derivée et vitesse
bjr
je suis nouveau sur ce forum ...
bon ma question est simple : je veux comprendre pourquoi dans la cinematique on cherche la derivée du vecteur de la position : OM pour trouver le vecteur vitesse V. et aussi c'est quoi la derivée
les explications simples seront les bienvenues ..
merci d'avance : )
bonjour,
une derivée, c'est une variation, une derivée d'une position par rapport au temps, c'est une variation de position par rapport au temps.
une variation de position, c'est une distance.
si tu as la distance et le temps, la vitesse est facile a obtenir.
pour les explications mathematiques plus rigoureuses sur les derivées et leur calcul, va faire un tour dans la section math.
si tu as compri ce qu'est une derivée ( a partir de mes explications) il doit te paraitre clair que l'on derive le vecteur position par rapport au temps pour obtenir le vecteur vitesse
fred
merci
je comprends bien ce que tu voulais dire.
et avec quelques explications pour ces exemples je vous serais reconnaissant
on prend OM=(t²+2)i+(t+1)j
bon on calcule la derivée et on obtient V=2ti+1j
mais le OM on la derive par rapport au temps vers quoi ?
bonjour,
ces deux expressions te donnent
1) (t²+2)i+(t+1)j c'est l'expression de la position du point M en fonction du temps ( la variable c'est t)
2) V=2ti+1j : ca , c'est l'expression de la vitesse du point M en fonction du temps
je ne comprend pas bien cette phrase
fredmais le OM on la derive par rapport au temps vers quoi ?
y a pas de limite lorsqu'on derive OM ?
bonjour
de limite de quoi ?
fred
vous m'avez dit qu'il faut deriver le vecteur de la position OM ... mais on le derive ,derive, derive, derive jusqu'a l'infini lool ?
Bonjour,
Si tu dérive OM une fois, tu obtiens la vitesse
Si tu le dérives une deuxième fois, tu obtiens l'accélération (variation de vitesse par rapport au temps).
Tu peux continuer effectivement à dériver, tu obtiens alors une variation d'accélération par rapport au temps et ainsi de suite mais çà a moins d'intérêt.
Bonne journée.
salut,
j'imagine que tu dois très bien te représenter ce qu'est la vitesse en voiture. Plus tu vas vite entre 2 villes(disons A et B) et moins tu mettras de temps à parcourir cette distance. Inversement, moins tu mets de temps plus tu vas vite. La vitesse est donc inversement proportionnelle à la variation de temps. Si maintenant tu mets le même temps pour aller de A à B et de A à C (une troisième ville telle que AC > AB), cela voudra dire que tu seras allez plus vite entre A et C qu'entre A et B. Pour un même temps, une plus grande variation de distance implique une vitesse plus grande. La vitesse est donc proportionnelle à la variation de distance. Au final, la vitesse s'exprime comme le rapport de la variation de distance et de la variation de temps.
Ce que je viens de dire marche pour une vitesse moyenne entre 2 points. Cela peut s'écrire comme :
où l'on a supposé que xB > xA, et tB > tA, et bien entendu xB-xA = longueur du segment AB.
Maintenant ce que l'on désire avoir c'est la vitesse instantanée en fonction du temps (pour reprendre l'exemple précédent, au bout de 2 min après être parti de A tu vas à 91,23 km/h exactement, puis au bout de 5 min à 104, 67 km/h par exemple et ainsi de suite).
Une vitesse instantanée est une notion limite de la vitesse moyenne lorque les variations de distance et de temps deviennent très petits.
La dérivé est également une notion limite. Elle mesure le taux de variation "instantané" d'une fonction par rapport à sa variable (pour une fonction d'une seule variable).
Pour un problème à une dimension (tu te déplaces sur une droite ou une courbe), si x(t) est la position en fonction du temps (toujours pour reprendre l'exemple initial, au bout de t=2 min tu es à 3 km de A, ce qui s'écrit x(t=2min) = 3 km ), le taux de variation de la position (la fonction) par rapport à la variation de temps (la variable) s'écrit à la limite comme :
ce qui n'est rien d'autre que la vitesse instantané (la vitesse au temps t) et également la définition de la dérivé d'une fonction de une variable. h a la dimension d'un temps, c'est une petite variation de temps(c'est l'équivalent du tB-tA pour la vitesse moyenne) que l'on fait tendre vers 0 pour obtenir la vitesse précisément au temps t. Cette limite la plupart du temps existe, c-à-d qu'elle est finie (pas infinie) et on en déduit toutes les formules usuelles de dérivées que tu connais. (attention la dérivé ne marche pas que pour la vitesse mais pour des tonnes d'autres quantités)
C'est exactement la même chose pour l'accélération, et tu remplaces dans la formule précédente la position par la vitesse v(t).
Au final la dimension d'une vitesse s'exprime en m/s (distance sur temps) et l'accélération en (m/s)/s (vitesse sur temps), c-à-d en m/s2.
p.s.: dans les expressions de la vitesse moyenne et instantané tu reconnais le coefficient directeur d'une droite. La vitesse instantané est donc le coeffcient directeur de la tangente à la courbe x(t) au point t exactement. C'est le raison pour laquelle le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire.
je vous remercie grave Vaincent ... j'ai tout comprit ..
bonne journée
