Aide pour la periode de l'energie potentielle elastique

[lolov_69]

Bonjour tout le monde!
J'aurai besoin d'une petite aide pr comprendre ce qu'essaye de m'expliquer mes annales!
°Voila la question est : Comparer les periodes de variations des energies potentielles et cinétiques à la periode propre de l'oscillateur.
°Leur réponse est :
l'energie potentielle elastique s'exprime par : Ep=1/2 k.Xm².cos²(wt)
avec Xm= amplitude maximale (ou allongement max)
Or : cos²(wt)= (1+cos(2wt))/2 (=======> là je bloque, je sais pas si c'est mathématique mais je vois pas comment on trouve ça???)

D'où Ep=(1/4)kXm² + (1/4) kXm²*cos(2wt)
La periode de variation de l'energie potentielle elastique est de To/2. Il en sera de même pour la variation de l'energie cinétique.


Voila je vous remercierai vraiment de m'aider parceque là je stresse beaucoup pour le bac!!


Loélia
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[invite134d33f4]

c'est assez simple c'est de la trigonométrie en fait :

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

Or cos²(x) + sin²(x) = 1 d'où sin²(x)= 1 - cos²(x)

donc

cos(2x) = 2cos²(x) - 1

et finalement cos²(x) =1/2( cos(2x) +1)

[lolov_69]

Ah d'accord je me rappelais pas de cette formule merci !

[invite6dffde4c]

Bonsoir.
Vos conclusions sont correctes. La période des énergies est moitié du fait de cos².
L'indentité trigonométrique est une des celles de base (et qui méritent d'être retenues par cœur).
Vous pouvez la démontrer à partir d'une autre identité trigonométrique (qui mérite, elle aussi, d'être retenue par cœur).
Remplacez cos(2wt) avec
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b).
Cette fois a et b valent wt.
Et souvenez vous de cos² + sin² = 1
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite134d33f4]

Et pour l'energie cinétique tu as E=Ec+Ep= constante donc la variation de E est nulle et par conséquent la variation de l'énargie cinétique est égale à moins la variation d'énargie potentielle ( deltaE=0=deltaEc+deltaEp=0 => deltaEc = -deltaEp). et donc la période de variation de l'Ec est égale à celle de l'Ep

[lolov_69]

Merci pour vos conseils et effectivement les formules de duplications sont à connaitre