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principe d'équivalence et covariance générale



  1. #1
    Karibou Blanc

    principe d'équivalence et covariance générale


    ------

    Bonsoir à tous !

    J'ai une question qui me parait toute bete depuis quelques jours mais je n'arrive toujours à me convaincre d'une réponse.

    Je me demande : y a-t-il, ou non, équivalence stricte (c'est pas nécessairement en RG, alors je sais pas je dirais en théorie métrique de la gravitation) entre le principe d'équivalence, qui stipule qu'il existe localement un référentiel inertiel (ou qu'il existe un changement de référentiel dans lequel localement la gravitation est absente, ie has been "shifted away"), et la covariance générale de la théorie, qui impose que l'action de la théorie soit invariante sous les changements de coordonnées différentiable ?

    Le principe d'équivalence me parait impliquer nécessairement la covariance générale. En revanche est-ce suffisant ? En d'autres termes peut-on écrire une théorie généralement covariante qui viole le principe d'équivalence ?

    J'ai l'impression que oui, que pensez vous de l'exemple suivant : Supposons qu'il existe une extension de la RG dont le lagrangien est du type ou en tout cas qu'il ne contienne que des contraction invariante des tenseurs de courbures, Ricci, et courbure scalaire, bref un lagrangien généralement covariant. Je suis pratiquement sur qu'il existe des pour lesquels en champ faible, après linéarisation, on obtient un terme de masse pour le graviton (mettons un terme à la Pauli-Fierz pour etre tranquille). Maintenant si c'est le cas je peux conclure que ma théorie ne respecte pas le principe d'équivalence, puisqu'étant massif le champ qui médie l'interaction (ok c'est une vision linéaire) ne permet à toutes les sources de graviter de facon universelle et il n'y a pas de principe d'équivalence dans ce genre de théorie. Par exemple les sources contenant une énergie inférieur à la masse du graviton ne peuvent se payer le luxe d'en produire et ainsi interagir comme les autres. La masse du graviton agit comme un cut-off infra-rouge.

    Un avis sur la question ?

    KB

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    Well, life is tough and then you graduate !

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  3. #2
    Deedee81

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    Bonjour Karibou,

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    J'ai une question qui me parait toute bete depuis quelques jours mais je n'arrive toujours à me convaincre d'une réponse.

    Je me demande : y a-t-il, ou non, équivalence stricte (c'est pas nécessairement en RG, alors je sais pas je dirais en théorie métrique de la gravitation) entre le principe d'équivalence, qui stipule qu'il existe localement un référentiel inertiel (ou qu'il existe un changement de référentiel dans lequel localement la gravitation est absente, ie has been "shifted away"), et la covariance générale de la théorie, qui impose que l'action de la théorie soit invariante sous les changements de coordonnées différentiable ?

    Le principe d'équivalence me parait impliquer nécessairement la covariance générale. En revanche est-ce suffisant ? En d'autres termes peut-on écrire une théorie généralement covariante qui viole le principe d'équivalence ?

    J'ai l'impression que oui, que pensez vous de l'exemple suivant : Supposons qu'il existe une extension de la RG dont le lagrangien est du type ou en tout cas qu'il ne contienne que des contraction invariante des tenseurs de courbures, Ricci, et courbure scalaire, bref un lagrangien généralement covariant. Je suis pratiquement sur qu'il existe des pour lesquels en champ faible, après linéarisation, on obtient un terme de masse pour le graviton (mettons un terme à la Pauli-Fierz pour etre tranquille). Maintenant si c'est le cas je peux conclure que ma théorie ne respecte pas le principe d'équivalence, puisqu'étant massif le champ qui médie l'interaction (ok c'est une vision linéaire) ne permet à toutes les sources de graviter de facon universelle et il n'y a pas de principe d'équivalence dans ce genre de théorie. Par exemple les sources contenant une énergie inférieur à la masse du graviton ne peuvent se payer le luxe d'en produire et ainsi interagir comme les autres. La masse du graviton agit comme un cut-off infra-rouge.

    Un avis sur la question ?
    J'espère ne pas dire trop de bêtise mais je me lance.

