cinématique du point

[invite93eda67f]

Bonjour,
Je suis en prepa mpsi et j’ai un exo a faire en mécanique ( cinématique du point plus précisemment).
Voici l’énoncé :

« On lance un point matériel de masse m (on utilise le repère x0z) , depuis le point O, avec une vitesse initiale V0 faisant un angle (a) avec l’horizontale OX. En plus de son poids, l’objet subit une force de frottement opposée à la vitesse et de norme f=kV k >0. Montrer que la trajectoire do projectile peut se mettre sous la forme :
Z(x)=B1x+B2ln(1-B3x)
On précisera les valeurs de B1 B2 et B3. »

Alors j’ai fait mes petites recherches j’avais d’abord commencé par utiliser les equations horaire mais ça na pas abouti. Alors j’ai utilisé la méthode avec l’équation différentiel et la 2eme loi de newton :
Dv/dt = g+kv/m. la solution de cette equa diff est de type : f(t)=L*exp(at/m)-mg/a.
Apres je projette les equation des vitesse vx et vz :

Vx=Vo*exp(at/m)
Vz=(Vo-mg/a)*(a/m)*exp(mt/a)+mgt/a
Je fait la primitive pour trouver les trajectoires et j’élimine t en utilisant le logarithme. Le prob c’est que je trouve un resultat totalkement différent de celui demandé ou est le probleme ?
Merci de m’aider
-----

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je crois que vos équations pour Vx et Vz ne sont pas bonnes.
Il faut que vous écriviez les équations de départ F=ma pour les deux axes. N'oubliez pas que la vitesse en x est Vcos(alpha) avec alpha qui change au cous du temps. Même chose pour Vz.

Pour la friction avec l'air c'est aussi le même problème: la force dépend du module de la vitesse mais ses composantes dépendent d'alpha, qui évolue avec le temps.

Une fois vos équations différentielles établies, il faudra les intégrer et éliminer le temps.

J'avoue que je suis un peu surpris de la simplicité de la solution qu'il faut trouver. Mais il est vrai aussi que je n'ai pas fait le calcul.
Au revoir.

[invite93eda67f]

d'accord alors quand je prend les expressions de vx et Vz je trouve
Vx=Vocos(alpha)*exp(-at/m)
Vz=(Vosin(alpha) mg/a)* exp(-at/m) - mg/a
c'est juste? sinon apres j'arrive pas a integrer je me melange avec (alpha) et t

[invite6dffde4c]

d'accord alors quand je prend les expressions de vx et Vz je trouve
Vx=Vocos(alpha)*exp(-at/m)
Vz=(Vosin(alpha) mg/a)* exp(-at/m) - mg/a
c'est juste? sinon apres j'arrive pas a integrer je me melange avec (alpha) et t

Re.
Désolé, mais vous avez "triché".
Il ne suffit pas d'ajouter un sinus ou un cosinus à la solution.
La solution exponentielle pour Vx n'est valable que la vitesse en x ne dépendait pas de la vitesse en y. Mais ce n'est pas le cas. La force de friction avec l'air dépend du module de la vitesse, qui dépend aussi bien de la vitesse en x que de la vitesse en z.
Il faut refaire les calculs depuis le départ.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Re.
Désolé, j'ai raconté des conneries.
Avec une force de friction proportionnelle à la vitesse, les deux mouvements restent indépendants, car la force dans chaque direction est bien proportionnelle à la vitesse dans cette direction.
Par contre, vos formules sont tout de même incorrectes.
Vous devez obtenir quelque chose comme:
Vx= Vo cos(a)exp(-kt/m)
(je vous laisse retoucher la vitesse en z).
En remplaçant l'exponentielle d'une des deux vitesses dans l'autre, vous éliminez le temps et vous obtiendrez la trajectoire.
A+

[invite93eda67f]

bah c'est pas ce que j'ai mi? par contre le probleme c'est que lorsque je vais passer au logarithme pour eliminer t: ben jvai me retrouver avec ln(-kt/m)
ce qui est impossible

[invite6dffde4c]

Re.

bah c'est pas ce que j'ai mi?

Non. Vous aviez mis l'angle 'a' à la place de k.

par contre le probleme c'est que lorsque je vais passer au logarithme pour eliminer t: ben jvai me retrouver avec ln(-kt/m)
ce qui est impossible

Non vous n'allez pas vous retrouver avec ln(-kt/m).
Il faut d'abord intégrer les vitesses pour avoir les positions.
Extrayez t dans la formule de la position en x et faites la substitution dans la position en y est vous retrouverez la trajectoire, avec x et ln x que l'on vous demande.
A+

[invite93eda67f]

Bon alors j'ai fais les deux equa diff je trouve
Vx=C2e(kt/m)
Vz=C1e(kt/m)-mg/k

apres jai integré: x=(m/k)C2e(kt/m)+cste qui est egale a 0
z=(m/k)C2e(kt/m) - mgt/k

j'ai ensuite remplacé x par une parti de l'expression de z :
z=(C1/C2)x - mgt/k

et je suis enfin passé aux logarithmes pour sortir le t dans l'expression de x mais j'arrive pas a trouver celle qui est dans l'énoncé.

je trouve : (C1/C2)x - m²/k²*(ln(x)-ln(mC2/k))

faut il trouver C1 et C2? si oui comment ou alors ou est mon erreur?

[invite6dffde4c]

Re.
Pour Vx c'est bon et C2 est la valeur de la vitesse horizontale au départ.
Pour Vz, sauf erreur de ma part, c'est –g/k sans le m (à vérifier). Et C1 est la vitesse verticale de départ.
Remplacez-les par les bonnes valeurs.
Vous deux constantes d'intégration ne sont pas bonnes. Il faut que x=y=0 pour t=0.

Il ne faut pas remplacer une partie de l'autre équation. Il faut faire ce que je vous ait dit: vous sortez 't' d'une équation et vous le remplacez dans l'autre.
Je pense qu'en corrigeant les constantes d'intégration ça devrait marcher.
A+

[invite93eda67f]

Je suis presque sur que dans Vz il y a -mg/k
Sinon je remplace C2 par Vocosa et C1 par Vosina?
Par contgre je vois pas comment faire pour que a t=0 z=x=0 avec la presence d'une exponetielle

[invite6dffde4c]

Re.
D'accord pour C1 et C2.

x=A exp(bt) + C.
Je suis sur que vous pouvez calculer C pour x soit égal à 0 pour t=0.
A+

[invite93eda67f]

ui alors ça me donne x=(m/k)Vocosa*e(kt/m)-m/kVocosa

Le probleme c'est que lorsque je je ve remplacer t je me retrouve avec des des logarithme que je peux pas simplifier et c'est encore pire

[invite6dffde4c]

Re.
Au lieu de trembler de peur en vous disant "je n'arriverai pas", faites-le. Vous verrez que vos peurs sont infondées.
Vous pouvez remplacer l'exponentielle directement, puis t avec le logarithme. C'est direct et immédiat.
A+

[invite93eda67f]

Bon je l'ai fait il me reste une erreur de signe. J'ai trouvé ln(K3x+1) au lieu de - mais jtrouve pas l'erreur

[invite6dffde4c]

Bon je l'ai fait il me reste une erreur de signe. J'ai trouvé ln(K3x+1) au lieu de - mais jtrouve pas l'erreur

Re.
Je vous suggère d'utiliser la même méthode que j'applique dans ces cas. Vous retournez votre feuille de calculs et vous recommencez tout sans regarder les calculs précédents pour ne pas être influencé.
A+