Qu'est ce qu'un champ en TQC relativiste?

[invite54165721]

Bonjour,

Pour préciser la question qui est dans le titre,
Comment définir mathématiquement un champ?
Je suppose qu' il y a plusieurs approches possibles.
-----

[invitea774bcd7]

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics)
Un truc qui a une certaine valeur en chaque point de l'espace-temps

[invite54165721]

Un truc

Excellent point de départ mais quel truc ?

[winc]

http://en.wikipedia.org/wiki/Field_(physics)
Un truc qui a une certaine valeur en chaque point de l'espace-temps

salut,

c'est beaucoup plus compliqué que ça ! C'est une notion difficile à introduire de but en blanc et à vulgariser (éventuellement).

Tout d'abord quel niveau d'étude as-tu et/ou quels sont tes connaissances sur le sujet ?

Pardon je n'avais pas vu votre âge, je dirai donc vous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[winc]

je m'absente une heure, je vous répondrais précisément tout à l'heure (si cela n'aura pas été fait par un autre spécialiste !)

[mariposa]

Bonjour,

Pour préciser la question qui est dans le titre,
Comment définir mathématiquement un champ?
Je suppose qu' il y a plusieurs approches possibles.

Bonjour,

Comme le dit Gueremo un champ c'est une grandeur Fi qui dépend de (x,y,z,t).

En physique classique ces champs sont des solutions d'équations aux dérivées partielles. par exemple en hydrodynamique on cherche à déterminer le champ de vitesse v(x,y,z,t) comme solution des équations de Naviers-Stokes.

En physique quantique les champs deviennent des opérateurs. Cela est le résultat des travaux de Dirac concernant la recherche de l'équation d'onde relativiste de l'électron.

C'est face a des contradictions (probabilités négatives, masses négatives ) que Dirac a établit une révolution conceptuelle au sein de la MQ.

c'est ainsi que les fonctions d'onde sont devenus des opérateurs qui agissent dans des espaces d'occupation (espaces de Fock). Ce qui a introduit ce que l'on appelle (à tord) la

seconde quantification.

C'est ainsi que les éléments de matrices de la MQ classiques deviennent des éléments de matrices entre l'état du vide:

<0|A.B.C.D...|0>

|0> represente le vide

A.B.C.D etc... represente un produit d'opérateurs de "seconde "quantification

dans le cas d'une théorie de perturbation (en representation d'Heisenberg) il y a un ensemble de techniques qui permettent de calculer chaque ordre de perturbation et d'arriver aux representations graphiques de Feymann.

[invite54165721]

Bonjour winc,

Le vous n'est pas de rigueur
D'ailleurs en parlant de moi je ne dis pas nous.

dans ce fil au # 23
je citais une définition qui me pose des pb de compréhension .

[invite54165721]

<0|A.B.C.D...|0>

|0> represente le vide

A.B.C.D etc... represente un produit d'opérateurs de "seconde "quantification

D'après ce que j'ai pu en lire définir un champ par des opérateurs dépendant de x y z t poserait des problèmes de mauvaises définition.
Pour y échapper Wightman introduit des fonctions test. C'était l'objet du #23 cité plus haut (j'aimerais comprendre de quoi il sagit)

[mariposa]

D'après ce que j'ai pu en lire définir un champ par des opérateurs dépendant de x y z t poserait des problèmes de mauvaises définition.

Il n'y a pas de problèmes de ce genre. Les champs sont décomposés en série de Fourier. C'est cette méthode qui a aboutit à avoir des accords théorie-expérience avec 10 chiffres significatifs.!

Pour y échapper Wightman introduit des fonctions test. C'était l'objet du #23 cité plus haut (j'aimerais comprendre de quoi il sagit)

Je vais regarder, mais cela me semble plutôt mathématique que physique.

