Equation de Poisson

[invite0135bb56]

Bonjour,

pour mmon premier message, je me présente brièvement: je suis un "vieux" physicien, qui depuis ses études fait surtout de la technique et quasiment plus de calculs: je passe plus de temps à serrer des boulons qu'à faire des simulations. Mais maintenant j'aimerais effectuer des calculs et j'ai un peu oublié mes outils mathématiques. Quelqu'un pourra-t'il m'aider ?

Mon problème est le suivant: j'ai un échantillon isolant, d'épaisseur h, fixé sur une plaque métallique à la terre. J'ai une autre plaque métallique (un détecteur), également à la terre, à une certaine distance w au-dessus de l'échantillon. Cet échantillon isolant a une charge à la surface sur une épaisseur s (densité de charge rho [C/m³]), s<<h. J'aimerais calculer le potentiel électrostatique V selon l'axe z, c'est-à-dire de la plaque supportant l'échantillon jusqu'au détecteur.
J'ai pensé utiliser l'équation de Poisson 1D (d²V/dz²+rho/epsilon=0), mais je ne vois pas comment l'appliquer. Quelqu'un pourra-t'il me montrer les pas à suivre ? (ou m'indiquer une autre méthode)

Merci d'avance

guga
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[LPFR]

Bonjour.
Déjà nous savons, par la symétrie que le champ doit être vertical, et que si la distance w est petite devant les dimensions latérales de l'isolant et des plaques le champ est aussi constant. Si la condition de w petite n'est pas satisfaite, le calcul devient presque impossible sauf numériquement par des logiciels adaptés. Donc on suppose que la condition est satisfaite.
Un prend un cylindre (par exemple) vertical de section S, et on applique Gauss sur une "boîte de camembert" qui contient exactement la zone chargée. Mais avec la nuance que le couvercle se situe juste sous la surface. Ceci va nous permettre de calculer le champ dans le diélectrique:

Maintenant on applique les conditions de continuité an admettant qu'il n'y a pas de charges de surface:

Cela nous permet de calculer le champ à l'extérieur de l'isolant. Comme le potentiel de la plaque située w plus haut est zéro, la chute de potentiel entre l'isolant el la plaque est

Au revoir.

[invite0135bb56]

Merci pour votre réponse !

Dans mon cas w est grand (voire infini).

En fait j'essaye de reproduire le résultat mentionné dans un article (J. Cazaux, Journal of Electron Spec. and Rel. Phen. 105 (1999), 155-185), afin d'en comprendre les étapes et de pouvoir modifier le système calculé.
En gros M. Cazaux décrit le système, écrit l'équation de Poisson en 1D, pose des conditions au bord (V(w)=V(-h)=0) et intègre l'équation de Poisson. Le résultat n'est pas parfaitement décrit.
Ce qui me bloque, c'est l'intégration proprement dite: je ne vois pas à quelle étape on dit où est la charge. Ou alors faut-il avoir un système de 3 équations de Poisson pour les 3 zones:
- en dessus de l'échantillon (rho=0)
- dans la partie chargée de l'échantillon (rho !=0)
- dans la partie non chargée de l'échantillon (rho=0)
... et les coupler aux interfaces ?

Merci !

[LPFR]

Re.
Si w est grand, comme je vous ai dit, la solution analytique est impossible. Vous pouvez appliquer toutes les formules que vous voudrez, le résultat sera faux.
Dire que le problème est 1D est équivalent à dire de w est infiniment petit devant les autres dimensions.
A+

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