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Dissymétrie torsorielle



  1. #1
    livre

    Dissymétrie torsorielle


    ------

    Bonjour,

    En comparant la structure des torseurs, je me suis demandé pourquoi la résultante du torseur cinématique

    correspond à la rotation et son moment à la translation, alors que pour les autres torseurs
    • cinétique :
    • dynamique :
    • d'action :
    c'est l'inverse: leurs résultantes concernant leur partie linéaire et leur moment leur parties angulaires? D'accord, ça marche comme ça, mais pourquoi cette dissymétrie?

    -----

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  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Bonjour,

    Dualité.

    Ce n'est pas facile à expliquer, et je profite de cette question pour m'y essayer!

    Si on part de la mécanique du point matériel, le travail d'une force est le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement. Une analyse plus fine permet de montrer que le déplacement est un "vecteur" au sens strict, mais que la force doit plutôt être considérée comme le dual d'un vecteur "strict", c'est à dire comme une application linéaire qui appliquée à un vecteur (strict) donne un scalaire (le travail).

    Dans le cas du point matériel, la confusion entre vecteur (strict) et application linéaire n'a pas d'importance, parce que la symétrie de l'espace s'applique de la même manière sur les deux types, et une représentation par un élément de R3 se fait de la même manière.

    Mais pour les torseurs il faut impérativement prendre en compte cette dualité parce que la relation entre résultante/moment central d'un côté et rotation/translation est inversée dans l'espace dual.

    Cela se voit dans la formule donnant le travail, le comoment, somme de deux termes "multipliant" la résultante d'un torseur et le moment central de l'autre. Un terme de la somme pour la translation, un terme pour la rotation, ce qui implique obligatoirement une permutation des affectation des rôles.

    Il faut voir le comoment comme un produit scalaire, et chaque torseur est comme une application linéaire appliquée à l'autre. C'est une relation de dualité, et si un comoment a un sens physique, comme dans le cas du travail, les torseurs appartiennent à des espaces duaux l'un de l'autre.

    Distinguer les vecteurs des duaux apparaît en relativité et en physique quantique, domaines dans lesquels la confusion possible en 3D n'est pas possible. Dans tous les cas, les déplacements, les vitesses ou les accélérations sont des vecteurs au sens strict, et les quantité de mouvement/moment cinétique, ou la force/couple/puissance, apparaissent comme des éléments du dual des vecteurs au sens strict.

    Un guide empirique simple: si la masse apparaît en facteur de quelque chose de "vectoriel", c'est un dual des déplacements.

    Un peu court comme explication, mais j'espère que ça donne une bonne idée des grandes lignes d'une réponse plus élaborée.

    Cordialement,

    PS: L'usage du mot "vecteur", dans mon texte comme partout ailleurs, pose difficultés. Ce n'est qu'un mot, il faut faire attention de bien y voir le sens demandé par le contexte.
    Dernière modification par invité576543 ; 04/07/2008 à 19h36.

  4. #3
    Thwarn

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Je ne vais rien apporter a la discussion, mais j'ai quand meme une question :
    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Si on part de la mécanique du point matériel, le travail d'une force est le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement. Une analyse plus fine permet de montrer que le déplacement est un "vecteur" au sens strict, mais que la force doit plutôt être considérée comme le dual d'un vecteur "strict", c'est à dire comme une application linéaire qui appliquée à un vecteur (strict) donne un scalaire (le travail).
    Tu aurais des ref pour l'histoire de force comme dual? J'en ai jamais entendu parler (mais il faut dire que j'ai pas pousser la mecanique du point plus loin que ma L1.

    Une remarque :
    Distinguer les vecteurs des duaux apparaît en relativité et en physique quantique, domaines dans lesquels la confusion possible en 3D n'est pas possible.
    Je pense que pour beaucoup, un bra, c'est plus un ket dans l'autre sens qu'un dual d'un autre espace. Pareil pour la RR, ou dans un cas y a un indice en bas et l'autre en haut (d'ailleurs, je n'ai jamais reussi a me souvenir lequel est co- et lequel est contra... )
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  5. #4
    invité576543
    Invité

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    Tu aurais des ref pour l'histoire de force comme dual? J'en ai jamais entendu parler (mais il faut dire que j'ai pas pousser la mecanique du point plus loin que ma L1.
    Suffit de voir l'équivalent de la force en ph quantique et en RR, comme tu l'indiques ensuite. Traduis ma notion (mathématique) de dual en bra vs. ket, ou indice en haut vs. indice en bas.