[mariposa]

D'après ce que j'ai pu en lire définir un champ par des opérateurs dépendant de x y z t poserait des problèmes de mauvaises définition.
Pour y échapper Wightman introduit des fonctions test. C'était l'objet du #23 cité plus haut (j'aimerais comprendre de quoi il sagit)

Je viens de regarder, en vitesse. Il s'agit d'un problème purement technique lié à la manipulation des distributions. C'est pourquoi il parle de fonctions tests. donc rien à voir avec la physique.

[invite54165721]

bonjour Mariposa

Dans leur livre "PCT, spin and statistic, and all that",
Streater et Wightman écrinent que pour le champ électrique E l'opérateur E(x,t) est mal défini alors que qu'avec des fonctions f à support compact et indéfiniment dérivables

est parfaitement défini.
Peut on balayer ceci d'un revers de main en disant ce n'est pas de la physique?
J'avais trouvé ca intéressant car les fonctions test f se transforment de facon connue par les transformations de RR de meme que les operateurs E associés.
Avec bien sur les trucs que je ne comprends pas.

[mariposa]

bonjour Mariposa

Dans leur livre "PCT, spin and statistic, and all that",
Streater et Wightman écrinent que pour le champ électrique E l'opérateur E(x,t) est mal défini alors que qu'avec des fonctions f à support compact et indéfiniment dérivables

est parfaitement défini.
Peut on balayer ceci d'un revers de main en disant ce n'est pas de la physique?

.
Bah non, c'est vraiment pas de la physique. C'est de la rigueur mathématiques (surtout lorsqu'il s'agit de distributions). 99% des physiciens font confiance aux mathématiciens et ne vont pas vérifier le bien fondé des choses (on ne peut pas être au four et au moulin).

Par ailleurs, dans 99% des cas on travaille en representation de Fourier et le problème ne se pose pas (à ma connaissance).

J'avais trouvé ca intéressant car les fonctions test f se transforment de facon connue par les transformations de RR de meme que les operateurs E associés.

;
Au vu de l'intégrale il s'agit visiblement d'un produit scalaire <f|E> avec f(x,t) qui se transforme comme E(x,t) pour donner un invariant de Lorentz.

[invite54165721]

.
Bah non, c'est vraiment pas de la physique. C'est de la rigueur mathématiques (surtout lorsqu'il s'agit de distributions). 99% des physiciens font confiance aux mathématiciens et ne vont pas vérifier le bien fondé des choses (on ne peut pas être au four et au moulin).

D'accord mais quand on est à la retraite pourquoi pas jeter un coup d'oeil du coté des 1%.
Il me semble qu'il y a quelque chose de très physique dans l'article de Rovelli:
Quand on ne dispose que d'un metre cube et d'une seconde pour faire une mesure on a une fonction d'onde f qui s'annule au dehors de cette partie d'espace temps et un opérateur (et pas ) pour cette mesure.

[mariposa]

D'accord mais quand on est à la retraite pourquoi pas jeter un coup d'oeil du coté des 1%.
Il me semble qu'il y a quelque chose de très physique dans l'article de Rovelli:
Quand on ne dispose que d'un metre cube et d'une seconde pour faire une mesure on a une fonction d'onde f qui s'annule au dehors de cette partie d'espace temps et un opérateur (et pas ) pour cette mesure.

Il faudrait mieux connaître le contexte de la question. S'il s'agit de LQG, c'est vraiment pas simple, je ne connais d'ailleurs pas le sujet. Les questions mathématiques sont très hardues.

[invite54165721]

Ce n'est pas du tout de la LQG.
J'essaie de comprendre des choses beaucoup plus "classiques"
Rovelli écrit "aussi" des choses qui semblent tout a fait sensées
Si tu as le temps regarde ceci http://arxiv.org/abs/gr-qc/0212074
en particulier page 4 en haut à Consider...
Il y a là quelque chose qui me parait etre de la physique pure et pas seulement des maths.
Il y a le lien direct entre la région de l'espace temps de la mesure et ce qui peut etre mesuré!
je crains fort que ce genre de questions reste sans réponse de la part de ceux qui seraient parfaitement capables d'y répondre simplement parce qu'ils ne se sentiraient pas concernés.

merci

[invite8ef897e4]

Bonjour

Bah non, c'est vraiment pas de la physique. C'est de la rigueur mathématiques (surtout lorsqu'il s'agit de distributions).

