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Divergence d'un produit tenseur/vecteur



  1. #1
    obi76

    Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Bonjour à tous.

    Ayant commencé ma thèse il y a quelque jours (), je suis confronté à un petit problème mathématiquement bête mais je ne trouve pas (et j'ai la flemme de me taper 15 pages pour tout développer...). Peut-on dire que :

    (à force de ne pas y arriver, je commence à douter même là dessus.... )

    et que

    ?

    Merci d'avance, si c'est ça je pourrai dormir tranquille

    -----


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  3. #2
    Rincevent

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    salut,

    un conseil : écris tout de manière indicielle et tu n'auras plus le moindre problème... [en particulier ça lèvera certaines ambiguïtés sur le sens de tes équations]
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  4. #3
    obi76

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    salut,

    un conseil : écris tout de manière indicielle et tu n'auras plus le moindre problème... [en particulier ça lèvera certaines ambiguïtés sur le sens de tes équations]
    Oki, ça donne ça :

    ?

    Merci (de la réponse et du doublon )

    EDIT : n'empêche je vois pas trop là :S ledéterminant en matriciel tu le noterai comment ?
    PS bis : en cylindrique ça marcherai aussi (c'est pour ça que je suis passé par nabla) ?

  5. #4
    Rincevent

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    je ne comprends pas ce terme...

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    et que signifie la barre entre les indices i et j du tau ?
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  6. #5
    Rincevent

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    ce que tu as c'est

    en raison de la règle de Leibniz.

    mais pour le reste, je vois pas à première vue comment tu fais... tu as des propriétés particulières pour ton tenseur et ton vecteur ?
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    obi76

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    je ne comprends pas ce terme...



    et que signifie la barre entre les indices i et j du tau ?
    Exact, je rectifie (et après je pars du labo quand même )

    ?

    Mais je maintiens que je préférai l'opérateur nabla qui m'aurai permis ensuite de tout passer en cylindrique sans avoir à modifier les d/dx selon les directions (ou angle)...

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  10. #7
    Rincevent
    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    EDIT : n'empêche je vois pas trop là :S ledéterminant en matriciel tu le noterai comment ?
    le déterminant tu le notes pas vraiment de manière indicielle, sauf si tu as des propriétés particulières pour la matrice...

    PS bis : en cylindrique ça marcherai aussi (c'est pour ça que je suis passé par nabla) ?
    la notation indicielle utilisée avec des dérivées covariantes est valable par construction dans tout système de coordonnées... je t'encourage à prendre quelques heures pour aller voir ça si tu connais pas

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Mais je maintiens que je préférai l'opérateur nabla qui m'aurai permis ensuite de tout passer en cylindrique sans avoir à modifier les d/dx selon les directions (ou angle)...
    ta dérivée est quelconque ou covariante ? parce que si tu te contentes d'une bête dérivée par rapport à j le résultat n'est pas un tenseur (sauf si tu utilises des coordonnées cartésiennes avec lesquelles dérivées covariante et usuelle coïncident).

    ils ont un nom physique ton tenseur et ton vecteur ? replacer ça dans un contexte m'aiderait à prendre un peu de recul sur les propriétés attendues des gens qui participent à la fête
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  11. #8
    obi76

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    le déterminant tu le notes pas vraiment de manière indicielle, sauf si tu as des propriétés particulières pour la matrice...
    C'est bien ce que je pensais...


    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    la notation indicielle utilisée avec des dérivées covariantes est valable par construction dans tout système de coordonnées... je t'encourage à prendre quelques heures pour aller voir ça si tu connais pas
    Je vais m'y mettre ce we, je n'aime pas avoir des lacunes

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    ta dérivée est quelconque ou covariante ? parce que si tu te contentes d'une bête dérivée par rapport à j le résultat n'est pas un tenseur (sauf si tu utilises des coordonnées cartésiennes avec lesquelles dérivées covariante et usuelle coïncident).
    Le terme covariante est un terme que j'ai souvent vu mais en dehors de mes études et à vrai dire je n'ai jamais creusé plus que ça. Je souhaite "juste" avoir la formulation des équations que je manipule (dont ceci n'est qu'une bien maigre partie) en coordonnées cylindriques.
    Et question certe très bête : covariant ça veut dire quoi à la fin ?

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    ils ont un nom physique ton tenseur et ton vecteur ? replacer ça dans un contexte m'aiderait à prendre un peu de recul sur les propriétés attendues des gens qui participent à la fête
    Le vecteur u c'est une vitesse toute bête, et le tenseur est un tenseur visqueux définit par . C'est donc un tenseur symétrique (si ça peut aider)...

    Merci de ton aide

  12. #9
    mariposa

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message

    Le terme covariante est un terme que j'ai souvent vu mais en dehors de mes études et à vrai dire je n'ai jamais creusé plus que ça. Je souhaite "juste" avoir la formulation des équations que je manipule (dont ceci n'est qu'une bien maigre partie) en coordonnées cylindriques.
    Et question certe très bête : covariant ça veut dire quoi à la fin ?
    Ca veut dire que les quantités dans le membre de gauche se transforment (dans un changement de base) de la même façon que ceux situés dans le menbre de droite.

  13. #10
    obi76

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    ce que tu as c'est

    en raison de la règle de Leibniz.

    mais pour le reste, je vois pas à première vue comment tu fais... tu as des propriétés particulières pour ton tenseur et ton vecteur ?
    Je n'avais pas vu cette réponse

    Je regarde ça.

