Diffusion de matiére.

[Kley]

Salut à tous,
Voici comment se présente mon probléme:

Des bulles d’un gaz pur de rayon r sont injectées dans un liquide dans lequel elles montent très lentement en diminuant de volume du fait de la dissolution du gaz dans le liquide. On observe que le temps de dissolution complète de la bulle « t » est proportionnel à r²
Justifier ceci théoriquement en supposant le régime stationnaire et en négligeant la convection.
La couche de de diffusion en phase liquide à une épaisseur égal à 3r.

Merci

Ciao
-----

[obi76]

La diffusion de l'espèce est proportionnelle à la surface, donc la quantité de matière diffusée par seconde entraîne une diminution du rayon de la goutte (calcul rapide à faire) à en r².
C'est exactement le même problème que des gouttes liquides qui s'évaporent, ce n'est ni plus ni moins que de la diffusion liquide dans l'air (et pas l'inverse)je t'invite à regarde ce cours.

Cordialement

EDIT : malheureusement le cours que j'ai ne contient ni le nom de l'auteur ni son approbation. Je le verrai demain et je lui demanderai si je peux héberger son cours quelque part pour te le rendre disponible.

[Kley]

La diffusion de l'espèce est proportionnelle à la surface, donc la quantité de matière diffusée par seconde entraîne une diminution du rayon de la goutte (calcul rapide à faire) à en r².
C'est exactement le même problème que des gouttes liquides qui s'évaporent, ce n'est ni plus ni moins que de la diffusion liquide dans l'air (et pas l'inverse)je t'invite à regarde ce cours.

Cordialement

EDIT : malheureusement le cours que j'ai ne contient ni le nom de l'auteur ni son approbation. Je le verrai demain et je lui demanderai si je peux héberger son cours quelque part pour te le rendre disponible.

Salut obi76 , oui je serais très intéressé par un document , d'autant plus que je n'ai pas vraiment tout pigé dans ton message.

A+

[obi76]

Suite à discussion avec mon prof, je te mets en PJ quelques pages de son cours, ça te permettra sans doute à y voir plus clair. En tous cas bon courage, c'est pas super évident au premier abord.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Suite à discussion avec mon prof, je te mets en PJ quelques pages de son cours, ça te permettra sans doute à y voir plus clair. En tous cas bon courage, c'est pas super évident au premier abord.

Cordialement

Bonjour,
.
Voici ce que je te proposes comme solution.

Du point de vue méthode je commence par faire un modèle simple qui ne me donne pas le bon résultat. a partir de ce modèle j'analyse comment modifier le modèle pour donner la bonne réponse.
.
D'un point de vue calculatoire il ne faudra pas tenir compte des facteurs multiplicatifs qui ne joue pas de role.
.
Premier modèle.
.

La masse de gaz de la bulle vaut: M = r3 (proportionnel au cube du rayon)
.
Une variation de masse vaut dM = 3.r2.dr équation(1)
.

.
Hypothèse: On suppose que la perte de masse dM pendant dt est proportionnel à la surface, ce qui semble raisonnable à priori.

.
d'où:

dM = - r2.dt équation (2)

On en déduit que:

dr/dt = - a (une constante)

Par intégration on a donc:

r = r° -a.t

La bule a donc disparue au bout d'un temps proportionnel à r° le diamètre initiale de la bulle ce qui n'est pas conforme au résultat attendu.

Il faut donc modifier le mécanisme de pertes.
.
deuxième modèle.

Il est facile de vérifier que la relation (2) doit être modifiée sous la forme

dM = -r.dt pour donner le résultat.

Ce qui signifie que le mécanismes de pertes n'est pas controlé par un mécanisme d'échange entre surface mais par un mécanisme de diffusion du gaz dans la phase liquise. Ce qui veut dire que les échanges a la surface vapeur/liquide sont rapides devant les mécanismes de diffusion en volumes.

[obi76]

Ce n'est pas si simple de dire que c'est proportionnel à la surface. Si on arrive vers la densité de vapeur saturante (ou inversement de la quantité de gaz dissolu à saturation), ton évaporation sera (quasi) nulle.
Il faut donc regarder comment évolue la fraction massique dans l'espace, en lui imposant un flux qui dépend lui même de la valeur de cette densité.
Ce n'est pas si simple, mais ça revient au même résultat (étonnant d'ailleurs)

[Kley]

Suite à discussion avec mon prof, je te mets en PJ quelques pages de son cours, ça te permettra sans doute à y voir plus clair. En tous cas bon courage, c'est pas super évident au premier abord.

