Compteur Geiger Muller

[cykasie]

Bonjour à tous et à toutes,

Je bloque sur l'exercice suivant:

Compteur Geiger Muller, Statistique de Poisson et de Gauss.

Voici le résultat d’un ensemble de mesures de radioactivité effectuées à l’aide d’un compteur Geiger Muller, situé à 10 cm d’une source de césium 137 sur laquelle on a posé un écran d’1 mm de plomb. On compte le nombre de coups pendant une seconde et on remet le compteur à zéro pour la mesure suivante.

Mesure 1 => 15 (coups/seconde)
Mesure 2 => 11
Mesure 3 => 13
Mesure 4 => 17
Mesure 5 => 17
Mesure 6 => 16
Mesure 7 => 8
Mesure 8 => 12
Mesure 9 => 22
Mesure 10 => 25
Mesure 11 => 6
Mesure 12 => 9
Mesure 13 => 9
Mesure 14 => 12
Mesure 15 => 15
Mesure 16 => 17
Mesure 17 => 20
Mesure 18 => 15

Lors des différentes expériences, on va enregistrer un certain nombre de coups ou impulsions. On cherche ici à évaluer l’incertitude sur la mesure du nombre d’impulsions. Pendant un temps dt, on enregistre donc x impulsions. On pourra constater lors des expériences, deux mesures répétées dans les mêmes conditions expérimentales ne donnent pas le même résultat (dû au caractère aléatoire des désintégrations radioactives). La principale incertitude sur la mesure est statistique. Afin de pouvoir la déterminer, on fait l'hypothèse que les mesures sont distribuées selon une loi de Gauss.

1) Comment doit-on choisir l’incertitude D en fonction de l’écart type pour que l’intervalle μ ± D contienne :

a) 68,3 % des mesures, (mesure à 68,3% de degré de confiance)
b) 95,4 % des mesures. (mesure à 95,4% de degré de confiance)

Par la suite de l'exercice, on prendra comme niveau de confiance 95,4 %, c'est à dire que l'incertitude sur x sera celle déterminée en 1.b)

On suppose qu’on effectue une mesure unique x . On rappelle que dans ce cas, μ = x (valeur moyenne) et s = racine de x (écart type).

2) Calculer le nombre de coups minimum x nécessaire pour que l'incertitude relative sur x soit : 1 % , 3 % et 10 %

3) Dans les expériences suivantes, on souhaite avoir une incertitude relative Dx/x <10%. Dans ce cas, quel est le nombre minimal d'impulsions nécessaires?

A savoir que le temps de comptage dt est variable selon les conditions des expériences et sera choisi de manière à avoir au moins xmin impulsions.

Mon problème:

Je ne vois pas comment déterminer le nombre de coups minimum x et le nombre minimal d'impulsions dans la deuxième partie de l'énoncé.

D'après ce que j'ai compris, lorsqu'on travaille sur la courbe de Gauss, on peut montrer que 68,3% de la surface de la Gaussienne est à ±1s de la valeur centrale μ et de la même façon que 95,5% de la surface de la gaussienne est à ±2s de la valeur centrale μ .

Cependant, je ne trouve pas comment faire pour déterminer ce nombre d'impulsions. Sachant que l'incertitude relative est égale à Dx/x, j'ai essayé de remplacer par la valeur de la moyenne et celle de l'écart type, mais sans grande conviction.

Voilà, s'il était possible d'avoir quelques éclaircissements à ce propos... A noter que si cet énoncé a déjà été proposé, je m'en excuse. De la même façon s'il n'y a pas assez de précisions ou autres, je tâcherais de compléter.
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[KLOUG]

Bonsoir

Ca ne va être facile pour écrire des symboles mathématiques mais je vais tenterle coup.
Dans le domaine nucléaire on distigue le nombre d'impulsions N que l'on mesure pendant un temps t. En divisant Npar t on obtient ce que l'on appelle un taux de comptage.
En matière d'incertitude et c'est là où ça devient intéressant, plus on accorde du temps à la mesure plus l'incertitude diminue.
Avec le Geiger Müller, il y a une électronique.
Soit celle -ci donne directement un taux de compatge sans qu'on puisse avoir la maîtrise du temps et c'est ce que l'on appelle dans notre jargon un ictomètre.
Soit nous pouvons maîtriser le temps de comptage grâce à ce que l'on nomme une échelle de comptage.

