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Centre d'inertie - théorême de GULDIN



  1. #1
    jeanmi66

    Centre d'inertie - théorême de GULDIN


    ------

    Bonjour,

    j'ai joint a ce message le schéma de l'énnoncé de mon exo où l'on me demande de trouver le centre d'inertie du grand disque d'épaisseur infiniment mince. Celui-ci contient u autre petit disque.

    J'avais trouvé le résultat que j'ai noté au crayon :

    J'ai utilisé le théorême de Guldin. Pourriez-vous me confirmer ou m'infirmer svp, merci.

    -----
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    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

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  3. #2
    zoup1

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Personnellement, je ne sais pas ce qu'est le théorème de Gudin...
    Je ne comprends pas bien ce qu'on te demande de calculer ?
    Le "centre d'inertie du grand disque" c'est le centre d'inertie de la surface du grand disque auquel on a enlevé le petit disque ?
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  4. #3
    Spidercochon

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Tu ne peut pas utiser Guldin car les axes de symetrie traverse le disque. Tu peut essayer avec la subdivison, c'est pas une figure compliqué.

    En plus ton XG doit etre négatif suivant le repère.
    Dernière modification par Spidercochon ; 15/06/2008 à 13h30.

  5. #4
    mamono666

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Citation Envoyé par zoup1 Voir le message
    Personnellement, je ne sais pas ce qu'est le théorème de Gudin...
    il y a deux théorèmes:

    1 - l'aire de la surface de révolution engendrée par une courbe plane tournant autour d'une droite située dans son plan et ne la traversant pas, est égale au produit de la largeur de cette courbe par celle du cercle engendré par son centre de masse.

    2 - le volume de la surface de évolution engendrée par une surface plane (homogène) en tournant autour d'une droite située dans son plan et ne la traversant pas, est égale au produit de l'aire de cette surface par la longueur de la trajectoire de son centre de masse.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    mamono666

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Citation Envoyé par jeanmi66 Voir le message
    Bonjour,

    j'ai joint a ce message le schéma de l'énnoncé de mon exo où l'on me demande de trouver le centre d'inertie du grand disque d'épaisseur infiniment mince. Celui-ci contient u autre petit disque.
    Le petit disque, connait on sa masse volumique?

    parce effectivement avec Guldin on ne peut pas le faire. A la limite, on pourrait, sur un demi disque.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  8. #6
    jeanmi66

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    2 - le volume de la surface de évolution engendrée par une surface plane (homogène) en tournant autour d'une droite située dans son plan et ne la traversant pas, est égale au produit de l'aire de cette surface par la longueur de la trajectoire de son centre de masse.
    C'est bien celui-là. L'aire du petit disque est otée, le centre d'inertie est sur l'axe X et il est forcément positif ducoup !

    Moi, j'ai pris de demi-disque contenu dans la partie x>0. Le volume engendré tourne autour de l'axe Y et créé une sphère. Ce que je me demande, c'est s'il faut considérer pour le petit disque une petite sphère engendrée ou un tore quand le demi-grand disque engendre la grande sphère.

    Je décompose mon calcul avec Guldin:

    Soit le volume de la petite sphère :

    Puis le volume de la grosse sphère :
    Et donc si on ôte la petite sphère de la grosse :

    Le trajectoire du centre de masse va engendrer un cercle complet de périmètre . Et la surface engendré par la rotation du grand demi-disque sera . Et on applique le théorême de GULDIN pré-cité:

    On sort et on trouve le résultat donné dans le premier message. Quelqu'un pourrait-il contrôler svp ?

    Merci
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

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  10. #7
    mamono666

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    ok, donc le petit disque c'est un trou, en fait.

    Sur le demi-disque on a une aire de

    et pour le volume, je dirais plutôt que le volume créé par le trou va former un tore, donc:



    après avec Guldin, on obtient bien xG du demi-disque supérieur. On fait la même chose avec l'autre demi-disque qui est plein. Et on moyenne les deux pour avoir le xG du système totale.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  11. #8
    jeanmi66

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    ok, donc le petit disque c'est un trou, en fait.