Cordialement

Ah merci obi76, c’est vraiment très sympa je verrais se que je pourrais en tirer.

[Kley]

Bonjour,
.
Voici ce que je te proposes comme solution.

Du point de vue méthode je commence par faire un modèle simple qui ne me donne pas le bon résultat. a partir de ce modèle j'analyse comment modifier le modèle pour donner la bonne réponse.
.
D'un point de vue calculatoire il ne faudra pas tenir compte des facteurs multiplicatifs qui ne joue pas de role.
.
Premier modèle.
.

La masse de gaz de la bulle vaut: M = r3 (proportionnel au cube du rayon)
.
Une variation de masse vaut dM = 3.r2.dr équation(1)
.

.
Hypothèse: On suppose que la perte de masse dM pendant dt est proportionnel à la surface, ce qui semble raisonnable à priori.

.
d'où:

dM = - r2.dt équation (2)

On en déduit que:

dr/dt = - a (une constante)

Par intégration on a donc:

r = r° -a.t

La bule a donc disparue au bout d'un temps proportionnel à r° le diamètre initiale de la bulle ce qui n'est pas conforme au résultat attendu.

Il faut donc modifier le mécanisme de pertes.
.
deuxième modèle.

Il est facile de vérifier que la relation (2) doit être modifiée sous la forme

dM = -r.dt pour donner le résultat.

Ce qui signifie que le mécanismes de pertes n'est pas controlé par un mécanisme d'échange entre surface mais par un mécanisme de diffusion du gaz dans la phase liquise. Ce qui veut dire que les échanges a la surface vapeur/liquide sont rapides devant les mécanismes de diffusion en volumes.

ok mariposa , vraiment j'ai pas encore saisi le cheminement mais je reverrais ça.

[mariposa]

Ce n'est pas si simple de dire que c'est proportionnel à la surface. Si on arrive vers la densité de vapeur saturante (ou inversement de la quantité de gaz dissolu à saturation), ton évaporation sera (quasi) nulle.
Il faut donc regarder comment évolue la fraction massique dans l'espace, en lui imposant un flux qui dépend lui même de la valeur de cette densité.
Ce n'est pas si simple, mais ça revient au même résultat (étonnant d'ailleurs)

.
Bonjour,
.
Justement, ce que je démontre c'est que la cinétique d'échange n'est pas controlée par un mécanisme d'échange de surface mais par un mécanisme de diffusion en volume dans le liquide.
.
Pour traiter correctement en totalité le problème il faudrait proceder ainsi.
.
1 -Ecrire les équations de diffusion en coordonnées sphériques et résoudre celui-ci entre une interface de rayon r (ici r est momentanément un paramètre) et un rayon infini (pour simplifier). La condition aux limites est donnée par la densité de matière dans la bulle.
.
2- Ecrire le flux de diffusion J(t) qui est une fonction de r.
.
3- Ecrire l'équation de conservation de matière.
.
Ce qui est perdue en volume dans la bulle est égale au flux a travers une surface dans le liquide.
.
4- Dans l'hypotèse ou la pression est constante (la bulle remonte lentement par rapport au temps caractéristique de diffusion) écrire l'évolution de r(t) en fonction de J(t). Voir mon post précedent.
.
5- Le rapprochement de l'équation en 1 et 2 avec l'équation en 4 amène un système couplé de la forme:

J(r) = F[r] le flux de diffusion dépend du rayon de la bulle.

r = G[J] le rayon de la bulle dépend en retour des pertes de diffusion.
.
on a une équation fonctionnelle de la forme.

J = F[G[J]]
.
Après écriture de cette équation il s'agira d'effectuer de judicieuses approximations. En particulier il sera judicieux de supposer que le rayon de la bulle s'adaptera instantément au flux de diffusion (Hypotèse adiabatique)
.

[obi76]

C'est le contenu du pdf

[Kley]

En tous cas bon courage, c'est pas super évident au premier abord.