    D'un point de vue cinématique, le principe d'équivalence ne fait qu'affirmer qu'en tout point il existe un espace tangent de Minkowski. Donc, à mon sens il suffit que la variété soit différentiable et de signature lorentzienne.

    Quand à l'invariance par reparamétrisation des coordonnées ce n'est qu'une question de formulation.

    Donc, de ce strict point de vue je dirais que ce n'est pas lié a priori.

    C'est différent si on inclu la dynamique dans le principe d'équivalence (ce qui est nécessaire). Il implique que les trajectoires des objets sont les géodésiques.

    Et, oui, il existe des exemples de théories covariantes générales, invariantes par difféomorphisme, où les trajectoires libres ne sont pas des géodésiques. Je n'ai pas d'exemple en tête mais ils en parlaient (dans la partie formulation et vérification post-newtonienne) dans le livre Gravitation de TMW.

    Et donc, oui, je pense qu'il y a des formulations covariantes générales qui violent le principe d'équivalence. D'ailleurs, amha, l'indépendance à l'arrière plan est pour moi un principe clef, inévitable, alors que la violation du principe d'équivalence peut m'ennuyer (je préfère l'avoir) mais ne me hérisse pas, surtout si la violation a lieu dans le domaine quantique

    Concernant l'exemple que tu donnes, oui, je pense que si tu introduits une coupure infrarouge, forcément, ça viole le principe d'équivalence. Même sans devoir faire intervenir la gravitation quantique. Mais ça reste à confirmer par un crac du domaine .
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  4. #3
    Karibou Blanc

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    D'un point de vue cinématique, le principe d'équivalence ne fait qu'affirmer qu'en tout point il existe un espace tangent de Minkowski
    Sauf que si c'est le cas (et je sais que c'est le cas) alors viole le principe d'équivalence semble impliquer une violation de la relativité restreinte. C'est la que j'ai encore l'impression qu'il y a quelquechose qui m'échappe. (désolé j'ai eu une formation théorie des champs de la gravitation )

    alors que la violation du principe d'équivalence peut m'ennuyer (je préfère l'avoir) mais ne me hérisse pas, surtout si la violation a lieu dans le domaine quantique
    Justement, en fait la vrai question que je me pose, c'est est-ce que le principe d'équivalence est vraiment quelque chose de fondamentale de la gravitation ou simplement de sa description effective (actuelle) qu'est la RG ? Dis autrement : j'ai l'impression que le principe d'équivalence de la RG (qui dit qu'on peut "shifter away" la gravitation et en faire un effet géométrique) n'est qu'une approximation qui semble marcher parce que la gravitation est vraiment tres faible. Quid ?

    Concernant l'exemple que tu donnes, oui, je pense que si tu introduits une coupure infrarouge, forcément, ça viole le principe d'équivalence. Même sans devoir faire intervenir la gravitation quantique. Mais ça reste à confirmer par un crac du domaine
    Non c'est purement classique, on peut traiter ca en terme d'ondes gravitationnelles de vitesse inférieure à c par exemple. Quand je parlais de graviton c'était un pur abus de langage, je m'en excuse
    Well, life is tough and then you graduate !

  5. #4
    Deedee81

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    Salut,

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    Sauf que si c'est le cas (et je sais que c'est le cas) alors viole le principe d'équivalence semble impliquer une violation de la relativité restreinte. C'est la que j'ai encore l'impression qu'il y a quelquechose qui m'échappe.
    C'est pour cela que j'ai rebranché juste après sur la dynamique. Là ça devient différent (et pas aussi simple).

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    Justement, en fait la vrai question que je me pose, c'est est-ce que le principe d'équivalence est vraiment quelque chose de fondamentale de la gravitation ou simplement de sa description effective (actuelle) qu'est la RG ?
    C'est fondamental.... pour la RG !

    Il existe des théories alternatives, covariantes, où ce n'est pas le cas ! (j'aurais dû profiter de mon retour chez moi pour vérifier dans ma littérature, j'ai oublié , désolé).