Je ne suis pas completement d'accord avec cette affirmation. Il est bien physique de dire que l'on ne peut mesurer un champ que dans un volume fini, arbitrairement petit, mais jamais nul. C'est le contenu physique de l'equation citee.

[winc]

Re-bonjour,

Plutôt que de poursuivre la tournure de la discussion, je préfère répondre à la question initiale afin de poser certains concepts essentiels à la compréhension de ce qu'est un champs dans la TQCR(Théorie Quantique des Champs Relativiste).

Si vous posez cette question j'imagine que vous avez une certaine maîtrise de la mécanique quantique non-relativiste, de la relativité restreinte, et des maths qui vont avec. Bien entendu, plus vous voudrez aller loin dans l'explication ( en fait jusqu'à la formulation des règles de Feynman et des calculs de section efficace d'interaction), plus les maths seront ardus.

Pour commencer, toute TQCR a pour but (initial) de décrire sous forme de champs l'ensemble des particules élémentaires, aussi bien les fermions, que les bosons vecteurs de l'interaction de ces même particules (Vous comprenez pourquoi votre question est très vaste !).

Les champs sont donc des particules. On les définis comme les solutions de l'équation de propagation de la théorie. En mécanique quantique non-relativiste, l'état d'une particule (i.e. finalement LA particule) est décrit par une fonction d'onde et représente l'amplitude de probalilté de présence de la particule au point . Elle est solution de l'équation de Scrödinger (pour une particule de masse soumise à un potentiel ):



où est le Laplacien tel que :
On verra qu'un champs représente beaucoup plus que cela en TQCR, et permet de décrire précisément la nature de l'interaction à laquelle est soumise la particule. Pour vraiment comprendre ce qu'est un champs, il faut tout d'abord écrire l'équation de propagation dont il est solution. La résolution de celle-ci nous permettra de formuler mathématiquement un champs en TQCR.

La TQCR la plus simple pour commencer est l'électrodynamique quantique (QED en anglais). Elle décrit l'interaction entre n'importe quelles particules possédant une charge électrique, via le photon. Elle est idéale comme introduction d'une TQCR car elle est "facilement" généralisable à l'ensemble des interactions fondamentales (sauf la gravitation bien sur !).

On cherche tout d'abord une équation quantique qui tienne compte de l'éventuel caractère relativiste d'une particule chargé. Dans la limite non-relativiste, on devra bien sur retomber sur l'équation de Scrödinger.
Le point de départ de la QED alors est la formulation relativiste de l'énergie d'une particule de masse et d'impulsion (on travaillera en unité naturelle où , et parfois en unité de Heaviside ou l'on ajoute la condition ) :



On lui applique alors le principe de correspondance de la mécanique quantique :



(au passage si on applique ce principe à l'énergie cinétique non-relativiste, on retombe sur l'équation de Scrödinger)
pour obtenir :


Si on l'applique à un champ quelconque et qu'on retablie les notation classiques, on a alors :



C'est l'équation de Klein-Gordon. On remarque une certaine similitude avec celle de Scrôdinger. Si on désire obtenir une formulation covariante de l'équation de Kein-Gordon, on introduit la notation :





on a alors(on repasse en unités naturelles) :



où (selon la convention de sommation d'Einstein habituelle)

Si l'on cherche des solutions simples de cette équation de la forme ( est le pseudo-produit scalaire du quadrivecteur d'onde et du quadrivecteur position ), vous pouvez vérifier que l'on obtient une égalité surprenante et surtout gênante, qui va nous améner à reconsidérer le problème et ainsi introduire le pilier de la QED : l'équation de Dirac.

