Principe d'équivalence et équations de Maxwell

invite8ef93ceb · 24/05/2006, 11h01

Bonjour,

je sais en gros comment modifier les équations pour qu'elles respectent le principe d'équivalence.

En fait, je cherche des situations physiques, des exemples, qui montrent bien que le principe d'équivalence n'est pas respecté si on utilise directement les équations de Maxwell.

Entre autre, on sait qu'une charge accélérée devrait émettre de la lumière. Par le principe d'équivalence, on devrait conclure qu'un électron stationnaire dans le champ de la Terre émet aussi, ce qui ne semble pas être le cas (une violation explicite?).

Mais, il doit y avoir plus simple? Par exemple, seulement en utilisant les transfos de Lorentz, les équations de Maxwell et la force de Lorentz, on doit pouvoir conclure qu'il n'y a pas respect du principe d'équivalence dans certaines situations? Vous en connaissez? Vous avez des références?

Merci,

Simon

**invite8c514936** · 24/05/2006, 11h08

Entre autre, on sait qu'une charge accélérée devrait émettre de la lumière. Par le principe d'équivalence, on devrait conclure qu'un électron stationnaire dans le champ de la Terre émet aussi, ce qui ne semble pas être le cas (une violation explicite?).

Si j'ai bien compris (mais tout n'est pas clair pour moi), le fait d'observer ou non de la lumière n'est pas indépendant du référentiel. Vu d'un référentiel en chute libre, l'électron fixé à la surface de la Terre est accéléré et rayonne. Vu du sol, il est fixe et ne rayonne pas. Ceci dit je n'ai jamais fait le calcul qui montre ça et je suis intéressé par d'autres points de vue sur la question !

invitea29d1598 · 24/05/2006, 11h16

bonjour,

deux fils qui peuvent t'intéresser :

- sur la chute de charges et leur rayonnement

- sur Maxwell dans un référentiel non-inertiel

invite8ef93ceb · 24/05/2006, 11h42

Bonjour,

Envoyé par deep_turtle

Si j'ai bien compris (mais tout n'est pas clair pour moi), le fait d'observer ou non de la lumière n'est pas indépendant du référentiel. Vu d'un référentiel en chute libre, l'électron fixé à la surface de la Terre est accéléré et rayonne. Vu du sol, il est fixe et ne rayonne pas. Ceci dit je n'ai jamais fait le calcul qui montre ça et je suis intéressé par d'autres points de vue sur la question !

Regarde par exemple les Feynman Lectures on gravitation, p.123 : "The Principle of Equivalence postulates that an acceleration shall be indistinguishable from gravity by an experiment whatsoever. In particular, it cannot be distinguished by observing electromagnetic radiation. There is evidently some trouble here, since we have inherited a prejudice that an accelerating charge should radiate, whereas we do not expect a charge lying in a gravitational field to radiate. This is, however, not due to a mistake in our statement of equivalence but to the fact that the rule of power radiated by an accelerating charge, $\text{[math]}$ , has led us astray. This is usually derived from calculating the flow from Poynting's theorem far away, and it is only valid for cyclic motions, or at least motions which do no grow forever in time (as a constant acceleration does). It does not suffice to tell us "when" the energy is radiated. This can only be determined by finding the force of radiation resistance, which is $\text{[math]}$ . For it is work against this force which represents energy loss. For constant acceleration this force is zero. Generally the work done against it can be writen

$\text{[math]}$

giving a correct expression for dW/dt."

Je vous laisse regarder ça, j'ai pas encore tout digéré.

Simon

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite8ef93ceb · 24/05/2006, 15h39

Envoyé par Rincevent

bonjour,

deux fils qui peuvent t'intéresser :

- sur la chute de charges et leur rayonnement

- sur Maxwell dans un référentiel non-inertiel

Merci, très pertinent.

invite8ef93ceb · 24/05/2006, 17h14

Bonjour,

Supposons que, dans un référentiel K, j'ai un champ magnétique homogène et un champ électrique nul (voir le site de Marmet, appendice I).

Dans ce référentiel, $\text{[math]}$ .

