlais moi de discrétisation de l'espace, et non de l'espace-temps.

Il existe par exemple un operateur dont le spectre donne les valeurs possibles des resultats d'une mesure de longueur. De la meme facon, il existe un operateur pour les mesures d'aires, de volumes, mais aussi de temps. En gravite quantique en boucle, on predit que ces spectres sont discrets.

S'agit-il d'une autre théorie que celle manipulant les mousses de spin ou bien la finalité des idées de Penrose ?

La theorie des cordes est une theorie differente de celle issue du formalisme des mousses de spin proposee par Penrose.

Voici la page preso de C. Rovelli, sur laquelle se trouve un cours gratuit sur la gravite en boucle (en agnalais) :
http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/rovelli.html

ce temps passé sera perdu pour mes réflexions personnelles

personellement, je me reserve largement suffisamment de temps pour mes reflexions (si je prend en compte leur valeur par rapport a la valeur des reflexions de Penrose par exemple...)

[ClairEsprit]

En gravite quantique en boucle, on predit que ces spectres sont discrets.

Fort bien. Un bon point pour que je m'y intéresse de plus près. Mais est-ce une théorie qui s'élabore à partir de la notion de discrétisation comme point de départ, ou bien une théorie qui émerge du formalisme quantique, et dans ce cas est-elle dans la lignée de l'école de Copenhague ?

personellement, je me reserve largement suffisamment de temps pour mes reflexions (si je prend en compte leur valeur par rapport a la valeur des reflexions de Penrose par exemple...)

La valeur d'une réfléxion en physique, selon moi, ce n'est pas tant la pénétrance de son propos ou la complexité de ses concepts que l'originalité dont elle fait preuve. je pense qu'on peut être plus original lorsque qu'on s'écarte du chemin tracé que lorsque qu'on s'abîme les yeux sur le dogme du moment. J'ai personnellement eu cette démarche dans la musique, et les résultats me poussent à faire le parallèle avec la physique. Un autodidacte brillant en musique va pouvoir produire des musiques étonnantes et novatrices, tout en redécouvrant les principes connus pour mieux s'en écarter. Un élève brillant du conservatoire ne sera dans la plupart des cas qu'un excellent interprète, mais ne saura pas contribuer à alimenter le fonds de l'art qu'il chérit tant....