Voilà je vais m'arrêter là pour ce soir (il est quand même 3H29 !). N'hésitez pas à me dire si vous n'avez rien compris à ce que je viens de dire ou si au contraire je peux me permettre d'aller plus vite pour arriver à la formulation mathématique d'un champs en TQCR.

bonne nuit
winc

[invite8ef897e4]

Bonjour Winc,

tu commences a etudier ces questions, non ?

[invite93279690]

Ce qui a introduit ce que l'on appelle (à tord) la
seconde quantification.

Salut,

Pourquoi "à tord" ?

[mariposa]

Salut,

Pourquoi "à tord" ?

Bonjour,

Il s'agit de l'appelation de la chose et non la chose elle-même.

Donc à tord dans la mesure ou seconde quantification laisse entendre qu'il s'agit d'une "deuxième couche" de quantification. C'est un des multiples exemples ou les mots en MQ sont trompeurs, d'où le netoyage sémantique que je préconise. En l'occurence je n'ai pas de solution alternative pour ce terme.

[mariposa]

Ce n'est pas du tout de la LQG.
J'essaie de comprendre des choses beaucoup plus "classiques"
Rovelli écrit "aussi" des choses qui semblent tout a fait sensées
Si tu as le temps regarde ceci http://arxiv.org/abs/gr-qc/0212074
en particulier page 4 en haut à Consider...
Il y a là quelque chose qui me parait etre de la physique pure et pas seulement des maths.
Il y a le lien direct entre la région de l'espace temps de la mesure et ce qui peut etre mesuré!
je crains fort que ce genre de questions reste sans réponse de la part de ceux qui seraient parfaitement capables d'y répondre simplement parce qu'ils ne se sentiraient pas concernés.

merci

Bonjour,

Bien entendu et en toute rigueur physique et mathématiques ne sont pas du tout étanches. Puisqu'il s'agit d'un problème classique il faudrait le reformuler dans un contexte de champ classique. Cela permettrait d'y voir plus clair. Cela devrait se ramener à un problème de distribution. Ce sera pour moi et d'autres l'occasion de se replonger dans la théorie des distributions.

[mariposa]

Bonjour Winc,

tu commences a etudier ces questions, non ?

Bonjour,

Sans aucun doute.

[winc]

Bonjour Winc,

tu commences a etudier ces questions, non ?

salut humanino,

je les ai étudié il y a quelques années en DEA (ancien master 2) de physique subatomique.

[winc]

Bonjour,

Il s'agit de l'appelation de la chose et non la chose elle-même.

Donc à tord dans la mesure ou seconde quantification laisse entendre qu'il s'agit d'une "deuxième couche" de quantification. C'est un des multiples exemples ou les mots en MQ sont trompeurs, d'où le netoyage sémantique que je préconise. En l'occurence je n'ai pas de solution alternative pour ce terme.

C bien le terme qu'il faut employer "seconde quantification". Comme son nom l'indique c'est un second niveau de quantification des champs qui généralise cette notion dans la théorie par rapport à une simple quantification de la relativité restreinte (principe de correspondance, cf plus haut).
On aura l'occasion de le voir car c'est en plein dans la question originale du topic.

[mariposa]

Re-bonjour,

Plutôt que de poursuivre la tournure de la discussion, je préfère répondre à la question initiale afin de poser certains concepts essentiels à la compréhension de ce qu'est un champs dans la TQCR(Théorie Quantique des Champs Relativiste).

Bonjour,

La TQC n'a pas de rapport immédiat avec la RR. En physique du solide on emploie la TQC et pourtant on travaille sur des équations invariantes galiléennes.

Pour commencer, toute TQCR a pour but (initial) de décrire sous forme de champs l'ensemble des particules élémentaires, aussi bien les fermions, que les bosons vecteurs de l'interaction de ces même particules (Vous comprenez pourquoi votre question est très vaste !).

