Superposition: théorème ou principe ?

[livre]

Bonjour,

Si on excite un système avec une somme d'excitation, le système est linéaire si la réponse correspond à la somme des réponses correspondant à chacune des excitations prises individuellement.

En général, cette affirmation est une hypothèse permettant d'utiliser des techniques de calculs plutôt que d'autres. Si c'est une hypothèse, pourquoi dit-on que c'est un principe ou un théorème?

Est-ce que ce ne serait pas plus précis de parler d' "hypothèse de superposition", ou mieux, "hypothèse d'impédance constante"?
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[invitedbd9bdc3]

La plupart du temps on fait cette approximation pour pouvoir resoudre les equations (si c'est non-lineaire, on sait pas trop faire). Je serais plutot de ton avis c'est plus une hypothese.

[invite7ce6aa19]

Bonjour,

Si on excite un système avec une somme d'excitation, le système est linéaire si la réponse correspond à la somme des réponses correspondant à chacune des excitations prises individuellement.

En général, cette affirmation est une hypothèse permettant d'utiliser des techniques de calculs plutôt que d'autres. Si c'est une hypothèse, pourquoi dit-on que c'est un principe ou un théorème?

Bonjour,

La réponse est très simple. Dans de nombreux cas les systèmes physiques sont régient par des équations différentielles linéaires et plus généralement par des systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles. Exemple: Les équations e Maxwell.

Dans ce cas les solutions générales sont des combinaisons linéaires de solutions de référence, les solutions propres.

Quand le système n'est pas linéaire on peut faire une approximation en linéarisant les systèmes non-linéaires. Le "résidu" non linéaire étant traité, éventuellement, en perturbation.

Plus généralement, il existe une multitudes de techniques pour les systèmes non-linéaires (techniques itératives) dont le but est de ramener le problème à des problèmes linéaires.

[livre]

Dans de nombreux cas les systèmes physiques sont régient par des équations différentielles linéaires

Oui, mais ce que je ne vois pas, c'est pourquoi élever au rang de principe les propriétés des solutions des équations linéaires?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce6aa19]

Oui, mais ce que je ne vois pas, c'est pourquoi élever au rang de principe les propriétés des solutions des équations linéaires?

Effectivement ce n'est en rien un principe, c'est un constat pour ne pas dire une évidence.

[invite88ef51f0]

Salut,
C'est un principe que "pour les systèmes linéaires, il y a superposition". Ensuite, c'est une hypothèse que le système que tu étudies est linéaire.

[stefjm]

Effectivement ce n'est en rien un principe, c'est un constat pour ne pas dire une évidence.

Bonjour,
Pour moi, c'est une conséquence directe de la définition d'un système linéaire.

[invite7ce6aa19]

Bonjour,
Pour moi, c'est une conséquence directe de la définition d'un système linéaire.

Bonjour,

Effectivement c'est comme ça qu'il le dire. On appelle un système linéaire pour le quel..................

[invite9c9b9968]

Oui, mais ce que je ne vois pas, c'est pourquoi élever au rang de principe les propriétés des solutions des équations linéaires?

Hello,

Si ça te dérange, je te suggère alors de démontrer ce principe

Prend une équation différentielle linéaire. Prend une solution f(x) et une autre solution g(x), essaye de vérifier si la fonction : x -> f(x)+g(x) est aussi solution de l'équation

[livre]

Mea culpa. En fait, je crois que je mélangeais(mélange?) deux concepts:

• Théorème de superposition démontrable, Helmholtz, Kolmogorov, Duhamel
• Principe (indémontrable) de superposition concernant la superposition des champs, comme l'expliquent Feynman et Jackson

[b@z66]

Mea culpa. En fait, je crois que je mélangeais(mélange?) deux concepts:

• Théorème de superposition démontrable, Helmholtz, Kolmogorov, Duhamel
• Principe (indémontrable) de superposition concernant la superposition des champs, comme l'expliquent Feynman et Jackson