Maintenant, pour montrer que le principe d'équivalence [1] n'est pas respecté par cette équation, dois-je montrer qu'il n'existe pas de référentiel inertiel où la force de Lorentz est nulle (a=0 -> F=0)?

------------------------------------
Tout ça est très lié à un problème que je suis en train de résoudre. L'énoncé est :

Supposer qu'il existe un univers avec un seul signe de charge électrique et un choix d'unités tel que $\text{[math]}$ . Une telle interaction électromagnétique satisfait le principe d'universalité (l'équivalence entre masse inertielle et électromagnétique) mais ne satisfait pas le principe d'équivalence.

a) Pour démontrer cela considérer un champ magnétique homogène. Montrer qu'il n'y a aucun référentiel inertiel qui élimine ce champ à un certain point pour toutes les particules de vitesse arbitraire (à ce point). Utiliser $\text{[math]}$ . [2]

Ma première idée a été d'essayer de (i) montrer qu'il n'existe pas de référentiel où, avec les conditions initiales données, la force de Lorentz est nulle et donc le système en mouvement non-accéléré. Mais, l'énoncé nous demande de (ii) montrer qu'il n'y a pas de référentiel qui élimine le champ B... Est-ce que (i) est équivalent à (ii)?

Si je me place dans le référentiel où la particule est au repos, je trouve $\text{[math]}$ .

Si je souhaite que la force soit nulle dans ce référentiel, il faut soit que $\text{[math]}$ soit nul, soit que v soit nulle, soit que B soit nul, soit que vXB soit nul.

1. v ne peut pas être nulle, car sinon on se retrouve dans le référentiel où B n'est pas nul.
2. Si je choisi un référentiel tel que la vitesse est parallèle au champ B, j'ai vXB=0, sans que B soit nul?

Je dois me tromper, mais j'ai l'impression qu'un référentiel parallèle au champ B avec vitesse arbitraire me donnera une accélération nulle, en accord avec le principe d'équivalence...
------------------------------------

Je prends tous les conseils

Cordialement,

Simon

[1] Principe d'équivalence: En tout point de l'espace-temps (dans un champ gravitationnel) il est possible de choisir un système de coordonnées localement inertiel de façon à ce que, à l'intérieur d'une région suffisamment petite du point en question, les lois de la nature prennent la même forme que dans un système de coordonnées Cartésien en absence de gravitation.

[2] Je ne suis pas certain de comprendre pourquoi on impose qu'il n'y ait qu'un signe de charge. Est-ce que cette condition est nécessaire pour violer le principe d'équivalence, ou bien est-ce seulement pour simplifier le problème? Pour être honnête, je ne vois pas trop ce que ça implique (peut-être le rapport est avec la question b).

invite8ef93ceb · 24/05/2006, 18h25

Un article récent (02/06) sur le sujet:
The radiation of a uniformly accelerated charge is beyond the horizon: A simple derivation

invite8ef93ceb · 24/05/2006, 20h08

Bonjour,

Envoyé par Lévesque

Supposer qu'il existe un univers avec un seul signe de charge électrique et un choix d'unités tel que $\text{[math]}$ . Une telle interaction électromagnétique satisfait le principe d'universalité (l'équivalence entre masse inertielle et électromagnétique) mais ne satisfait pas le principe d'équivalence.

a) Pour démontrer cela considérer un champ magnétique homogène. Montrer qu'il n'y a aucun référentiel inertiel qui élimine ce champ à un certain point pour toutes les particules de vitesse arbitraire (à ce point). Utiliser $\text{[math]}$ .

S'il existe un référentiel qui élimine le champ B, c'est qu'il existe une transformation de Lorentz telle que B'=0?

Simon

invite8ef93ceb · 24/05/2006, 20h54

Bonjour

Si dans un référentiel K j'ai seulement un champ B et pas de champ E, alors dans un référentiel K' j'ai (selon Mr. Jackson):

$\text{[math]}$ .

Je suppose (sans être certain, parce que personne ne m'a confirmé), que s'il y a un champ B dans K', alors K' n'est pas un référentiel inertiel. Pour respecter le principe d'équivalence, j'aimerais bien que B'=0... sauf que cela implique (par de l'algèbre très élémentaire) :

$\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ étant l'angle entre B et la vitesse.