Non ce n'est pas le but initial mais la conclusion finale!

Les champs sont donc des particules.

même remarque que précedemment. Affirmation a priori.

On les définis comme les solutions de l'équation de propagation de la théorie. En mécanique quantique non-relativiste, l'état d'une particule (i.e. finalement LA particule) est décrit par une fonction d'onde et représente l'amplitude de probalilté de présence de la particule au point . Elle est solution de l'équation de Scrödinger (pour une particule de masse soumise à un potentiel ):



où est le Laplacien tel que :
On verra qu'un champs représente beaucoup plus que cela en TQCR, et permet de décrire précisément la nature de l'interaction à laquelle est soumise la particule.

.
Tu as l'air de dire qu'un champ c'est beaucoup plus qu'une fonction d'onde. Ceci est faux. Un champ c'est autre chose. mais quoi?

On verra qu'un champs représente beaucoup plus que cela en TQCR, et permet de décrire précisément la nature de l'interaction à laquelle est soumise la particule.

La fonction d'onde d'un système en MQ prend en compte toutes les interactions (du moins celles-ci qui sont pris en compte dans l'hamiltonien). Par compte un champ décrit une catégorie de partcules libres. Ce sont les interactions entre champs qui décrivent les interactions entre particules.

La TQCR la plus simple pour commencer est l'électrodynamique quantique (QED en anglais).

dans 6 moins tu trouveras çà pas simple. Dans 1 an compliqué et dans 2 ans très compliqué.

Elle décrit l'interaction entre n'importe quelles particules possédant une charge électrique, via le photon.

C'est ce qu'il faudra démontrer.

Elle est idéale comme introduction d'une TQCR car elle est "facilement" généralisable à l'ensemble des interactions fondamentales (sauf la gravitation bien sur !).

Cà c'est pas vrai du tout. La généralisation aux autres interactions se fait grace à un principe d'invariance de jauge. Et la TQC n'est pas impliquée puisque l'on reste au niveau classique (non quantique)

On lui applique alors le principe de correspondance de la mécanique quantique :

[


C'est l'équation de Klein-Gordon. On remarque une certaine similitude avec celle de Scrôdinger. Si on désire obtenir une formulation covariante de l'équation de Kein-Gordon, on introduit la notation :

Ton équation de Klein-Gordon est covariante par construction puisque c'est la "copie tensorielle" de:

[mariposa]

C bien le terme qu'il faut employer "seconde quantification". Comme son nom l'indique c'est un second niveau de quantification des champs qui généralise cette notion dans la théorie par rapport à une simple quantification de la relativité restreinte (principe de correspondance, cf plus haut).
On aura l'occasion de le voir car c'est en plein dans la question originale du topic.

Bonjour,

Absolument pas. Il n'y a pas deux niveaux de quantification. Montre nous un exemple:

Premier niveau de quantification: ......tatata
Deuxième niveau de quantification:....tatata....

[invite93279690]

Bonjour,

Il s'agit de l'appelation de la chose et non la chose elle-même.

Donc à tord dans la mesure ou seconde quantification laisse entendre qu'il s'agit d'une "deuxième couche" de quantification. C'est un des multiples exemples ou les mots en MQ sont trompeurs, d'où le netoyage sémantique que je préconise. En l'occurence je n'ai pas de solution alternative pour ce terme.