    Quand as te dire si c'est juste, là ! En LQG (je reviens sur le quantique ) il y a violation de ce principe à courte échelle because granularité de l'espace-temps. Je vois mal comment il pourrait en être autrement d'ailleurs ! Maintenant si on repasse à la limite low energy, disons RG + corrections, est-ce que le principe est respecté ? Je ne sais pas.

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    Dis autrement : j'ai l'impression que le principe d'équivalence de la RG (qui dit qu'on peut "shifter away" la gravitation et en faire un effet géométrique) n'est qu'une approximation qui semble marcher parce que la gravitation est vraiment tres faible. Quid ?
    C'est possible. Mais à mon avis la formulation "purement" géométrique peut rester vraie même avec une violation du principe d'équivalence sauf qu'à moins de rajouter des ingrédients (champ scalaire and Cie, comme dans les théories alternatives dont je parlais) ça ne peut plus être une géométrie "gentille". Par exemple, plus question d'avoir une variété différentiable.

    Exemple (pas bon car pas covariant général, mais c'est le seul que j'ai en tête), la formulation purement géométrique de la gravitation newtonienne (Cartan). La variété n'a même pas de métrique !

    Hum.... Plus haut, tu parlais de violation de la RR. C'est vrai. En tout cas, en LQG, il y a violation de l'invariance de Lorentz et des corrections à la relation énergie - moment (mais il y a plusieurs scénarios possibles et les calculs détaillés restent difficiles et incomplets). Je ne suis pas spécialiste et je sais que l'existence d'une longueur minimale ne suffit pas à l'expliquer (because quantique : avec un boost, c'est le spectre qui change, tout simplement). Mais j'ai bien l'intention de "m'éduquer"

    Qu'en est-il au niveau classique ? A vérifier mais je pense aussi qu'il y a violation de la RR dans certains cas. Ca doit être facile à vérifier car si un objet libre ne suit plus nécessairement une géodésique il doit y avoir rupture de l'invariance locale de Lorentz (du moins, si elle est respectée en un point elle ne peut pas l'être en tout point), ça me semble évident puisque en prolongeant les droites de l'espace tangent, de proche en proche, on retrouve les géodésiques.

    De ce point de vue, je pense que si on commence à plonger dans ce genre de chose (variétés non différentiables ou pire, espaces de distributions comme en LQG ) on ne doit plus suivre le principe d'équivalence "tel quel". On doit partir de principes plus basiques et plus abstraits et déduire le principe d'équivalence ou son approximation.

    De toute façon, je crois qu'on a fait le tour et la réponse à ta question initiale (du moins je le pense) "En revanche est-ce suffisant ? En d'autres termes peut-on écrire une théorie généralement covariante qui viole le principe d'équivalence ? " est "Non ce n'est pas suffisant et oui on peut"
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  6. #5
    GillesH38a

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    Selon moi... c'est totalement différent !

    le principe de covariance n'a rien de physique, c'est juste une cohérence mathématique de la théorie. Il n'a rien de spécifique ni à la RG, ni à la gravitation, il s'impose à toute théorie physique qui se veut cohérente : en mécanique newtonienne, il impose par exemple la présence des forces d'inertie !

    Le principe d'équivalence est lui un principe fort posé sur la gravitation : il n'a rien de nécessaire, et n'est donc pas équivalent au précédent. En revanche, n'étant pas nécessaire, il a justement une vraie "signification physique", qui pourrait etre violée par des expériences. Le principe de covariance ne peut pas etre violé expérimentalement, si il est violé c'est juste que la théorie est mal écrite !

    Autre manière de dire les choses : le principe d'équivalence est un principe concernant le monde physique qui peut etre testé par des expériences. Le principe de covariance est une contrainte s'appliquant sur l'expression des lois, ce n'est pas une supposition de quoi que ce soit sur le monde physique.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mariposa

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    Citation Envoyé par gillesh38 Voir le message
    Selon moi... c'est totalement différent !

    le principe de covariance n'a rien de physique, c'est juste une cohérence mathématique de la théorie. Il n'a rien de spécifique ni à la RG, ni à la gravitation, il s'impose à toute théorie physique qui se veut cohérente : en mécanique newtonienne, il impose par exemple la présence des forces d'inertie !