Je confirme, je dois dire que je peine,

Dans le cours l’exemple de la goûte fait appel aux équations de la chaleur, je ne suis pas sensé les utiliser,
Est-ce que mon problème peut se résoudre sans faire appel à cette équation de température du gaz ? (C’est se qu’on attend de moi)

A+

[mariposa]

Je confirme, je dois dire que je peine,

Dans le cours l’exemple de la goûte fait appel aux équations de la chaleur, je ne suis pas sensé les utiliser,
Est-ce que mon problème peut se résoudre sans faire appel à cette équation de température du gaz ? (C’est se qu’on attend de moi)

A+

.
A priori je dirais que non. Ton problème est un problème de diffusion et l'on suppose implicitement que l'équilibre thermique est réalisé. Donc tu peux ignorer to équation de diffusion de chaleur.

[Kley]

Donc tu peux ignorer ton équation de diffusion de chaleur.

D'accord mariposa;

Mais avant de poser mes équations, vous pouvez m’aider à visualiser
le problème :


-Ce problème est équivalent à la diffusion d’un soluté (la bulle) dans un liquide inetre?

-Comment évolue cette bulle (en l’injectant dans le liquide),
Je ne comprend, pas le rayon de cette bulle diminurait au fur et à mesure de sa pentration dans le liquide ?

-Dire que le gaz est dissous <=> disparition de la bulle rayon=0?

A+

[obi76]

Le problème du cours c'est la diffusion d'un liquide dans du gaz. Mais ça peut très bien être l'inverse, il suffit de considérer la diffusion du gaz dans le liquide et non pas du liquide dans le gaz.

pour le reste je ne me suis pas replongé dedans mais je pense que c'est vraiment similaire.

[Kley]

D'accord mariposa;

Mais avant de poser mes équations, vous pouvez m’aider à visualiser
le problème :


-Ce problème est équivalent à la diffusion d’un soluté (la bulle) dans un liquide inetre?

-Comment évolue cette bulle (en l’injectant dans le liquide),
Je ne comprend, pas le rayon de cette bulle diminurait au fur et à mesure de sa pentration dans le liquide ?

-Dire que le gaz est dissous <=> disparition de la bulle rayon=0?

A+

J'ai dit trop de bétises ?

Le problème du cours c'est la diffusion d'un liquide dans du gaz. Mais ça peut très bien être l'inverse, il suffit de considérer la diffusion du gaz dans le liquide et non pas du liquide dans le gaz.

Oui,oui mais la n'est pas le probléme.

Par intégration on a donc:

r = r° -a.t

La bule a donc disparue au bout d'un temps proportionnel à r° le diamètre initiale de la bulle ce qui n'est pas conforme au résultat attendu.

je n'ai pas bien saisi ceci?

A+

[Kley]

Tirer du cours (Page 21) :
Conservation de la masse :

Je n’arrive pas déchiffrer cette équation,
Pour je sais que ce terme traduit la quantité de masse qui à diffuse jusqu'a un instant fixé t,

Mais le terme de gauche ?

et sont respectivement les masse volumique et vitesse du mélange
Mais et v ?

Pour l’équation (2) ([Du cours] vapeur de liquide) la aussi je ne vois pas ?

A+ , j’espère

[obi76]

si je me rappelle bien on regarde le flux de masse situé à une distance d (ou delta je sais plus) de la goutte, par conservation de la masse on estime qu'elle est égale à la quantité de masse évaporée par seconde.

Toi c'est pareil, la chaleur latente je crois pas que t'en ai besoin, tu peux mettre 0 (à confirmer)

[Kley]

si je me rappelle bien on regarde le flux de masse situé à une distance d (ou delta je sais plus) de la goutte, par conservation de la masse on estime qu'elle est égale à la quantité de masse évaporée par seconde.

Je ne vois pas !!

[obi76]

tu prend une sphère de rayon r autour de la goutte, la quantité de matière éjectée de la goutte sera égale à la quantité de matière traversant la sphère

[Kley]

tu prend une sphère de rayon r autour de la goutte, la quantité de matière éjectée de la goutte sera égale à la quantité de matière traversant la sphère

: rayon de la goutte,
Le flux traversant les deux sphères étant constant (régime laminaire):
J’aurais :


Vers où ça doit me mener,

Et d’où découle l’équation (2) (Cours)

A+

[LPFR]

Bonjour.
Je ne vois pas quelles hypothèses on est supposés faire.
Que veut dire la phrase " La couche de de diffusion en phase liquide à une épaisseur égal à 3r."?
Que la matière n'est diffusée que dans une couche (et pas au delà) de cette épaisseur et elle est donc proportionnelle à ce volume [4/3 pi (4^3-1)r^3]? Ou au volume du cylindre creux [pi (4²-1) r²]?