Je ne sais pas ce que tu appelles " deuxième couche de quantification" mais j'aurais pourtant tendance à distinguer deux cas a priori differents dans leurs axiomes.
La mécanique quantique (ou première quantification) qui comme son nom l'indique promeut au rang d'opérateur les observables mécaniques associées à une particule de masse non nulle (généralisable au cas à N part.). Cela revient à promouvoir l'impulsion et la position au rang d'opéateurs en les associant canoniquement via un commutateur. De cette "promotion" de ces deux observables, toutes les observables mécaniques pouvant être écrites comme des fonctions de la position et de l'impulsion sont d'office des opérateurs.
La TQC (ou seconde quantification) qui comme son nom l'indique consiste à promouvoir au rang d'opérateur des champs comme le champ électrique ou le champ magnétique (ou plutot le quadripotentiel ) et à relier le champ lui même à son impulsion conjuguée via une relation de commutation. Par ailleurs dans cette approche, le concept de fonction d'onde est bandonné même si on ne regarde qu'une seule particule et les equations associées de Schrodinger, de Klein-Gordon ou de Dirac sont vérifiées par des champs.
Il me semble donc qu'il y a une difference conceptuelle assez nette entre les deux qui justifie l'utilisation d'un terme nouveau (comme "seconde quantification") mais bon je ne suis pas non plus super au point sur ces choses là...

[mariposa]

Il me semble donc qu'il y a une difference conceptuelle assez nette entre les deux qui justifie l'utilisation d'un terme nouveau (comme "seconde quantification") mais bon je ne suis pas non plus super au point sur ces choses là...

Bonjour,

Il n'y a fondamentalement aucune différence conceptuelle. Pour le démontrer je vais rester au sein de la MQ classique.

Historiquement la seconde quantification avec son vocabulaire d'opérateurs créations/annihililation est lié à l' obervation qu'au sein de la physique des particules il y a lors des collisions disparitions et créations de particules.

Mais ceci n'est pas l'apanage de cette physique. Par exemple en physique du solide galiléenne un électron gagne ou perd de l'énergie en annihilant ou en créant en phonon. Les phonons sont donc en quantité variables et c'est le cas de toutes les excitations collectives (magnons, excitons, plasmons, polaritons, etc...).

Ce constant cela suggére une nouvelle technique de representation: La representation d'occupation.

Un état à n particules |n> c'est un état vide sur le quel on applique n fois l'opérateur création |n> = A.A.A...1|0>. La conséquence de cette representation est que l'état n'évolue pas dans le temps. Autrement dit nous sommes entrainer mécaniquement en representation d'Heisenberg. Prenons un exemple:

Soit un électron k1 qui fait une collision sur une particule representée par un potentiel V(r) pour arriver dans l'état k2. dans la MQ standard il faut calculer l'élement de matrice

<k2|V(r)|k1> au premier ordre de perturbation.

Dans le langage de la representation d'occupation, on dira que la particule est crée par une excitation (1,k1) sur le vide, puis interagit avec le potentiel puis est détruite en (1,k2) vers le vide.

Maintenant le potentiel V(r) doit lui-même être écrit dans le langage de seconde quantification. Par transformée de Fourier celui-ci se décompose en "ondes planes" et l'on voit ainsi que son action peut-être décrit en langage d'opérateurs annihilation et création (c'est un simple changement de base) a partir des opérateurs positions et plus généralement des opérateurs quantité de mouvement.

Au bout du compte l'élement de matrice s'écrira:

<0|A.B.C.D....|0>

où A, B, C, D sont des suites d'opérateurs création annihilation.

Bien sur dans cet exemple le formalisme est lourd et inutile, mais il montre naturellement que le concept de representation d'occupation est mécaniquement une represention d'Heisenberg qui entraine que les opérateurs portent l'évolution (et non les fonctions d'onde qui n'existent plus) et sont exprimables en termes d'opérateurs création annihilation.

En fait fondamentalement la philosophie qui se dégage est que TQC est performante pour traiter les problèmes en nombre infini de variables, d'où son utilité en physique des particules (un champ c'est tout simplement un nombre infini de variables) ou en physique du solide pour le problème à N corps, N vaut 10 puissance 23. C'est une très mauvaise idée d'associer conceptuellement TQC et RR car le point de rencontre c'est l'infini et rien d'autre.