    Le principe d'équivalence est lui un principe fort posé sur la gravitation : il n'a rien de nécessaire, et n'est donc pas équivalent au précédent. En revanche, n'étant pas nécessaire, il a justement une vraie "signification physique", qui pourrait etre violée par des expériences. Le principe de covariance ne peut pas etre violé expérimentalement, si il est violé c'est juste que la théorie est mal écrite !

    Autre manière de dire les choses : le principe d'équivalence est un principe concernant le monde physique qui peut etre testé par des expériences. Le principe de covariance est une contrainte s'appliquant sur l'expression des lois, ce n'est pas une supposition de quoi que ce soit sur le monde physique.
    Bonjour,

    Absolument. Je co-signe.

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  10. #7
    mtheory

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  11. #8
    Deedee81

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    Salut,

    Oui, j'avais oublié ces tests. Merci du rappel. Comme signalé plus haut, ce n'est pas qu'une remise en cause par la TDC d'ailleurs. Si on ne trouve pas la moindre violation on va être sacrément em....

    ----

    Pour le reste il me semble que nous sommes tous d'accord. Merci à gillesh, il a admirablement résumé la situation. Beaucoup mieux que moi
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)

  12. #9
    mtheory

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message

    Pour le reste il me semble que nous sommes tous d'accord. Merci à gillesh, il a admirablement résumé la situation.:
    Absolument
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  13. #10
    Karibou Blanc

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    e principe de covariance n'a rien de physique, c'est juste une cohérence mathématique de la théorie. Il n'a rien de spécifique ni à la RG, ni à la gravitation, il s'impose à toute théorie physique qui se veut cohérente
    J'ai du mal à voir de quelle cohérence tu parles. Qu'est ce qui apparaitrait comme un problème si la covariance générale était perdue ? A ma connaissance, la mécanique non relativiste n'est pas généralement covariante et je n'y vois aucune incohérence, cette théorie est parfaitement bien définie. Ou alors on ne concoit peut etre pas la cohérence de la meme facon.

    Le principe d'équivalence est lui un principe fort posé sur la gravitation : il n'a rien de nécessaire, et n'est donc pas équivalent au précédent.
    C'est ce que je pense aussi, mais pour l'instant ca me semble seulement intuitif, je ne m'en suis pas encore complètement convaincu. D'où ma question initiale, que je pourrais reformuler comme ca : peut on traduire le principe d'équivalence comme l'invariance sous un groupe de symétrie qui serait contenu dans les changements de coordonnées arbitraires sous-tendant la covariance générale ?

    Le principe de covariance ne peut pas etre violé expérimentalement, si il est violé c'est juste que la théorie est mal écrite !
    Ca ne parait si évident, et je ne suis pas d'accord avec ca. Qu'est ce qui empêcherait une théorie de ne pas être formulé de manière généralement covariante ? A priori rien, c'est pour moi également un principe physique (donc falsifiable) que de dire qu'il n'existe aucun référentiel privilégié (inertiel ou non). Penser le contraire, et par la même faire la distinction que tu fais me parait réducteur. non ?

    Le principe de covariance est une contrainte s'appliquant sur l'expression des lois, ce n'est pas une supposition de quoi que ce soit sur le monde physique.
    Justement encore une fois il me semble qu'il y a tout de meme un contenu physique dans la facon dont on exprime les lois, notamment si l'on impose qu'elles soient covariantes. Ex : la symétrie de jauge réduit considérablement les formes de couplage électromagnétique, mais on pourrait tres bien s'en passer si ca venait à ne plus marcher aussi bien pour décrire ce qu'on observe.
    Well, life is tough and then you graduate !