    La force est la dérivée temporelle de la quantité de mouvement. Suffit donc de regarder la quantité de mouvement.

    En partant de mv on peut croire que c'est de la même nature que la vitesse. Mais en RR, (E, p) n'est pas la masse multipliée par le 4-vecteur vitesse. Ca se voit dimensionnellement par exemple, la vitesse est (T, L)T-1, alors que (E,p) est (T-1, L-1)ML²T-1. Et toute multiplication ou division cohérente par c ne changera rien à cette inversion, parce que le produit scalaire de (E,p) par (dt, dx) est un scalaire : E.dt et p.dx ont la même dimension, l'action.

    Je pense que pour beaucoup, un bra, c'est plus un ket dans l'autre sens qu'un dual d'un autre espace. Pareil pour la RR, ou dans un cas y a un indice en bas et l'autre en haut (d'ailleurs, je n'ai jamais reussi a me souvenir lequel est co- et lequel est contra... )
    La notion de dual est la notion générale, issue des maths. Tu cites deux applications particulières, avec des notations particulières, de cette idée générale.

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 04/07/2008 à 21h05.

  6. #5
    Thwarn

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Je t'avoues (meme s'il est que 3h du mat' chez moi) que je ne comprends toujours pas trop d'où tu sors cette histoire de dual pour la force en MC.
    (dont je n'ai jamais il me sembleà entendu parler).
    Peut-etre que je devrais revenir la dessus demain quand je serais clair.

    Mais si tu as quelque chose de plus precis, je suis pas contre
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    stefjm

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    Je t'avoues (meme s'il est que 3h du mat' chez moi) que je ne comprends toujours pas trop d'où tu sors cette histoire de dual pour la force en MC.
    (dont je n'ai jamais il me sembleà entendu parler).
    Peut-etre que je devrais revenir la dessus demain quand je serais clair.

    Mais si tu as quelque chose de plus precis, je suis pas contre
    Bonjour,
    Ca m'interesse aussi.
    Jamais vu proprement fait.
    Je n'ai jamais aimé les pseudos vecteurs.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

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  10. #7
    invité576543
    Invité

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Bonjour,

    Je réessaye, point par point.

    Point 1:

    La force est, dimensionnellement et physiquement, la dérivée temporelle de la quantité de mouvement.

    Le PFD s'écrit : F = dp/dt

    Ca, ça se trouve partout.

    D'accord?

    Point 2:

    L'espace des quantités de mouvements est le dual de l'espace des déplacements.

    La quantité de mouvement est une application linéaire qui à un déplacement associe une action. Et réciproquement.

    Ca, ça se trouve en mécanique lagrangienne. (Et de là en RR -position d'indice- et en PhyQ -bra/ket)

    D'accord?

    Point 3:

    L'espace des forces est l'espace des dérivées temporelles de quantités de mouvement, elles-mêmes formant un espace dual aux déplacements.

    (Conséquence de 1 et 2)

    Point 4;

    En parlant de dual pour les forces, je simplifie (l'effet de la dérivée temporelle n'est pas si simple en RR ou en PhyQ). Mais en mécanique classique (qui est le domaine qui nous intéresse, le sujet initial est les torseurs), le produit scalaire d'une force par un déplacement donne un scalaire, le travail, et on se retrouve dans une situation formellement identique à celle de la quantité de mouvement/déplacement/action.

    Autre manière de le dire, en classique, la dérivée temporelle ne fait pas changer de nature géométrique (déplacement, vitesse et accélération possèdent la même "nature géométrique", la même symétrie; ou encore, tous des ket, et tous avec l'indice en haut). La série "duale" comprend quantité de mouvement et force (tous des bra, tous indices en bas).

    Point 5:

    Cette analyse générique, qui trouve ses échos en mécanique lagrangienne, en PhyQ et en RR, se retrouve parfaitement dans les torseurs, parmi lesquels, comme parfaitement bien remarqué par "livre", on trouve deux catégories, selon que c'est la résultante ou le moment central qui est associé aux rotations.

    Ces deux catégories recoupent parfaitement celles identifiées indépendamment, montrant que cela fait partie d'un schéma d'ensemble cohérent.

    Et la notion d'espace dual (au sens mathématique en géométrie vectorielle) se retrouve via le comoment, parce que com(T1, T2) peut se lire comme CT1(T2), où CT1 est une application linéaire "indexée" par T1; cette indexation étant un morphisme, il est justifié d'identifier l'espace des T1 avec le dual de l'espace des T2. (Les torseurs sont munis d'une structure vectorielle à 6 dimensions.)

