relativité restreinte: dilatation du temps et symétrie

**fabio123** · 01/12/2008, 12h45

bonjour,

j'ai un problème concernant la dilatation des durées en relativité restreinte.
Si je prends un référentiel R fixe et un autre référentiel R' se déplaçant à une vitesse v dans le sens des x croissants par rapport à R, j'ai la relation:

$\text{[math]}$ (eq1)

Maintenant, si je considère une situation équivalente, c'est à dire, R' est fixe et R se déplace à une vitesse -v, je peux écrire:

$\text{[math]}$ (eq2)

où le $\text{[math]}$ de (eq1) et (eq2) sont égaux car v est elevé au carré.
Je ne comprends pas pourquoi ces deux situations équivalentes ne donnent pas la même relation entre t et t'. (J'aimerais trouver pour (eq2): $\text{[math]}$ En effet, en combinant (eq1) et (eq2), on arrive à une absurdité: $\text{[math]}$

Merci par avance pour les éclaircissements que vous pourrez me donner.

invite09c180f9 · 01/12/2008, 13h21

Bonjour,

cela est simplement dû au fait que dans la première équation tu poses t le temps dans le repère "fixe" et t' celui prit dans le rapport en mouvement par rapport au premier.
Alors que dans la seconde tu poses t' le temps dans le repère "fixe" et t celui dans le repère en mouvement par rapport au précédent...

invité576543 · 01/12/2008, 14h03

Hmm... C'est surtout dû à ce qu'on ne peut pas transformer la coordonnée temporelle indépendamment des coordonnées spatiales.

Le changement de coordonnées est (t, x)_A --> (γ(t-vx/c²), γ(x-vt))_B, et le changement inverse est (t', x')_B --> (γ(t+vx/c²), γ(x+vt))_A. On a bien la même dilatation du temps, c'est la constraction des distances qui remet tout dans l'ordre.

Cordialement,

**fabio123** · 01/12/2008, 16h24

merci pour ces réponses rapides.
j'aurais du mettre dans l'intitulé "dilatation des durées et réciprocité".............
j'ai du mal à comprendre le fait qu'il y ait dilatation des durées à la fois pour R et R'. Pourtant d'après les changement de variables (ct, x) cités plus haut, on a
bien :

$\text{[math]}$ (eq1)

et $\text{[math]}$ (eq2)

Je pose cette question suite à la lecture d'une introduction à la relativité, voici le passage que je ne comprends pas:

Considérons un ensemble de particules instables de vie moyenne $\text{[math]}$ dans le référentiel où elles sont au repos, et supposons pour simplifier que ces particules se désintègrent exactement au bout d'un temps $\text{[math]}$ . Si ces particules se déplacent à une vitesse v dans un référentiel d'inertie R, un observateur dans ce référentiel trouvera que les particules se désintègrent au bout d'un temps $\text{[math]}$ , en raison de la relation entre le temps propre de la particule et le temps mesuré par l'observateur. Les particules parcourent donc dans R non pas une distance $\text{[math]}$ mais une distance $\text{[math]}$ . Supposons que soit disposée dans R une densité linéaire de charges $\text{[math]}$ suivant la direction de la vitesse des particules, une particule verra, pendant un temps $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ charges. En résumé, une particule voit les charges défiler à la vitesse -v, et elle observe une densité de charges qui n'est pas $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$

.

Même si on se met dans la situation équivalente où les particules sont fixes dans R et les charges se déplacent à la vitesse -v par rapport à R, comment se fait-il que la particule voit $\text{[math]}$ charges ?, est ce du au fait que la particule parcourt $\text{[math]}$ pour un observateur dans R ?

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invité576543 · 01/12/2008, 16h58

Envoyé par fabio123

Pourtant d'après les changement de variables (ct, x) cités plus haut, on a
bien :

$\text{[math]}$ (eq1)

et $\text{[math]}$ (eq2)

Oui, et pourtant les matrices de transformations sont bien inverses l'une de l'autre.

Tu peux rapprocher cela de la vue en perspective : si tu regardes un objet au loin, il apparaît plus petit que s'il est prêt, et c'est réciproque! Il y a un effet similaire dans la transformation de Lorentz.

Même si on se met dans la situation équivalente où les particules sont fixes dans R et les charges se déplacent à la vitesse -v par rapport à R, comment se fait-il que la particule voit $\text{[math]}$ charges ?, est ce du au fait que la particule parcourt $\text{[math]}$ pour un observateur dans R ?