  14. #11
    humanino

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    Ca ne parait si évident, et je ne suis pas d'accord avec ca. Qu'est ce qui empêcherait une théorie de ne pas être formulé de manière généralement covariante ? A priori rien, c'est pour moi également un principe physique (donc falsifiable) que de dire qu'il n'existe aucun référentiel privilégié (inertiel ou non). Penser le contraire, et par la même faire la distinction que tu fais me parait réducteur. non ?
    Si le principe de convariance n'etait pas falsifiable, il ne serait pas scientifique. Peut-etre est-il bon de dire une chose triviale a ce point de la discussion : jettez tout ce que vous connaissez du monde exterieur et commencons une nouvelle physique. Ben je sais pas pour vous, mais une des choses les plus immediates c'est que le monde est plat et la verticale est privilegiee...
    "Puisque toute ces choses nous depassent, feignons de les avoir organisees"

  15. #12
    GillesH38a

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    J'ai du mal à voir de quelle cohérence tu parles. Qu'est ce qui apparaitrait comme un problème si la covariance générale était perdue ? A ma connaissance, la mécanique non relativiste n'est pas généralement covariante et je n'y vois aucune incohérence, cette théorie est parfaitement bien définie. Ou alors on ne concoit peut etre pas la cohérence de la meme facon.
    bien sur que si, elle PEUT etre écrite de façon généralement covariante, d'ailleurs l'emploi de coordonnées non cartésiennes font apparaitre des termes dans l'accélération qui ne sont rien d'autre que des Christoffel un peu déguisés . En fait la formulation de Lagrange de la méca classique EST généralement covariante (comme le principe de moindre action, qui ne dépend pas du système de coordonnées).

    Simplement il n'était pas de tradition de l'écrire dans un système de coordonnées absolument quelconque (ni de changer la coordonnée temporelle). Les seuls référentiels non inertiels qu'on considère d'habitude en méca classique sont des référentiels en rotation mais "rigides", avec t'=t, ce qui est une classe particulière de changement de coordonnées, et dans ce cas l'imposition de la covariance oblige juste à introduire les forces d'inertie.

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  17. #13
    Rincevent

    Re : principe d'équivalence et covariance générale

    salut,

    quelques commentaires rapides en passant

    Citation Envoyé par gillesh38 Voir le message
    le principe de covariance n'a rien de physique, c'est juste une cohérence mathématique de la théorie. Il n'a rien de spécifique ni à la RG, ni à la gravitation, il s'impose à toute théorie physique qui se veut cohérente : en mécanique newtonienne, il impose par exemple la présence des forces d'inertie !
    oui mais non. La grande différence entre la RG et la physique newtonienne réécrite de manière covariante, c'est qu'en RG la "covariance" (qui est une sorte de symétrie, on sera tous d'accord) est dynamique et pas simplement une symétrie "passive". Autrement dit, l'équivalence physique de métriques qui sont reliées par un difféomorphisme est un truc bien plus profond que la simple écriture de manière covariante. C'est ce qui est à la base de l'absence de background pour la RG et ça rejoint ce que je crois comprendre des "doutes" exprimés par Karibou et humanino.

    après pour revenir sur des violations du principe d'équivalence faible (car c'est de lui qu'il est question ici), on peut se contenter de citer la théorie d'Einstein-Cartan qui introduit une torsion en plus de la courbure [un terme asymétrique dans la connexion si on veut] (les courbes auto-parallèles et les courbes extrémales ne sont alors plus les mêmes), ou plus simplement le fait que dès qu'on couple des fermions le formalisme de la tétrade interprété "à la Palatini" (où la connexion est indépendante de la tétrade) prévoit des effets différents de ceux que donne le "formalisme du deuxième ordre" (où la connexion est supposée donnée par la tétrade).

    De plus, un nombre important de trucs prédits par la théorie des cordes (ou autres extensions de la RG ou du modèle standard) viole le principe d'équivalence, par exemple en introduisant des champs scalaires avec un couplage pas universel.

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    Maintenant si c'est le cas je peux conclure que ma théorie ne respecte pas le principe d'équivalence, puisqu'étant massif le champ qui médie l'interaction (ok c'est une vision linéaire) ne permet à toutes les sources de graviter de facon universelle et il n'y a pas de principe d'équivalence dans ce genre de théorie. Par exemple les sources contenant une énergie inférieur à la masse du graviton ne peuvent se payer le luxe d'en produire et ainsi interagir comme les autres. La masse du graviton agit comme un cut-off infra-rouge.
    relié à ça, tu seras peut-être intéressé par cet article (pas en accès libre, désolé), dans lequel Brout et Englert montrent que dans le cas linéarisé l'identité de Ward pour le graviton [celle qui relie sa masse nulle à la conservation du tenseur énergie impulsion et à l'invariance sous les changements de coordonnées] implique l'égalité des masses grave passive et inertielle d'une particule scalaire.

