forme covariante du courant et théorème des résidus

[invite420f3ca6]

Bonjour,

En théorie classique des champs, on a deux équations faisant intervenir la densité de courant et de charge : divE = p (avec p densité de charge) et rotB-dE/dt = j (j est la densité de courant) qui s'écrivent en forme covariante : (d²/dt²-d²/dx²-d²/dy²-d²/dz²)f = p
et (d²/dt²-d²/dx²-d²/dy²-d²/dz²)A = J
f étant le potentiel scalaire et A le potentiel vecteur

Ma question est : peut-on exprimer la densité de charge et de courant en fonction de la trajectoire r(t) de la particule de charge q (qui crée le champ electromagnétique 4-potentiel A ) ?

Ma deuxième question n'a pas vraiment de rapport mais elle m'est venue en regardant un calcul visant à trouver la forme des fonctions de Green.
La démonstration s'appuyait sur le théorème des résidus. Quelqu'un peut m'expliquer ce que c'est et comment on procède ?

Merci d'avance pour vos réponses

Callipsycho
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[b@z66]

Pour ce qui est du théorème des résidus, tu peux aller voir sur Wikipedia: cela y semble assez détaillé(http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...s_r%C3%A9sidus). Ce théorème ne s'aplique qu'avec des fonctions complexes "holomorphes" ce qui heureusement est le cas de la majorité des fonctions usuelles, généralisées au plan complexe. L'utilité de ce théorème transparait surtout pour le calcul d'intégrale d'une fonction sur l'axe des réels(ce qu'on fait la plupart du temps) dont il est difficile de s'extirper. Avec ce théorème, on peut généralement connaitre facilement le résultat de cette intégrale en la prolongeant sur un contour fermé dans le plan complexe(l'intégration sur l'axe des réels n'en forme donc plus qu'une partie) par ce qu'on appelle les résidus. En connaissant le résultat global de l'intégrale sur le contour fermé et celui sur la partie qui complète l'axe des réels pour former le contour, il s'en déduit alors aisément le résultat initialement recherché.

Le mieux reste quand même de voir ça avec des exemples. J'en ai vu des pas trop compliqués ici (à partir de la page 210).

http://www.google.fr/url?sa=t&source...nEeLvdX-2dtCgg

[invite8915d466]

Bonjour,

En théorie classique des champs, on a deux équations faisant intervenir la densité de courant et de charge : divE = p (avec p densité de charge) et rotB-dE/dt = j (j est la densité de courant) qui s'écrivent en forme covariante : (d²/dt²-d²/dx²-d²/dy²-d²/dz²)f = p
et (d²/dt²-d²/dx²-d²/dy²-d²/dz²)A = J
f étant le potentiel scalaire et A le potentiel vecteur

Ma question est : peut-on exprimer la densité de charge et de courant en fonction de la trajectoire r(t) de la particule de charge q (qui crée le champ electromagnétique 4-potentiel A ) ?

oui, à condition d'utiliser la distribution de Dirac.




Cdt

Gilles

[b@z66]

http://moire4.u-strasbg.fr/apache2-d...se/tabmat2.htm

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

oui, à condition d'utiliser la distribution de Dirac.

il manquerait pas des tits gamma ?

[invite420f3ca6]

Merci beaucoup pour les liens, je vais potasser ca.

oui, à condition d'utiliser la distribution de Dirac.

Cdt

Gilles

Effectivement, je n'y avais pas pensé pourtant c'était assez logique !!
Merci pour cette réponse.

[invite8915d466]

il manquerait pas des tits gamma ?

NON

cf p. ex. Gravitation and Cosmology, Weinberg, p.39....

explication : le gamma interviendrait aussi dans la vitesse et dans la transformation de r(t), mais ça se compense. C'est un peu comme la formule F = dp/dt qui reste valable en RR meme si elle n'est pas explicitement covariante .

[invite8915d466]

pour préciser, les équations que j'ai données sont exactes, mais peuvent se mettre aussi sous forme équivalente, explicitement covariante


où J et X sont les 4-vecteurs courant et temps-position.

[invitea29d1598]

explication : le gamma interviendrait aussi dans la vitesse et dans la transformation de r(t), mais ça se compense. C'est un peu comme la formule F = dp/dt qui reste valable en RR meme si elle n'est pas explicitement covariante .

j'aurais effectivement dû penser à ce qui se passe pour le tenseur énergie-impulsion d'une particule ponctuelle avant de parler...

[invite420f3ca6]

pour préciser, les équations que j'ai données sont exactes, mais peuvent se mettre aussi sous forme équivalente, explicitement covariante


où J et X sont les 4-vecteurs courant et temps-position.

Ici,
c'est bien le temps propre si je ne me trompe pas ?
Mais alors si je prends le premier terme du 4-courant (Jo), j'obtiens un
je ne comprends pas, qu'est-ce que signifie physiquement ce terme ?

Autre question par rapport au théorème des résidus : lorsqu'on a deux pôles de signes opposés (les pôles étant simples), doit-on calculer les résidus pour chacun d'eux ? Si c'est le cas doit-on toujours en tenir compte pour le calcul de l'intégrale ?(je veux dire en physique )

[invite420f3ca6]

Et aussi par curiosité, comment passe-t'on de tes premières équations à la deuxième ?

A bien y penser, je pense que je n'ai pas bien compris la notion de "covariance" Qu'est-ce que c'est exactement ?

[invite7ce6aa19]

Et aussi par curiosité, comment passe-t'on de tes premières équations à la deuxième ?

A bien y penser, je pense que je n'ai pas bien compris la notion de "covariance" Qu'est-ce que c'est exactement ?

Cela veut dire que les 2 membres d'une même équation se transforment de la même façon dans un changement de base. En conséquence de quoi la forme de l'équation ne change pas.

[invite8915d466]

Ici,
c'est bien le temps propre si je ne me trompe pas ?
Mais alors si je prends le premier terme du 4-courant (Jo), j'obtiens un
je ne comprends pas, qu'est-ce que signifie physiquement ce terme ?

oui est bien le temps propre. Mais la distribution quadri-dimensionnelle existe pour toutes les composantes, elle sert juste à sélectionner l'endroit et le temps t pour lequel tu regarde le 4-vecteur courant.

Quand tu prend le premier terme de J par exemple, ça sélectionne juste le terme dans le 4-vecteur vitesse et donc trivialement l'intégrale sur ne laisse que la fonction tridimensionnelle qui est ce que j'ai écrit au début. Pour les composante spatiales, tu peux remplacer l'élément
par et là encore l'intégrale sur t te redonne la formule que j'ai donnée au début.

Autre question par rapport au théorème des résidus : lorsqu'on a deux pôles de signes opposés (les pôles étant simples), doit-on calculer les résidus pour chacun d'eux ? Si c'est le cas doit-on toujours en tenir compte pour le calcul de l'intégrale ?(je veux dire en physique )

euh ben si ton contour passe autour des deux, oui, en physique comme en maths .