Vitesse de libération

[invite762c0631]

Bonjour, j'ai un problème pour la compréhension d'un énoncé...

Le voici: La terre est assimilable à une sphère de centre O, de masse Mt et de rayon Rt. La force conservative qu'elle exerce sur un point matériel M de masse m est Vect(Fg) = -GMtm/OM² vect(e_O=>M) avec vect(e_O=>M) le vecteur unitaire orienté de O vers M. On admet que le mouvement est plan et on se place en coordonnées cylindrique d'ogirine O de sorte que la trajectoire de M est inscrite dans le plan d'équation z =0

1) donner l'expression en coordonnée cylindrique en fonction de G, Mt, m, r, et vect(er)
=> J'ai vect(Fg)=-GMtm/r² vect(er)

2) en considérant l'expression de cette force à la surface de la terre, montrer que vect(Fg)=-mgRt²/r² vect(er)
=> Là, je ne comprend pas et je ne retrouve pas... G devient g car surface de la terre (ref supposé galiléen), m est toujours la même, Mt devient négligeable car à la surface de la Terre, mais pourquoi Rt²/r²? je ne sais pas comment trouver cela...

3)en faisant l'hypothèse que l'énergie potentielle de gravitation Epg est nulle à trsè grande distance de la terre, montrer que Epg= -C/r avec C une constante en fonction de m, g et Rt.
=> Là, je suis parti de l'expression donnée plus haut, j'ai fait la variation dEpg, le travail élémentaire, j'ai intégré et j'ai trouvé Epg= -mgRt/r avec C=mgRt

4) L'expression obtenue a t-elle un sens quend r<Rt? Pourquoi? en tenant compte de cette remarque, représenter Epg en fonction de r, commenter l'allure.
=> j'ai dit que si r diminue, Epg diminue et que donc si r devient inférieure à Rt, Epg sera très faible et donc n'aura plus de sens...

5) Le point matériel M est un obus tiré verticalement de la surface de la terre avec une vitesse initiale vo. Frottement négligés. Donner l'expression de la valeur minimale de vo permettant à l'obus d'échapper à l'attraction terrestre en fonction de g et Rt.
=>En analysant, l'énergie mécanique est conservée donc Emi=Emf
<=>1/2mvo² +mgzo= 1/2mvf² +mgz <=>1/2mvo²=mgz avec z= Rt parce ca doit être la distance minimale possible de l'attraction terreste
donc vo= racine carrée(2gRt)
mais je ne suis pas sûr du tout...

Voilà, su vous pouviez m'éclairer sur certains points, cela m'aiderait beacoup...
Merci beaucoup pour votre réponse!
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[inviteb836950d]

=> Là, je ne comprend pas et je ne retrouve pas... G devient g car surface de la terre (ref supposé galiléen), m est toujours la même, Mt devient négligeable car à la surface de la Terre, mais pourquoi Rt²/r²? je ne sais pas comment trouver cela...

Bonjour
je me suis arrêté à la question 2 car deux grosses bêtises...

"G devient g" non G est une constante universelle, à la surface de la terre on peut écrire f=mg, à toi de déduire ce que vaut g.

"Mt devient négligeable car à la surface de la Terre" ça, c'est pas mal...

[invite762c0631]

Ah oui, non, en fait j'ai confondu tout les g... -_-'

G, le champ de gravitation est égal à g, le champ de pesanteur à la surface de la terre
et G est égal à GMt/r² donc g=GMt/r²
Or, mais ici, la distance à la surface de la terre c'est Rt², donc g deviendrait g=GMt/Rt²
Et F=-GMt/Rt² * m/r² * Rt² pour compenser le /Rt²

Heu, je ne sais pas si ca marche comme ca, mais autrement, je ne vois pas pourquoi un Rt² apparait au numérateur...

[invite762c0631]

Pour les dernières questions, si je prend l'énergie mécanique conservée, cela donne:
Emi=1/2mvo² + Epg et Emf=1/2mv² +Epg or Emf est à une grande distance, donc Epg est nulle tout comme 1/2mv² car vitesse tend vers l'infini, et Epg initial est - mRtg/r
donc j'aurai vo=racinecarrée(2Rtg/r)
or, je dois trouver la même chose sans r...

alors, je voudrais savoir si 1/r est négligeable car r très grand quand on s'éloigne de la terre?
De plus, si r<Rt, cela est entre le centre et la surface de la terre, l'Epg n'a plus de sens à cet endroit, mais comment pourrai-je le justifier correctement?

Je vous remercie d'avance pour votre aide!
(et désolé pour le double message...)

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