    Ou encore, la différence entre les torseurs "bra" et les torseurs "ket" est perceptible dans le terme lié aux rotations, et, de même, un torseur "avec indice en bas" se distingue d'un "avec indice en haut" de la même manière.

    -----

    Je ne saurais cité de référence présentant tout cela d'un seul coup. Des références pour des parties sont faciles à trouver.

    Maintenant, si ça ne vous convainc pas, je vous invite (indépendamment d'expliquer votre manque de conviction autrement que par "je n'ai jamais vu ça") de proposer une explication à l'existence des deux catégories de torseurs en mécanique classique, au sens de la différence mentionnée par "livre" (différence que j'avais détectée depuis longtemps, et qui m'a pris un certain temps à comprendre, ou, du moins au sujet de laquelle j'ai mis un certain temps à construire l'explication, peut-être inacceptable, que j'ai présentée. Parce que je n'ai pas trouvé cela tout fait, alors que je suis certain que c'est "bien connu").

    Cordialement,
    Dernière modification par invité576543 ; 05/07/2008 à 08h46.

  11. #8
    mamono666

    Re : Dissymétrie torsorielle

    je n'avais jamais pensé à tout ça

    je pensais plus simplement que puisque le torseur doit respecter la relation de transport:



    on place systématiquement, le vecteur R en "haut" et celui qui respecte cette relation de transport "en bas" .... j'avoue que je n'avais pas réfléchi pourquoi...

    Donc pour vitesse et vitesse angulaire, puisque:



    alors on place la vitesse angulaire en "haut" et la vitesse en "bas" ...

    peut être une vision trop simpliste
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  12. #9
    stefjm

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Bonjour,
    Je réessaye, point par point.
    Point 1...
    Merci à toi.

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Je ne saurais cité de référence présentant tout cela d'un seul coup. Des références pour des parties sont faciles à trouver.

    Maintenant, si ça ne vous convainc pas, je vous invite (indépendamment d'expliquer votre manque de conviction autrement que par "je n'ai jamais vu ça") de proposer une explication à l'existence des deux catégories de torseurs en mécanique classique, au sens de la différence mentionnée par "livre" (différence que j'avais détectée depuis longtemps, et qui m'a pris un certain temps à comprendre, ou, du moins au sujet de laquelle j'ai mis un certain temps à construire l'explication, peut-être inacceptable, que j'ai présentée. Parce que je n'ai pas trouvé cela tout fait, alors que je suis certain que c'est "bien connu").

    Cordialement,
    Quand je dis que c'est la première fois que je vois les choses présentées ainsi, c'est une constatation, pas un reproche à ton encontre.
    C'est une explication qui me parait très acceptable, mais de ce que je connais, je ne peux pas dire que c'est "bien connu".

    En tout cas, à toi.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  13. #10
    Rincevent

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Bonjour,

    Pour compléter un peu ce que dit mmy tout en allant dans le même sens : le formalisme hamiltonien [variationnel] permet de mieux comprendre les deux types de vecteurs [en fait on peut même aller encore plus loin en ajoutant deux autres types orthogonaux portant le nombre à 4 avec la notion de pseudo-vecteur, comme le vecteur champ magnétique].

    Si on construit un hamiltonien, c'est une grandeur scalaire qui dépend de la grandeur vectorielle position. Si on "dérive" ce dernier vecteur par rapport au temps (un scalaire), on obtient encore un vrai vecteur, la vitesse. Mais si on dérive une grandeur scalaire (le hamiltonien) par rapport à un vecteur (la vitesse), ce que l'on obtient (via les équations d'Hamilton par exemple) n'est pas un "vrai vecteur", mais un vecteur dual [ce que l'on nomme une forme]. Cette différence n'est pas importante quand on travaille avec des bases et coordonnées cartésiennes, mais le devient dès que ce n'est plus le cas. Cela "transparaît" dans la notation qui note les composantes d'un vecteur avec des exposants et celles d'une forme [un vecteur dual ou covecteur] avec des indices. Si on passe au formalisme variationnel avec des torseurs, on a le même "dédoublement".

    Toujours est-il que le fait que l'impulsion soit un vecteur dual est à rapprocher de cette même nature pour la force [penser au PFD qui relie ces deux trucs par une dérivée par rapport à une grandeur scalaire, le temps].
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  14. #11
    livre

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Merci pour toutes ces réponses. C'est vrai que c'est tellement "évident" que tous les auteurs n'en parlent pas, ou alors c'est laissé en simple exercice au lecteur.