Or, pour $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , un domaine pour lequel la fonction arccos n'est pas définie (dans les réels).

En définitive, il n'existe pas d'angle tel que B'=0, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de vitesse telle que B'=0, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de référentiel tel que B'=0, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de référentiel non-accéléré, ce qui viole le principe d'équivalence.

Quelqu'un de fiable m'approuve?

Ciao,

Simon

**chaverondier** · 24/05/2006, 23h23

Envoyé par Lévesque

voir le site de Marmet, appendice I.

Attention, prudence avec ce site. Il faudrait voir ce qu'en pensent les modérateurs pour la partie concernée. BC

invite8ef93ceb · 25/05/2006, 00h13

Envoyé par chaverondier

Attention, prudence avec ce site. Il faudrait voir ce qu'en pensent les modérateurs pour la partie concernée. BC

De toute façon, je référais seulement à l'appendice pour que les équations soient accessibles à tout le monde. Marmet copie intégralement ce qui est écrit dans le Jackson p.558. En fait, je n'ai rien utilisé de son site, seulement, il a été utilisé par certains modérateurs dans une autre discussion (voir les liens de Rincevent plus haut).

L'énoncé que je donne provient d'un devoir transmit par Mme Durrer en qui j'ai confiance. Les conclusions que je tire devraient être bonnes, seulement je ne suis pas certain du parcours entre le départ et l'arrivé...

Aucun commentaire sur le reste? Ça semble bon, faux, ennuyant...

Cordialement,

Simon

invite8ef93ceb · 25/05/2006, 12h10

Bonjour! (j'écris ça juste pour être poli envers moi-même quand je me relis)

Dans le message #9, j'ai essayé de montrer qu'il était impossible, par les transfos de Lorentz, de passer d'un référentiel K avec champ magnétique B et champ électrique E=0, vers un référentiel K' où B'=0 et E' quelconque.

Faisons maintenant l'inverse. Je souhaite montrer que si on part d'un état physique K' où B' est nul et E' ne l'est pas, on ne peut alors pas, par les transformations de Lorentz, se placer dans un référentiel K où le champ E est nul et B quelconque.

Dans K (B'=0):

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .

Allons-y par l'absurde, et supposons que E=0. Alors on arrive à

$\text{[math]}$ ,

Ce qui implique

$\text{[math]}$ .

Puisque $\text{[math]}$ est restreint entre 0 et 1, il n'existe pas de $\text{[math]}$ qui permette de trouver un $\text{[math]}$ réel ; il n'existe pas deux référentiels inertiels tel que, si B'=0 et E' quelconque dans K', alors E=0 et B est quelconque dans K.

En définitive, on peut tirer ces conclusions seulement en observant les transfos:

$\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ ,

leur inverse étant trouvé en interchangeant les primes et en remplaçant beta par -beta. Seulement en regardant ces équations, il est évident que si, dans un référentiel, on a un champ électrique ou magnétique pur, alors dans tous les autres référentiels on aura un mélange de champ B' et E', jamais un B' pur ou un E' pur.

invite8ef93ceb · 25/05/2006, 12h23

Bonjour!

Envoyé par Lévesque

Supposer qu'il existe un univers avec un seul signe de charge électrique et un choix d'unités tel que $\text{[math]}$ . Une telle interaction électromagnétique satisfait le principe d'universalité (l'équivalence entre masse inertielle et électromagnétique) mais ne satisfait pas le principe d'équivalence.

a) Pour démontrer cela considérer un champ magnétique homogène. Montrer qu'il n'y a aucun référentiel inertiel qui élimine ce champ à un certain point pour toutes les particules de vitesse arbitraire (à ce point). Utiliser $\text{[math]}$ .

J'aimerais discuter de cet énoncé. Je pense qu'il est bidon et j'aimerais votre avis.

1. Selon cette théorie (jouet), il n'y a qu'un signe de charge.
2. Comme le champ électrique total est la somme des champs électriques individuels de chaque charge, alors ils est impossible, si on a des charges d'un seul signe, d'avoir un champ électrique nul (tant qu'il y a présence de charges).
3. L'énoncé du problème commence avec "Pour démontrer cela considérer un champ magnétique homogène", ce qui, si je le comprends bien, suppose un champ magnétique pur.