    Sur le demi-disque on a une aire de

    et pour le volume, je dirais plutôt que le volume créé par le trou va former un tore, donc:



    après avec Guldin, on obtient bien xG du demi-disque supérieur. On fait la même chose avec l'autre demi-disque qui est plein. Et on moyenne les deux pour avoir le xG du système totale.
    Heuu, ouais, et vous auriez un résultat de à proposer svp ? Suis en train de m'embrouiller un peu là...
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  12. #9
    Spidercochon

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Je comprends pas vos calcul. Pour trouver le XG, il faut tourner la figure sur laxe Y et non X comme vous avez fait, et donc le volume engendré n'est pas une sphere. Le volume engendré s'obtient donc autrement.
    Pour calculer ce genre de figure, il faut utiliser la subdvision.

    donc il faut calculer le centre de gravité des 2 spheres, soit X1 pr la petite et X2 pour la grande, et S1 la surface de la sphere 1 et S2 la surfce de la sphere 2 alors pour trouver le centre de gravite, on fait ((X2.S2)-(X1.S1))/(S2-S1).

  13. #10
    Spidercochon

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Je viens de calculer le XG qui est égal à (R/20)

  14. #11
    jeanmi66

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Bein disons que le cours était sur Guldin, donc indirectement, on nous demande de l'utiliser vue que c'est un exo de cours ! Il doit donc y avoir une solution pour l'utiliser.

    D'ailleurs, cette méthode de subdivision, je connais pas, je vais chercher un cours sur le web.
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  15. #12
    Spidercochon

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Ah ok, alors si tu veut utiliser Guldin, il faut changer de repere, de préference au gauche de la figure.
    Pour calculer le volume (V= 2pi XG S), ET donc il faut trouver la surface via le premier th de Guldin, et le XG c'est simplement celui la figure considéré.

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  17. #13
    mamono666

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    je trouve au final

    sauf erreur de calcul
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  18. #14
    mamono666

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Citation Envoyé par Spidercochon Voir le message
    Ah ok, alors si tu veut utiliser Guldin, il faut changer de repere, de préference au gauche de la figure.
    Pour calculer le volume (V= 2pi XG S), ET donc il faut trouver la surface via le premier th de Guldin, et le XG c'est simplement celui la figure considéré.
    S correspond à l'aire de notre surface. Donc comme je le disais au dessus, s'il s'agit bien d'un trou pour le second disque.

    On a comme surface pour le demi disque contenant ce trou

    Et pour l'autre partie, c'est à dire un demi disque:
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  19. #15
    Spidercochon

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    non moi j'ai pas ca. Le grand demi cercle c'est le numero 1 et le demi-petit c'est 2.
    Donc on a
    V1=(2/3) pi R³
    S1=(1/4) pi R²

    V2= 2 pi (-3R/4).S2
    S2= (pi R²)/32

    et donc on a : (V1-V2)=(S1-S2) 2 pi XG

  20. #16
    Spidercochon

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    excusez moi mais je suis trompe, c'est le soir^^
    donc on a
    V1 = (pi².R³)/2
    S1 = (pi R²)/2

    V2 = (pi².R³)/64
    S1 = (pi.R²)/32

    Evidemment j'ai change le repere que j'ai mis a gauche de la figure pour pouvoir effectué guldin. Donc la réponse ici trouvé est differente de celle que j'ai donné au dessus.

  21. #17
    mamono666

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Je comprend pas vraiment.

    Le premier demi disque, qui ce situe du coté des x négatif. Il contient le trou.

    la surface d'un disque de manière générale c'est

    Donc dans le cas du demi disque situé sur les x négatifs:

    On a comme surface pour le demi disque, il a un rayon R donc:

    le trou lui a un rayon de R/4 donc sa surface est:

    Je fais la différence pour avoir la surface du demi disque troué:

    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  22. #18
    jeanmi66

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Heuuuu,

    j'émets une hypothèse dans tout celà pour utiliser Guldin:

    et si on prenait d'abord le premier demi-grand disque dans les X négatifs. On imagine le volume de révolution qu'il engendre avec le petit disque qui ducoup va engendrer un tore vide à l'intérieur de la grosse sphère. Ok ? On applique alors le second énoncé de Guldin avec le volume pour trouver le centre d'inertie de ce premier demi-grand disque.

    Ensuite, on procède à la même opération pour le grand demi-disque de droite, dans les X positifs. Idem avec Guldin, on cherche le centre d'inertie sauf que la grande sphère engendrée sera pleine.

    On a donc après tout ça, deux centres d'inerties, chacun se trouvant sur l'axe des X, le premier, négatif, le second, positif. Il suffirait alors de "moyenner" les deux valeurs !?
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

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  24. #19
    sitalgo

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    B'jour,

    Fais comme dit spidercochon, tu prends un axe y' qui passe à gauche, à l'intersection des 2 cercles.
    On aura un grand tore de section piR² avec R pour la position du centre d'inertie et un petit tore de section pi(R/4)² et R/4.
    Ensuite tu as la section du schéma pi(R²- (R/4)²)
    Et il y a tout ce qu'il faut pour la suite.
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  25. #20
    jeanmi66

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    En fesant un changement de repère avec le X=x+R (avec X étant le nouveau grand axe des abscisses), je retrouve bien R/20.