Concernant le "théorème de superposition" de Helmhotz suivant ton lien, il relève plutôt également du "principe de superposition", d'un point de vue général, mais l'habitude reste tout de même de l'appeler "théorème" dans le cadre de l'électronique.

http://en.wikipedia.org/wiki/Superposition_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Superposition_principle

[livre]

En fait, plus généralement, j'aurais plutôt tendance à associer

• Théorème modèle mathématique
• Principe observation

Bien qu'un principe puisse se traduire en théorème dans le modèle, on ne peut pas dire que la nature se comporte de telle ou telle façon parce qu'existe tel ou tel théorème. Par contre, on ne peut qu'accepter un principe. En fait, il me semble qu'il y a une certaine dualité entre les deux...

[invité576543]

En fait, plus généralement, j'aurais plutôt tendance à associer

• Théorème modèle mathématique
• Principe observation

Bien qu'un principe puisse se traduire en théorème dans le modèle, on ne peut pas dire que la nature se comporte de telle ou telle façon parce qu'existe tel ou tel théorème. Par contre, on ne peut qu'accepter un principe. En fait, il me semble qu'il y a une certaine dualité entre les deux...

Déjà, en mathématique, l'équivalent d'un principe c'est un axiome plutôt qu'un théorème. Un axiome est une hypothèse de travail, un théorème une conséquence au sens logique des hypothèses de travail.

En physique, la terminologie est floue, pour ne pas dire du grand n'importe quoi.

Le statut des hypothèses en physique est double. D'une part une hypothèse est posée a priori, comme un axiome, et d'autre part elle n'est valide que si les conséquences (au sens logique) qu'on peut tirer de cette hypothèse ne sont pas contredites par les observations. Ainsi un "principe" n'est pas à strictement parler observé, mais il n'est retenu que s'il est conforme aux observations.

Donc, déjà, il est faux que "on ne peut qu'accepter un principe". Si en maths on ne peut effectivement qu'accepter ou refuser un axiome librement, en physique l'acceptation d'un principe est une notion contrainte par l'observation.

L'élaboration de la science physique consiste à trouver un nombre aussi petit que possible de "principes" 1) dont aucune conséquence n'est contredite par les observations, 2) qui permettent de prédire un maximum d'observations futures à partir des observations présentes. Les principes sont acceptés ou rejetés à l'aune de ces deux conditions.

Vu comme cela c'est assez parallèle avec les axiomes en mathématiques, mais avec de très grosses nuances:

L'élaboration des mathématiques consiste à trouver un nombre aussi petit que possible d'axiomes 1) dont les conséquences n'incluent pas la contradiction, 2) qui permettent de prouver un maximum de propriétés considérées comme "vraies" (à un sens à approfondir) concernant des structures considérées comme intéressantes (e.g., les entiers).

Le parallèle est assez riche pour qu'on puisse "confondre" (verbalement) axiomes en maths et principes en physique, mais le détail montre bien qu'il s'agit de démarches fondamentalement différentes.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Bonjour,

Wikipédia donne la définition suivante (concernant les mathématiques) :

http://forums.futura-sciences.com/ne...reply&t=253452

On nomme postulat un principe utilisé dans la construction d'un système déductif, mais qu'on ne démontre pas lui-même, sans pour autant s'interdire la possibilité de s'y essayer plus tard (en ce sens, le postulat se distingue de l'axiome, ce dernier étant toujours posé au départ comme un élément fondamental du système qu'on ne cherchera pas à démontrer).

Patrick

[livre]

Bonjour,

Merci beaucoup, je vois beaucoup mieux la différence entre les deux.

J'aurais encore une question (aussi pour voir si j'ai bien compris):
pour les travaux virtuels; c'est un principe ou un théorème?
(Je penserais plutôt que c'est un principe, puisqu'il est basé sur les lois de Newton)