"...elles montent très lentement": À vitesse constante ou à vitesse limitée par la viscosité et la poussée d'Archimède?

Chaque bulle crée une espèce de "cône" de liquide saturée en matière diffusée. Le rayon du cône diminue comme r, r² ou d'une autre façon? Mais tout cela dépend des hypothèses.

Sincèrement, je ne vois pas les hypothèses qu'il faut faire. C'est un problème de la catégorie "devinez quelles hypothèses simplificatrices j'ai utilisé quand j'ai calculé ce problème lors de ma thèse".
Désolé.
Au revoir.

[Kley]

Salut LPFR,

Que veut dire la phrase " La couche de de diffusion en phase liquide à une épaisseur égal à 3r."?

Que la matière n'est diffusée que dans une couche (et pas au delà) de cette épaisseur

C'est exactement ça,

et elle est donc proportionnelle à ce volume [4/3 pi (4^3-1)r^3? Ou au volume du cylindre creux [pi (4²-1) r²]?

Je n'arrive pas à déchiffrer les formules,

"...elles montent très lentement": À vitesse constante ou à vitesse limitée

Plutôt à vitesse constante ,

Chaque bulle crée une espèce de "cône" de liquide saturée en matière diffusée. Le rayon du cône diminue comme r, r² ou d'une autre façon?

Un CÔNE !!!!

Sincèrement, je ne vois pas les hypothèses qu'il faut faire. C'est un problème de la catégorie "devinez quelles hypothèses simplificatrices j'ai utilisé quand j'ai calculé ce problème lors de ma thèse".
Désolé.

C’est sensé reposer essentiellement sur des équations de conservation et de flux de diffusion.

Pas grave,merci.

[LPFR]

Bonjour.
L'hypothèse que ça diffuse dans 3r et pas ailleurs est plutôt osée. Si je n'étais pas poli je la qualifierai autrement. La profondeur de diffusion dépend du temps qu'on attend et non du rayon de la bulle.

Les formules correspondent, dans le premier cas au volume d'une sphère de rayon 4r moins le volume de la bulle de rayon r. C'est à dire le volume de 3r autour de la bulle. Dans le deuxième cas, c'est le volume d'un cylindre de rayon 4r moins un cylindre de rayon r. C'est à dire le volume "saturé" laissée derrière par la bulle quand elle monte.

Supposer que la vitesse des bulles ne dépend pas de leur taille ne semble pas très raisonnable.

Oui! Un cône. En bas, la bulle sature une distance de 3r avec r grand. À mesure qu'elle monte, elle continue à saturer une distance de 3r avec r de plus en plus petit. Ça me donne une espèce de cône de liquide saturé.

Comme vous voyez, j'ai quand même réfléchi à votre problème. Même si je n'ai pas trouvé la solution que votre prof attend.

Au revoir.

[Kley]

La couche de liquide (3r) est inérte?,

L'hypothèse que ça diffuse dans 3r et pas ailleurs est plutôt osée. Si je n'étais pas poli je la qualifierai autrement.

Ok,d'accord,

Les formules correspondent, dans le premier cas au volume d'une sphère de rayon 4r moins le volume de la bulle de rayon r. C'est à dire le volume de 3r autour de la bulle.

Je ne comprend pas pourquoi 4r ,
et je ne saisi pas le sens physique de la formule

Comme vous voyez, j'ai quand même réfléchi à votre problème. Même si je n'ai pas trouvé la solution que votre prof attend.

C'est trés gentil , MERCI.

[LPFR]

La couche de liquide (3r) est inérte?,
...
Je ne comprend pas pourquoi 4r ,
et je ne saisi pas le sens physique de la formule

Bonjour.
" La couche de liquide (3r) est inérte?," Je ne vois pas ce que vous voulez dire. Ce que je comprends est que seule cette couche est saturée de gaz. Mais il est difficile d'interpréter une hypothèse "curieuse".