    Néanmoins, on doit pouvoir retrouver le même résultat en laissant l'axe y où il est et en fesant la rotation de la grande sphère et de la petite sphère autour de y !
    Ou même en fesant comme dans l'hypothèse que j'ai émise dans mon message précédent, mais ça n'est pas le cas, je trouve en procédant ainsi 22R/45PI. On en est loin !

    Personne n'est vraiment certain de sa solution finalement !?
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  26. #21
    mamono666

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Citation Envoyé par jeanmi66 Voir le message
    On a donc après tout ça, deux centres d'inerties, chacun se trouvant sur l'axe des X, le premier, négatif, le second, positif. Il suffirait alors de "moyenner" les deux valeurs !?
    oui, j'ai pas moyenné, j'ai fait le barycentre des deux.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  27. #22
    Spidercochon

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    si avec Guldin j'ai bien obtenu XG = (63/60) R mais j'ai mis le repere a gauche et donc pr trouver par rapport au repere initial, on fait (63/60)R - R et on a bien (R/20)

  28. #23
    mamono666

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Citation Envoyé par jeanmi66 Voir le message
    En fesant un changement de repère avec le X=x+R (avec X étant le nouveau grand axe des abscisses), je retrouve bien R/20.
    j'ai surement fait une erreur de calcul. Mais peux tu me dire qu'elles sont les volumes et surfaces que tu trouves avec cette nouvelle configuration?
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  29. #24
    Spidercochon

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Normalement, tu devrais avoir ca :
    V1 = 2 pi² R³
    V2 =( pi² R³)/32

    S1 = pi R²
    S2 = (pi R²)/16

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  31. #25
    jeanmi66

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    En fait, en fesant le changement de repère (l'axe des y vient à gauche, contre l'intersection du grand disque et petit disque), j'obtient pour la différence de volume des 2 sphères : et pour les différences de surfaces des deux disques :

    Voilà, et je trouve bien R/20 mais sans faire de changement de repère, je vois pas ! Au fait MAMONO666, tu dis que tu as calculé le barycentre mais par quoi pondères tu les deux coordonnées obtenues ? J'ai essayé, je trouve pas, quel calcul as-tu fait ?

    Moi, pour les deux coordonnées, j'ai : et

    Faut absoluement que je retrouve par Guldin sans changement d'axe, le résultat de R/20 ! A moins qu'on soit complètement dans les choux !

    Merci
    Dernière modification par jeanmi66 ; 16/06/2008 à 10h57. Motif: manque de détail
    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

  32. #26
    Spidercochon

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Pour trouver Guldin, tu es obligé de changer d'axe, regarde la definition, la figure ne doit pas traversé les axes.

  33. #27
    mamono666

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Citation Envoyé par Spidercochon Voir le message
    Normalement, tu devrais avoir ca :
    V1 = 2 pi² R³
    V2 =( pi² R³)/32

    S1 = pi R²
    S2 = (pi R²)/16
    ok, j'avais du faire une erreur. Cela semble correct
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  34. #28
    mamono666

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Citation Envoyé par Spidercochon Voir le message
    Pour trouver Guldin, tu es obligé de changer d'axe, regarde la definition, la figure ne doit pas traversé les axes.
    non, sauf si tu le fais en deux temps.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  35. #29
    Spidercochon

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Ca je sais pas si ca marche, j'ai jamais resolu Guldin en 2 temps.

    Juste une question, pourquoi tu ne veux pas changer de repère ? c'est écrit dans l'exercice ?

  36. #30
    jeanmi66

    Re : Centre d'inertie - théorême de GULDIN

    Bein c'est juste parceque j'aime bien explorer toutes les pistes. Il y en a deux actuellement : le changement d'axe qui fonctionne, ok, et le faire en deux fois (deux demi-disques) qui doit fonctionner aussi normalement puisque je l'ai fait sur des bases de cônes (des disques quoi).

    Mais les deux résultats ne se corroborent pas, je pige pas. C'est pas que je veux pas faire le changement de repère, c'est que sachant que ça doit marcher sans changer d'axe (indication du prof après ma demande), faut absoluement que je trouve, j'ai trop soif de résultat !

    Merci pour votre aide à tous, c'est très instructifs et constructif pour moi d'avoir vos différentes techniques appliquées, et les pourquoi du comment !

    Apprendre, c'est savoir... savoir, c'est maîtriser !

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