    Merci beaucoup

    EDIT : dans le membre de gauche et de droite de quoi mariposa ?

  14. #11
    Rincevent

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    et que

    ?

    Merci d'avance, si c'est ça je pourrai dormir tranquille
    d'où sors-tu cette égalité ? on te l'a donnée ou tu as tenté de la deviner à partir de formules de calculs vectoriels que tu connais ?
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  15. #12
    obi76

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    j'ai tenté à partir de formules que je connaissais, te casses pas la tête dessus ce n'était que vague supposition.

    Dans la mesure ou il existe une formule simple pour div(a*vec(u)) que j'avais deviné "à l'arrache", je pensais que ça serai ça mais bon, m'étonne pas que je me sois planté (pour le déterminant je pensais à ça dans la mesure ou la définition même du tenseur dépend du repère, div(u) pour respecter la dimension du résultat et comme la décomposition par dérivée d'un produit ça donne deux terme, j'ai "bidouillé" avec les formules usuelles pour retomber sur un scalaire en dérivant une fois u, une fois le tenseur alternativement).

    Bref c'est bizarre mais je me doutais aussi que ça serai foireux...

    Merci à vous

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  17. #13
    Rincevent

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    j'ai tenté à partir de formules que je connaissais, te casses pas la tête dessus ce n'était que vague supposition.
    de toutes façons je viens de réaliser qu'il y a un argument simple montrant que cela ne peut pas être vrai : c'est pas homogène. Le déterminant de tau n'a pas la même dimension que tau...

    Dans la mesure ou il existe une formule simple pour div(a*vec(u)) que j'avais deviné "à l'arrache"
    c'est ce que j'ai fini par me dire

    pour le déterminant je pensais à ça dans la mesure ou la définition même du tenseur dépend du repère, div(u) pour respecter la dimension du résultat et comme la décomposition par dérivée d'un produit ça donne deux terme, j'ai "bidouillé" avec les formules usuelles pour retomber sur un scalaire en dérivant une fois u, une fois le tenseur alternativement
    en fait y'a un autre problème : le déterminant n'est pas un vrai scalaire. C'est un pseudo-scalaire qui dépend d'un choix d'orientation (sans parler de la dimension physique). Donc le seul scalaire que tu aurais pu à la rigueur avoir, c'est la trace de tau...

    mais je réitère mon conseil : prends un bon cours de mécanique des milieux continues avec approche tensorielle et ça t'évitera de perdre plus de temps par la suite même si pour commencer ça va te demander un investissement en temps... mais en thèse, tu es là aussi pour apprendre, donc hésite pas

    [edit] en tous cas dans le problème précis auquel tu t'intéresses, le fait que tau dépende linéairement de u doit simplifier pas mal le calcul... j'y jetterai un oeil ce we si j'ai le temps.
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  18. #14
    Spinfoam

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    La notation n'est qu'une notation qui marche plutôt pas mal en cartésien mais pas tout le temps, même lorsque l'on est rigoureux. C'est pour cela qu'il vaut mieux travailler avec les indices lorsque l'on manipule des tenseurs : tout est beaucoup plus clair une fois que l'on y est habitué.

  19. #15
    mariposa

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    d'où sors-tu cette égalité ? on te l'a donnée ou tu as tenté de la deviner à partir de formules de calculs vectoriels que tu connais ?
    .
    Effectivement çà ressemble a une dérivation formelle d'un produit, ce qui ne garantit pas la justesse du résultat. Il faut rester comme tu l'as fait aux niveaux des indices quitte après à reformuler le résultat sans indices.

    .Dans le deuxième terme de son membre de droite je me demande ce que signifie les barres horizontales sur le tenseur. Ce qui suppose une convention de notations non homologuée.

  20. #16
    mariposa

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    j'ai tenté à partir de formules que je connaissais, te casses pas la tête dessus ce n'était que vague supposition.

    Dans la mesure ou il existe une formule simple pour div(a*vec(u)) que j'avais deviné "à l'arrache", je pensais que ça serai ça mais bon, m'étonne pas que je me sois planté (pour le déterminant je pensais à ça dans la mesure ou la définition même du tenseur dépend du repère, div(u) pour respecter la dimension du résultat et comme la décomposition par dérivée d'un produit ça donne deux terme, j'ai "bidouillé" avec les formules usuelles pour retomber sur un scalaire en dérivant une fois u, une fois le tenseur alternativement).

    Bref c'est bizarre mais je me doutais aussi que ça serai foireux...

    Merci à vous
    Tout est clair, maintenant, c'est presque comme si tu avais tiré une formule au hasard. En effet on se demandait vraiment ce que vient faire un déterminant là dedans.

  21. #17
    mariposa

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Question simple:

    A moins que tu rédiges des généralités, quel est le contexte physique du problème?

  22. #18
    obi76

    Re : Divergence d'un produit tenseur/vecteur

    Le contexte physique est juste de développer du point de vue numérique les équations de transport etc pour les coder en cylindrique, mais ça c'est mon travail.

    Je voulais juste savoir s'il y avait une technique simple qui me permettait effectivement de pouvoir isoler les dérivées de u et de tau afin de pouvoir les calculer plus vite (d'où le développement que je pensais correct);

    je me plonge là dedans ce we.

    Merci à tous

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