Si vous avez une bulle de rayon 'r' et autour d'elle une zone d'épaisseur 3r, ça vous donne une sphère de rayon 4r avec la bulle de rayon r au centre.
Au revoir.

[mariposa]

Bonjour.
" La couche de liquide (3r) est inérte?," Je ne vois pas ce que vous voulez dire. Ce que je comprends est que seule cette couche est saturée de gaz. Mais il est difficile d'interpréter une hypothèse "curieuse".

Si vous avez une bulle de rayon 'r' et autour d'elle une zone d'épaisseur 3r, ça vous donne une sphère de rayon 4r avec la bulle de rayon r au centre.
Au revoir.

.
Bonjour,
.
Quand j'ai lu la première fois son énoncé j'ai interprété l'épaisseur de la couche de diffusion 3.r comme une expression empirique. Elle peut-être éventuellement valable dans une certaine gamme de r là où la diffusion doit être considérée comme relevant de la géométrie sphérique.
.
La meilleure façon de vérifier cela est de résoudre exatement l'équation de diffusion en régime sphérique avec l'originalité que la surface "d'injection" (l'interface gaz/liquide) diminue avec le temps (voir la méthode que j'ai exposé dans un post précédent).

[Kley]

" La couche de liquide (3r) est inérte?," Je ne vois pas ce que vous voulez dire.

Est-ce qu’il n’y aura pas variation de l’épaisseur de la couche liquide au fil de la dissolution,

Si vous avez une bulle de rayon 'r' et autour d'elle une zone d'épaisseur 3r, ça vous donne une sphère de rayon 4r avec la bulle de rayon r au centre.
Au revoir.

Ha Ok, je considère ma couche de liquide comme étant une sphère,

Au fil du temps que ma bulle diffuse la sphère de rayon r diminue en volume(r diminue) et il en est de même pour la couche liquide (sphère de rayon 3r) ?

J’ai du mal à écrire ma conservation de matière (Perte-Diffusé)


A+

[LPFR]

Re.

Au fil du temps que ma bulle diffuse la sphère de rayon r diminue en volume(r diminue) et il en est de même pour la couche liquide (sphère de rayon 3r) ?
J’ai du mal à écrire ma conservation de matière (Perte-Diffusé)

La couche saturée en gaz autour de la sphère, ne peut pas diminuer dans le temps. Elle aura, dans la réalité, tendance à s'élargir.
Mais au même temps que le rayon diminue, la bulle se déplace (monte). Si non, la diffusion, s'arrêterait car le liquide autour est saturé.
C'est en montant que la bulle atteint des zones "vierges" dans lesquelles le gaz peut encore diffuser.
A+

[Kley]

La couche saturée en gaz autour de la sphère, ne peut pas diminuer dans le temps.

Comme l’épaisseur liquide a été décrite par la même variable (r), je me suis dis que le volume de la sphère liquide est dépendant de celui de la bulle(qui lui diminue) ?

Elle aura, dans la réalité, tendance à s'élargir.

Je dois comprendre que dans notre l'épaisseur de la couche liquide sera inchangé,

« En réalité elle aura tendance à s’élargir » ça serait du à l’apport en matière (dissolution)..

Mais au même temps que le rayon diminue, la bulle se déplace (monte). Si non, la diffusion, s'arrêterait car le liquide autour est saturé.
C'est en montant que la bulle atteint des zones "vierges" dans lesquelles le gaz peut encore diffuser.

Bon c’est clair j’ai des problèmes de visualisations du phénomènes, je me lance avec ce dessin au risque de dire des bêtises,

Si vous avez une bulle de rayon 'r' et autour d'elle une zone d'épaisseur 3r

Pourquoi posé notre bulle initialement au centre ?

A+

[Kley]

En faites quand on me dit l’épaisseur est de 3r, r : représente le rayon initial de la bulle (r₀) ?

On observe que le temps de dissolution complète de la bulle « t » est proportionnel à r²
Justifier ceci théoriquement en supposant le régime stationnaire et en négligeant la convection.

Même chose ici on me demande de trouver une relation t=f(r²) t.q : r représente le rayon initial r₀.

Je pensais que le r représentais le rayon de la bulle « au fil de la dissolution » (variable)