Comme il y a un effet de la transformation sur les distances, il y a un effet sur les densités linéaires.

La transformation laisse invariant le 4-volume (par exemple délimité par (t1, x1), (t1, x2), (t2, x1), (t2, x2) complétés par des intervalles Dy Dz). Le nombre de désintégration dans un 4-volume est vu identique dans les deux référentiels. La 4-densité est invariante, mais la décomposition en intervalle de temps et 3-volume est différente.

Cordialement,

**fabio123** · 21/12/2008, 02h21

Bonjour,

je me suis remis à l'étude de la relativité restreinte et j'avoue que je continue à bloquer sur ce passage d'une introduction à cette théorie trouvée sur le net :

Considérons un ensemble de particules instables de vie moyenne $\text{[math]}$ dans le référentiel où elles sont au repos, et supposons pour simplifier que ces particules se désintègrent exactement au bout d'un temps $\text{[math]}$ . Si ces particules se déplacent à une vitesse v dans un référentiel d'inertie R, un observateur dans ce référentiel trouvera que les particules se désintègrent au bout d'un temps $\text{[math]}$ , en raison de la relation entre le temps propre de la particule et le temps mesuré par l'observateur. Les particules parcourent donc dans R non pas une distance $\text{[math]}$ mais une distance $\text{[math]}$ . Supposons que soit disposée dans R une densité linéaire de charges $\text{[math]}$ suivant la direction de la vitesse des particules, une particule verra, pendant un temps $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ charges. En résumé, une particule voit les charges défiler à la vitesse -v, et elle observe une densité de charges qui n'est pas $\text{[math]}$ mais
$\text{[math]}$

Je comprends jusqu'à "Les particules parcourent donc dans R non pas une distance $\text{[math]}$ mais une distance $\text{[math]}$ . ", R' étant en mouvement et un observateur dans R fixe qui voit la particule parcourant $\text{[math]}$ .

Après, je bloque sur "Supposons que soit disposée dans R une densité linéaire de charges $\text{[math]}$ suivant la direction de la vitesse des particules, une particule verra, pendant un temps $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ charges."

Ici, on ne suppose plus R' en mouvement mais R se déplaçant à la vitesse -v par rapport à R' où il y a la distribution linéaire de charges $\text{[math]}$ .

(1) Est ce que cette situation (R se déplaçant à -v par rapport à R' fixe) est équivalente à prendre R fixe et R' se déplaçant à v ?
(2) Pouvez vous me démontrer le résultat qui dit qu'une particule verra pendant un temps $\text{[math]}$ dans R', $\text{[math]}$ charges ?

Est ce dû à la contraction des longueurs qui redéfinit la densité linéaire mesurée dans R' fixe ? comme ceci :

$\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$

Merci d'avance pour toute aide de compréhension.

invité576543 · 21/12/2008, 09h03

Envoyé par fabio123

Je comprends jusqu'à "Les particules parcourent donc dans R non pas une distance $\text{[math]}$ mais une distance $\text{[math]}$ . ", R' étant en mouvement et un observateur dans R fixe qui voit la particule parcourant $\text{[math]}$ .

Après, je bloque sur "Supposons que soit disposée dans R une densité linéaire de charges $\text{[math]}$ suivant la direction de la vitesse des particules, une particule verra, pendant un temps $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ charges."

Je ne vois pas trop pourquoi tu bloques. Relativement à R, tu as une distance de $\text{[math]}$ . Une densité linéique de charges $\text{[math]}$ sur une distance $\text{[math]}$ , ça donne une charge totale de $\text{[math]}$ , non? Suffit de remplacer $\text{[math]}$ par sa valeur...

Peut-être être la phrase "pendant un temps $\text{[math]}$ " ? Suffit juste de comprendre que ce n'est PAS une durée mesurée relativement au référentiel R, mais une durée en temps propre des particules.

Ici, on ne suppose plus R' en mouvement mais R se déplaçant à la vitesse -v par rapport à R' où il y a la distribution linéaire de charges $\text{[math]}$ .

Nul besoin de passer par là, il me semble. La description est relativement à R, et ça suffit.

(1) Est ce que cette situation (R se déplaçant à -v par rapport à R' fixe) est équivalente à prendre R fixe et R' se déplaçant à v ?

oui

(2) Pouvez vous me démontrer le résultat qui dit qu'une particule verra pendant un temps $\text{[math]}$ dans R', $\text{[math]}$ charges ?

cf si dessus, ça découle de ce que tu as déjà compris, non?