  15. #12
    Thwarn

    Re : Dissymétrie torsorielle

    C'est pour cela qu'il faut utiliser le preiceux dictionnaire (trouve sur sciences.ch) :
    "Ce que les mathématiciens disent et ce qu'il faut comprendre:

    - Trivial : Si je dois vous montrer ceci, vous êtes dans la mauvaise classe

    - On peut trivialement montrer : On a pas besoin de plus de 4 heures pour le démontrer

    - Contrôlez vous-même : C'est la partie difficile de la démonstration donc vous pouvez le faire sur votre temps libre

    - Similairement : Au moins une ligne de la démonstration est identique à la précédente

    - Procédons formellement : Nous allons manipuler des symboles avec des règles bien prédéfinies sans rien comprendre au sens réel du résultat.

    - Nous nous dispenserons de la démonstration : Faites-moi confiance, c'est vrai!

    - Le lecteur montrera facilement : Ca m'ennuie de montrer que...

    - Nous conseillons vivement au lecteur de faire les exercices indiqués : Comme je les ai pas faits, vous pourriez me les corriger

    - J'ai montré ce résultat dans un papier antérieur : Je ne sais plus diable comment on fait pour prouver ce truc là

    - On généralise facilement : La généralisation dépasse mon niveau

    - D'après une propriété bien connue : Par 10 personnes au monde..."

    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  16. Publicité
  17. #13
    stefjm

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Bonjour,

    Ca, c'est le coté obscure de la force.
    Le bon coté, c'est ce que faisait un de mes vieux profs de maths:

    Ceci n'est pas une démo mais vous allez en conprendre l'esprit général et vous vous souviendrez du résultat.
    Pour la vraie démo, c'est plein de subtilités qui vous me faire chier et vous dégouter à jamais... (et de toute façon, vous n'etes pas mathématiciens, moi non plus, ça servirait à rien et on n'a pas le temps...)
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  18. #14
    invité576543
    Invité

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Bonsoir,

    A cause de (grâce à?) cette discussion, j'ai repris mes notes sur le sujet, et les ai mise dans une forme qui à l'air lisible par d'autres. Je mets en attachement la première partie sur les torseurs, une dizaine de pages qui développent en détail ce que j'ai brièvement tenté d'exposer.

    Tout est de ma prose. Rien d'inconnu, juste une manière de présenter les torseurs qui s'éloigne un peu de ce qu'on voit usuellement.

    Presque tous les commentaires sont les bienvenus, surtout les négatifs mais constructifs.

    Cordialement,
    Fichiers attachés Fichiers attachés

  19. #15
    stefjm

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Presque tous les commentaires sont les bienvenus, surtout les négatifs mais constructifs.
    Bonjour,

    page 2 en haut : frappe :flèche pour flêche.
    Page 10, second paragraphe : frappe : le pour ln.
    Page 10 dernier paragraphe, qu'on ne l'a très peu utilisé, "ne" en trop ou manque "que".

    Dans la note liminaire, il manque la définition de l'ensemble heretique et de l'ensemble hétérodoxe.

    Cet article devrait intéresser Jacques Lavau.

    Cordialement.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  20. #16
    invité576543
    Invité

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Bonjour,

    page 2 en haut : frappe :flèche pour flêche.
    Page 10, second paragraphe : frappe : le pour ln.
    Page 10 dernier paragraphe, qu'on ne l'a très peu utilisé, "ne" en trop ou manque "que".
    Merci!

    Dans la note liminaire, il manque la définition de l'ensemble heretique et de l'ensemble hétérodoxe.


    Cet article devrait intéresser Jacques Lavau.
    J'ai mis le papier sur son forum en même temps, ne sachant pas s'il participe aux forums FS. Je me demandais si c'était une bonne idée, ta remarque me rassure!

    Cordialement,

  21. #17
    stefjm

    Re : Dissymétrie torsorielle

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    J'ai mis le papier sur son forum en même temps, ne sachant pas s'il participe aux forums FS. Je me demandais si c'était une bonne idée, ta remarque me rassure!
    A ma connaissance, il ne fréquente pas les forums FS. Je le connais par usenet (fr.sci.physique) où il intervient régulièrement.
    Par exemple ici.
    Disons qu'il est comme tout le monde: il a un contact un peu particulier...
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

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