En résumé:
1 signe de charge -> champ électrique non-nul si présence de particules -> champ magnétique pur impossible.

Ou l'inverse: champ magnétique pur + un seul signe de charge = pas de particules.

Mon prof me demande de partir d'une situation B pur pour montrer que son modèle jouet ne respecte pas le principe d'équivalence, alors qu'un B pur n'est pas admis par son modèle.

Vous en dites quoi?

Cordialement,

Simon

invitea29d1598 · 25/05/2006, 12h35

salut

Envoyé par Lévesque

Maintenant, pour montrer que le principe d'équivalence [1] n'est pas respecté par cette équation, dois-je montrer qu'il n'existe pas de référentiel inertiel où la force de Lorentz est nulle (a=0 -> F=0)?

c'est comme ça que je l'interprête étant donné ton énoncé...

Ma première idée a été d'essayer de (i) montrer qu'il n'existe pas de référentiel où, avec les conditions initiales données, la force de Lorentz est nulle et donc le système en mouvement non-accéléré. Mais, l'énoncé nous demande de (ii) montrer qu'il n'y a pas de référentiel qui élimine le champ B... Est-ce que (i) est équivalent à (ii)?

apparemment, tu as réalisé depuis que (pas de force) est équivalent à la fois à (B=0 ET E=0), pas uniquement le premier.

Vous en dites quoi?

que tu es un peu dur...

le problème-jouet proposé ne prétend pas te donner une théorie complète (qui t'a dit que les équations de Maxwell étaient toujours valables pour décrire la création du champ dans ce modèle ?), mais juste d'étudier le comportement de particules tests (qui ne créent donc aucun champ, ou en tous cas de façon négligeable) et de montrer que le principe d'équivalence ne repose pas uniquement sur l'existence d'un seul signe de charge pour ce qui est de la façon dont la force est ressentie...

invite8915d466 · 25/05/2006, 12h36

Salut Simon, je viens de découvrir ton fil (je ne passe plus aussi souvent sur FS

)

J'ai pas détaillé tes premiers posts mais ta dernière contribution me semble pertinente : s'il n'y a qu'un signe des charges, d'après le théoréme de Gauss, le champ électrique ne peut pas être nul en tout point...

Salutations

Gilles

invite8ef93ceb · 25/05/2006, 12h48

Envoyé par Rincevent

le problème-jouet proposé ne prétend pas te donner une théorie complète [...], mais juste d'étudier le comportement de particules tests [...] et de montrer que le principe d'équivalence ne repose pas uniquement sur l'existence d'un seul signe de charge pour ce qui est de la façon dont la force est ressentie...

Merci pour la précision. Si tu pouvais m'aider à clarifier une chose pour l'instant.

J'ai l'impression que, pour respecter le Principe d'Equivalence (PE), il faut trouver un référentiel où F'=0 (ce que tu sembles me confirmer). Or, on me demande de montrer que je ne peux pas trouver un référentiel où B'=0, mais cela n'implique pas forcément F'=0???

Crois-tu que je peux supposer que E est nul dans tous les référentiels? Ça ne serait surement pas invariant de Lorentz....

Ce point m'embrouille.

Merci en tout cas pour vos réponse à toi et à Gilles.

Cordialement,

Simon

invite8915d466 · 25/05/2006, 12h50

PS Pour Rincevent, si le champ n'obeit plus aux mêmes équations il faudrait le spécifier ! que vaut $\text{[math]}$ *?

D'autre part je ne suis pas sur qu'un champ magnétique pur soit possible dans un espace courbe. En RR par exemple un champ magnétique du type B(r,t)=B0 f(t) (homogène mais dépendant du temps) est impossible.

invitea29d1598 · 25/05/2006, 13h09

Envoyé par gillesh38

PS Pour Rincevent, si le champ n'obeit plus aux mêmes équations il faudrait le spécifier !

bah non : je pense pas que l'exo prétende une seule seconde s'intéresser à une nouvelle théorie de l'électromagnétisme. Je vois plus ça comme un exo aidant à réfléchir sur le principe d'équivalence de manière générale et avant mêmer de chercher à décrire la source du champ... on s'intéresse uniquement au mouvement de particules tests et à leur éventuelle description comme des particules libres...