Est ce dû à la contraction des longueurs qui redéfinit la densité linéaire mesurée dans R' fixe ? comme ceci :

On peut le présenter comme cela, mais le texte que tu cites est moins "interprétatif"; le texte montre exactement comment dériver la densité linéique mesurée relativement à R'. (Pas besoin de rajouter "fixe", un référentiel n'est ni fixe ni mobile dans l'absolu --par contre deux référentiels peuvent être fixes ou mobiles l'un par rapport à l'autre!)

Cordialement,

GillesH38a · 21/12/2008, 09h18

Envoyé par fabio123

merci pour ces réponses rapides.
j'aurais du mettre dans l'intitulé "dilatation des durées et réciprocité".............
j'ai du mal à comprendre le fait qu'il y ait dilatation des durées à la fois pour R et R'. Pourtant d'après les changement de variables (ct, x) cités plus haut, on a
bien :

$\text{[math]}$ (eq1)

et $\text{[math]}$ (eq2)

Il faut bien comprendre que la premiere equation n'est valable que pour un couple d'evenements ayant lieu au meme endroit dans le référentiel R', alors que la deuxième n'est valable que pour un couple d'évenements ayant lieu au meme endroit dans le référentiel R. La dilation des durées n'est valable que par rapport au référentiel propre (celui dans lequel les evenements ont lieu au meme endroit, ce qui définit la durée propre). Bien sur si les référentiels sont en mouvement, il n'y a aucun couple d'evenements ayant lieu au meme endroit dans les 2 référentiels à la fois. Il n'y a donc absolument aucune contradiction.

Comme le rappelle mmy, dans le cas général, la relation n'est pas simple et fait intervenir aussi la distance entre les endroits des evenements. Il y a alors symétrie parfaite dans les formules.

**fabio123** · 22/12/2008, 21h26

tout d'abord merci pour vos réponses, la relativité est assez difficile à intuiter pour moi et ce forum permet d'avoir de l'aide.

En fait, quand il est écrit "qu'une particule voit pendant un temps $\text{[math]}$ " une charge $\text{[math]}$ , il me semble que ça veut dire : RELATIVEMENT à R' ou dans R', la charge vue pendant un temps $\text{[math]}$ est égale à $\text{[math]}$ .

Je ne vois pas trop pourquoi tu bloques. RELATIVEMENT à R, tu as une distance de $\text{[math]}$ . Une densité linéique de charges $\text{[math]}$ sur une distance $\text{[math]}$ , ça donne une charge totale de $\text{[math]}$ , non? Suffit de remplacer $\text{[math]}$ par sa valeur...

Ici, on se place RELATIVEMENT à R et non R' (le référentiel de la particule).

Peut-être être la phrase "pendant un temps $\text{[math]}$ " ? Suffit juste de comprendre que ce n'est PAS une durée mesurée RELATIVEMENT AU REFERENTIEL R, mais une durée en temps propre des particules.

Voilà pourquoi je raisonne par rapport à R'.

invité576543 · 23/12/2008, 06h02

Envoyé par fabio123

En fait, quand il est écrit "qu'une particule voit pendant un temps $\text{[math]}$ " une charge $\text{[math]}$ , il me semble que ça veut dire : RELATIVEMENT à R' ou dans R', la charge vue pendant un temps $\text{[math]}$ est égale à $\text{[math]}$ .

En gros, oui. Avec quelque précisions sur les termes :

une particule voit pendant un temps $\text{[math]}$ une charge $\text{[math]}$

=

une particule voit, pendant un temps mesuré comme $\text{[math]}$ dans le référentiel par rapport auquel elle est immobile (comme le référentiel R'), passer près d'elle une charge de $\text{[math]}$

=

le flux de charge (un courant, en Coulomb/m².s), mesuré dans le référentiel R', vaut $\text{[math]}$ . Comme ces charges sont vues se déplaçant à la vitesse -v, cela induit une mesure (toujours dans R') de densité de charge de $\text{[math]}$ .

Cordialement,

Edit : J'ai un petit doute sur le passage courant --> densité, à vérifier...

**fabio123** · 23/12/2008, 08h57

C'est ok pour moi, j'ai enfin compris ce passage qui me posait problème, je vais poursuivre ma lecture et surement que j'aurai d'autres questions.

Cordialement.

relativité restreinte: dilatation du temps et symétrie