[invite93279690]

Bonjour,
Il n'y a fondamentalement aucune différence conceptuelle. Pour le démontrer je vais rester au sein de la MQ classique.
Historiquement la seconde quantification ....C'est une très mauvaise idée d'associer conceptuellement TQC et RR car le point de rencontre c'est l'infini et rien d'autre.

Je pensais que tu allais répondre un truc du genre. Je suis d'accord avec toi et je n'ai pas dit une seule fois que TQC et RR étaient associées.
Reste qu'en "seconde quantification", il n'y a plus de fonction d'onde et que les equations vérifiées historiquement par la fonction d'onde sont maintenant vérifiées par des opérateurs de champs dont les particules associées (au sens large i.e. incluant les particules type magnon, phonon etc..) en sont des excitations élémentaires.

Je n'ai absolument pas utilisé le formalisme en terme de nombre d'occupation parce que je sais très bien que ça ne caractérise pas fondamentalement ce que j'appelle seconde quantification.

En ce qui concerne l'opérateur V(r) que tu donnes dans ton exemple. En première quantification V(r) ne serait un opérateur que parce c'est une fonction de la position qui est promut au rang d'opérateur alors qu'en seconde quantification V(r) est lui même un opérateur indépendamment du fait que r soit considéré comme un opérateur ou non. Cette dernière distinction me laisse tout de même penser qu'il y a une difference entre les deux formulations.

[mariposa]

Je pensais que tu allais répondre un truc du genre. Je suis d'accord avec toi et je n'ai pas dit une seule fois que TQC et RR étaient associées.

Je dis cela sur Futura car les intervenants voient apparaitre TQC en rapport avec la RR et cela est largement induit par les livres de physique de particules élémentaires et de QFT.

Reste qu'en "seconde quantification", il n'y a plus de fonction d'onde et que les equations vérifiées historiquement par la fonction d'onde sont maintenant vérifiées par des opérateurs de champs dont les particules associées (au sens large i.e. incluant les particules type magnon, phonon etc..) en sont des excitations élémentaires.

Il est vrai que les fonctions d'onde classiques (MQ) deviennent des opérateurs mais cela ne veut pas du tout dire que les opérateurs correspondants obéissent à l'équation de Schrodinger.

Voilà une presentation résumée de ce qui se passe:

En MQ classique la valeur moyenne deO noté <O> vaut:

<O> = Intégrale de Fi (x,t)O(x,t)Fi(x,t)d3x

<0> est un nombre
Fi(x,t) est une fonction d'onde en representation de Schrodinger.
O(x,t) est un opérateur qui agit dans l'espace des fonctions d'onde.

Après développement du formalisme de "seconde quantification" on fabrique un opérateur qui s'écrit:

O = Intégrale de Fi (x).O(x,t).Fi(x)d3x

O est maintenant un opérateur.

Fi(x) est un opérateur qui agit dans l'espace de fock (la representation d'occupation).

O(x,t) est un opérateur.

On note que l'opérateur Fi (x) ne dépend pas de temps, nous sommes passer en representation d'Heisenberg induite par la representation d'occupation.

En résumé à la moyenne d'un opérateur correspond en seconde quantification un opérateur qui agit dans l'espace de Fock, mais cet opérateur n'obéit à a aucune équation. C'est en quelque sorte une simple prescription d' écriture.
En pratique, dans un solide ou en physique des particules élémentaires on utilise l'invariance galilénne (ou Lorentzienne), qui est un argument de groupe et donc les representations des nombres d'occupation sont construits sur des bases d'onde planes. Les opérateurs création et annihilation se déduisent des opérateurs champs précédents par une transformée de Fourier.

Je n'ai absolument pas utilisé le formalisme en terme de nombre d'occupation parce que je sais très bien que ça ne caractérise pas fondamentalement ce que j'appelle seconde quantification.

Ce que l'on appelle seconde quantification découle mécaniquement de la representation d'occupation. L'un ne va pas sans l'autre.