Einstein avait formulé/réfléchi sur le principe d'équivalence avant d'avoir les équations décrivant la création du champ gravitationnel... M'enfin, c'est pas moi qui vais dire le sens initial de l'exo... c'est juste la façon dont je le perçois...

Envoyé par Levesque

Or, on me demande de montrer que je ne peux pas trouver un référentiel où B'=0, mais cela n'implique pas forcément F'=0???

bah non, puisque tu as E. Mais justement, perso j'avais interprété l'expression "ce champ" comme "ce champ électromagnétique" et pas comme "le champ magnétique"... car de toutes façons en relativité, le sens truc qui a un sens, c'est F. La décomposition (E,B) dépendra toujours de l'observateur...

Crois-tu que je peux supposer que E est nul dans tous les référentiels?

surtout pas... c'est ce que j'ai écrit juste au-dessus : F est le champ physique. E et B sont juste ses manifestations observateur-dépendantes.

invite8ef93ceb · 25/05/2006, 13h45

Envoyé par Rincevent

perso j'avais interprété l'expression "ce champ" comme "ce champ électromagnétique" et pas comme "le champ magnétique".

Mmm. Et évidemment, je n'avais pas interprété ça comme ça. C'est surement une histoire de syntaxe à laquelle les québécois ne sont pas habitués...

Comme ça, l'énoncé fait beaucoup plus de sens. Depuis le début (si vous suivez un peu) j'essaie d'annuler B' or, il faut annuler F (en supposant que Rincevent ait raison, ce qui me semble très logique maintenant).

Merci,

je me remets à l'ouvrage!

Cordialement,

Simon

invite8ef93ceb · 25/05/2006, 13h53

Juste avant de me remettre à l'ouvrage:

Envoyé par Rincevent

le problème-jouet proposé ne prétend pas te donner une théorie complète [...], mais juste d'étudier le comportement de particules tests [...] et de montrer que le principe d'équivalence ne repose pas uniquement sur l'existence d'un seul signe de charge pour ce qui est de la façon dont la force est ressentie...

À première vue, je ne vois pas trop comment les équations de Maxwell rendent compte du fait qu'il n'y ait qu'une seule charge, ou sinon, je ne vois pas plus comment la force de Lorentz peut rendre compte du fait qu'il n'y a qu'une seule charge.

En conséquence, je ne vois pas comment "montrer que le principe d'équivalence ne repose pas uniquement [uniquement?] sur l'existence d'un seul signe de charge."

Il doit me manquer quelques infos, ou j'en ai oublié certaines...

invitea29d1598 · 25/05/2006, 15h05

Envoyé par Lévesque

je ne vois pas trop comment les équations de Maxwell rendent compte du fait qu'il n'y ait qu'une seule charge, ou sinon, je ne vois pas plus comment la force de Lorentz peut rendre compte du fait qu'il n'y a qu'une seule charge.

j'ai jamais voulu dire ça et j'ai dû très mal m'exprimer

voici ce que je tentais de dire : ton énoncé fait cette hypothèse de base, laquelle est nécessaire pour avoir un "principe d'équivalence généralisé" (nécessaire mais pas suffisante). Car si y'a des charges de signes différents, le rapport e/m dépend de la particule et donc ça rend impossible le caractère "universel" du mouvement. En clair, en montrant que même avec cette hypothèse le principe est pas vérifié, tu prouves que ce n'est pas une condition suffisante et que cela ne repose donc pas uniquement sur ça.

En conséquence, je ne vois pas comment "montrer que le principe d'équivalence ne repose pas uniquement [uniquement?] sur l'existence d'un seul signe de charge."

ce que je voulais dire par ça, c'est que le principe d'équivalence (pour la gravitation) repose sur l'égalité entre masses inerte et gravitationnelle mais pas uniquement sur ça...