    Citation Envoyé par Karibou Blanc Voir le message
    Sauf que si c'est le cas (et je sais que c'est le cas) alors viole le principe d'équivalence semble impliquer une violation de la relativité restreinte.
    le problème c'est que l'expression "principe d'équivalence" est floue et englobe divers trucs différents. En pratique, on distingue trois principes d'équivalence :

    - le faible (l'universalité de la chute libre, qu'on peut aussi formuler en disant qu'il est impossible de discerner chute libre et absence d'accélération d'entrainement par une expérience de cinématique)

    - celui d'Einstein : qui inclut le faible et y ajoute l'invariance de Lorentz et celle sous les translations spatio-temporelles [ceci est le cadre des théories métriques de la gravitation], ce qu'on peut aussi décrire en disant qu'il est impossible de discerner chute libre et absence d'accélération d'entrainement par toute expérience de physique non-gravitationnelle

    - le fort qui est quasiment réservé à la RG et qui ajoute en plus la condition selon laquelle la gravitation elle-même n'est pas localement observable [grossièrement on reformule ça en disant que "même la gravitation gravite" ou encore que l'énergie gravitationnelle d'un corps auto-gravitant intervient dans sa masse inertielle).

    après, il existe une conjecture due à Schiff qui dit que le faible implique celui d'Einstein pour "toute théorie raisonnable de la gravitation" [il existe en effet des contre-exemples]. Reste que tu peux très bien violer le principe faible sans violer l'invariance de Lorentz puisque celle-ci n'est qu'un des ingrédients du principe d'équivalence d'Einstein. La différence entre violer ce principe et violer l'invariance de Lorentz est du même "style" que les hypothèses à la base du mécanisme de Higgs [la symétrie reste dans le lagrangien].

    Justement, en fait la vrai question que je me pose, c'est est-ce que le principe d'équivalence est vraiment quelque chose de fondamentale de la gravitation ou simplement de sa description effective (actuelle) qu'est la RG ? Dis autrement : j'ai l'impression que le principe d'équivalence de la RG (qui dit qu'on peut "shifter away" la gravitation et en faire un effet géométrique) n'est qu'une approximation qui semble marcher parce que la gravitation est vraiment tres faible. Quid ?
    c'est le discours tenu par la plupart des théories prévoyant des extensions à la gravité [cordes par exemple] en raison de nouveaux types d'interaction, même quand on les regarde "classiquement" et par toute théorie quantique de la gravitation (puisque si tu quantifies l'espace-temps tu renonces à la notion de variété différentiable et perd donc toute cette "géométrie"). Reste que comme le montre la théorie d'Einstein-Cartan, tu peux avoir une gravitation purement géométrique qui ne vérifie pas le principe d'équivalence faible [sauf si on rajoute des conditions du genre "dans le vide"].

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Exemple (pas bon car pas covariant général, mais c'est le seul que j'ai en tête), la formulation purement géométrique de la gravitation newtonienne (Cartan). La variété n'a même pas de métrique !
    si, mais la métrique est dégénérée.

    Qu'en est-il au niveau classique ? A vérifier mais je pense aussi qu'il y a violation de la RR dans certains cas. Ca doit être facile à vérifier car si un objet libre ne suit plus nécessairement une géodésique il doit y avoir rupture de l'invariance locale de Lorentz (du moins, si elle est respectée en un point elle ne peut pas l'être en tout point), ça me semble évident puisque en prolongeant les droites de l'espace tangent, de proche en proche, on retrouve les géodésiques.
    un truc sur lequel des gens bossent et qui pourrait être une approximation effective de la LQG est la "relativité doublement restreinte" dans laquelle on a une longueur invariante en plus de la "vitesse invariante".
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

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