Dans ce dernier cas l'incertitude d'un taux de compateg n est donné par la formule :
L'incertitude absolue est égale à :
incertitude ( n ) = k x racine(n/t)
Pour k = 1 vous avez un écart type (68 % des mesures dans l'intervalle)
Pour k = 2 vous avez deux écart type (95 % des mesures dans l'intervalle)

L'incertitude relative est égale à :
incertitude absolue/n

En prenant un seul exemple :
vous avez t = 1 seconde
vous prenez k = 2
Pour une incertitude relative égale à 10 % (soit 0,1)

incertitude absolue/n = 0,1
[2 x racine(n/1)] / n = 0,1
En isolant n on a :
racine (n/n²) = 0,1/2
d'où
1/n = [0,1/2]²
n = [2/0,1]²
Soit n = 400

Dans ce cas plus l'incertitude relative sera petite plus il faudra avoir un taux de comptage élevé.
on peut aussi jouer sur le temps de comptage avec une valeur en taux de comptage donnée. Plus t sera grand plus l'incertitude relative sera petite.

Si vous avez des difficultés après cela signalez-le moi.

A bientôt
KLOUG

[cykasie]

Bonjour,

Je vais essayer d'appliquer cela aux questions posées soit:

2) Calculer le nombre de coups minimum x nécessaire pour que l'incertitude relative sur x soit : 1 % , 3 % et 10 %

3) Dans les expériences suivantes, on souhaite avoir une incertitude relative Dx/x <10%. Dans ce cas, quel est le nombre minimal d'impulsions nécessaires?

En reprenant ce que vous m'avez répondu, cela signifierait pour la question 2) que:

*On prend t = 1 seconde et k = 2.

Pour une incertitude relative égale à 3 % (soit 0,03):

incertitude absolue/n = 0,03
[2 x racine(n/1)] / n = 0,03

En isolant n, on a :

racine (n/n^2) = 0,03/2

D'où:

1/n = [0,03/2]^2
n = [2/0,03]^2
Soit n = 4 444

*On prend t = 1 seconde et k = 2.

Pour une incertitude relative égale à 1 % (soit 0,01):

incertitude absolue/n = 0,01
[2 x racine(n/1)] / n = 0,01

En isolant n, on a :

racine (n/n^2) = 0,01/2

D'où:

1/n = [0,01/2]^2
n = [2/0,01]^2
Soit n = 40 000

Pour la suite c'est-à-dire la question 3), on aurait alors:

On prend t = 1 seconde et k = 2.

*L'incertitude relative doit être inférieure à 10 % (soit 0,1):

incertitude absolue/n < 0,1
[2 x racine(n/1)] / n < 0,1

En isolant n, on obtient :

racine (n/n^2) > 0,1/2 car il me semble ici qu'entre temps, on est passé par l'inverse et donc qu'il faut changer le sens de l'inéquation

D'où:

1/n > [0,1/2]^2
n > [2/0,1]^2
Soit n > 400

En espérant ne pas avoir commis d'erreur... En effet, dans ces questions le nombre de coups minimum me paraît assez grand. Cependant, d'après ce que j'ai pu lire, plus l'incertitude relative sera petite plus il faudra avoir un taux de comptage élevé... Auriez-vous l'amabilité de me dire s'il y a quelque chose que je n'ai pas saisi (ce qui est tout à fait possible) ?

[KLOUG]

Bonsoir
Vos calcules pour les incertitudes relatives de 3 et 1 % sont corrects.
De même votre dernier calcul.

Ne vous étonnez pas du taux de comptage élévé.
Une seconde est un temps de comptage très court. Dans le cas d'une analyse dans un laboratoire de comptage le temps d'acquisition est généralement au moins d'une minute.
Faites le même calcul pour une incertitude relative de 1% mais avec un temps de comptage de 100 secondes. Vous retombez à un taux de comptage égal à 400.

A bientôt
KLOUG

[A voir en vidéo sur Futura]

[cykasie]

Bonjour,

Je vous remercie de m'avoir confirmer ce qui a été fait et surtout pour vos indications (ici, je crois que je n'aurais pas pu trouver sans cela).

Et c'est vrai que je n'avais pas pensé qu'en prenant des temps très courts, cela puisse donner quelque chose de plus important.

Voilà, encore une fois merci d'avoir pris le temps pour m'aider. Par la suite, je pense revenir (j'ai d'autres exercices en cours sur lesquels j'essaye de trouver des solutions)... Donc, rendez-vous peut-être sur un prochain sujet.

[hubhub]

Bonjour

je reviens sur ce thème en espérant apporter un petit plus pour les prochains.

La variable associée à chaque valeur est une variable aléatoire. Chaque variable aléatoire associée à une mesure est indépendante et identiquement distribuée et elles ont toutes la même espérance ainsi que le même écart-type.
Dans ces conditions, le théorème central limite s'applique.

Cordialement