C'est surement une histoire de syntaxe à laquelle les québécois ne sont pas habitués...

ou alors c'est moi qui ai mal interprété

ou têt c'est typiquement suisse et j'ai eu du bol

invite8ef93ceb · 25/05/2006, 15h12

Envoyé par Rincevent

voici ce que je tentais de dire : ton énoncé fait cette hypothèse de base, laquelle est nécessaire pour avoir un "principe d'équivalence généralisé" (nécessaire mais pas suffisante). Car si y'a des charges de signes différents, le rapport e/m dépend de la particule et donc ça rend impossible le caractère "universel" du mouvement. En clair, en montrant que même avec cette hypothèse le principe est pas vérifié, tu prouves que ce n'est pas une condition suffisante et que cela ne repose donc pas uniquement sur ça.

Je n'avais pas vu ça, là je comprends!!! Elle est pas si stupide finalement, la question

invite8ef93ceb · 25/05/2006, 15h53

J'ai lu rapidement cet article que j'ai trouvé intéressant. Il dérive la forme valide en RG de la force de Lorentz à partir des équations de champ.

Il suppose à un moment que le rapport e/m est égal à une constante...

Salutations,

Simon

invite8ef93ceb · 25/05/2006, 16h06

Un autre article (très accessible) qui interessera ceux qui cherchent une solution aux équations du mouvement données par la force de Lorentz:

Andrew T. Hyman, Relativistic charged-particle motion in a constant field according to the Lorentz force law, Am. J. Phys. 65 (3), March 1997

invite8ef93ceb · 25/05/2006, 20h08

Bonjour,
je présente dans ce post la solution au problème discuté, et j'aurais peut-être besoin de précision sur un point que je ne comprends pas parfaitement:

Envoyé par Lévesque

Supposer qu'il existe un univers avec un seul signe de charge électrique et un choix d'unités tel que $\text{[math]}$ . Une telle interaction électromagnétique satisfait le principe d'universalité (l'équivalence entre masse inertielle et électromagnétique) mais ne satisfait pas le principe d'équivalence.

a) Pour démontrer cela considérer un champ magnétique homogène. Montrer qu'il n'y a aucun référentiel inertiel qui élimine ce champ à un certain point pour toutes les particules de vitesse arbitraire (à ce point). Utiliser $\text{[math]}$ .

Ma solution:
Dans un référentiel $\text{[math]}$ , on a seulement un champ magnétique homogène (ma question est ici, je ne vois pas ce que ça change de poser ça, voir plus loin), c'est-à-dire que (posant $\text{[math]}$ )

$\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$

ou, en notation vectoriel,

$\text{[math]}$

Dans un référentiel $\text{[math]}$ , on a

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Par conséquent, $\text{[math]}$ est inertiel si et seulement si $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Or, $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ seulement si $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , ou, en d'autres termes, si la vitesse de la charge est parallèle à $\text{[math]}$ dans un référentiel, elle l'est dans tous les autres référentiels et, réciproquement, si la vitesse de la charge n'est pas parallèle à $\text{[math]}$ dans un référentiel, elle ne l'est pas dans aucun autre. Pour illustrer ce point, faisons l'hypothèse que, dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . On a alors

$\text{[math]}$ ,

où $\text{[math]}$ est l'angle antre le champ B et la vitesse. Si on fait un changement de référentiel, on a

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ .

La seule façon (physiquement réalisable) d'avoir $\text{[math]}$ , c'est d'avoir $\text{[math]}$ , i.e. $\text{[math]}$ , ce qui contredit notre hypothèse de départ. Ainsi, une particule ayant une vitesse non-parallèle à $\text{[math]}$ dans un référentiel aura une vitesse non-parallèle à $\text{[math]}$ dans tous les référentiels, et pour ces particules, il n'est pas possible d'exprimer les lois du mouvement sous la même forme que dans un référentiel non-accéléré, ce qui viole le principe d'équivalence.

Mon questionnement concerne l'hypothèse : B est homogène. Si je me souviens bien, le fait que B soit homogène élimine un type de force possible, ce qui permet d'écrire la force de Lorentz comme

$\text{[math]}$ . (1)

Plus précisément, je pense que l'équation (1) est valide seulement si B est homogène.

J'ai raison?

Merci encore Rincevent, je pense que je n'aurais pas réussi aussi rapidement sans toi.

Cordialement,

Simon

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