2 questions sur le propagateur de Feynman

[Niels Adribohr]

Bonjour à tous,
j'aurais deux questions très distincte à poser sur le propagateur de Feynman : l'une est de l'ordre de l'interprétation, et l'autre purement mathématique.


http://lyoinfo.in2p3.fr/cours/Smadja/npart5l.pdf (p102 à104)
1) (p102-103)
Dans ce cours, le propagateur de Feynman d'un champs scalaire chargée libre est présenté comme l'amplitude de probabilité d'augmenter une charge de une unité au point r à l'instant t et la diminuer de une unité au point r' au temps t'. Pour cela, il définit deux possiblilités :
-on crée une charge positif en (r,t) et on la détruit en (r',t') avec t'>t.
-on crée une charge négatif en (r',t') et on la détruit en (r,t) avec t>t'.

Pour moi, une telle formulation n'est pas du tout clair. J'aurais plûtot dit que le propagateur de Feynman est l'amplitude pour qu'une charge positive soit "transferer" du point (r,t) à (r',t'), et qu'il n'y a pas de création ou de destruction de particule, mais juste une propagation d'une particule d'un point à une autre (ou d'une antiparticule dans l'autre sens). Me trompes-je?

Peut-on dire que l'état "une particule de charge + est en un point (r,t) de l'espace temps correspond à :
Φ(r,t)⁺ | 0 >
et donc que l'amplitude de probabilité pour que cette particule parte en r à t et arrive en r' à t' est
<0|Φ(r',t')Φ(r,t)⁺ | 0 > ?

2)p 104
toujours dans le même cours, on établit le résultat suivant en se servant du théorème des résidus:
(dk₀/2π )(e^-ik₀t/(k₀-w+iη))=-iθ(t)e^-iwt.

Pour integrer cette fonction, on distingue deux cas : t<0 ou t>0
Or , si je ne m'abuses, la fonction a integrer a un pôle simple en w-iη, ce qui fait que lorsqu'on utilise le théoreme des résidus en integrant la fonction dans le demi-cercle inferieur du plan complexe (quand t>0) de rayon infini, l'application du théorème des résidus nous donne:

-ie^-i(w-iη) et non pas -ie^-iw.
Où est passé le iη dans l'exponentiel ?
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[vaincent]

salut,

est-ce que tu vois réellement une différence entre le fait qu'une particule se propage de (r,t) à (r',t') et le fait qu'elle "disparaisse" en r à t et "réapparaisse" en r' à t' ? En fait cela est rigoureusement équivalent lorsque seules les positions initiales et finales compte ce qui est le cas ici.

Pour ce qui est du pôle simple, le théorème des résidus nous dis qu'en particulier ici, le résidu est donné comme la limite en k₀-->w_k, i.e en eta-->0, du résultat de l'intégrale sur le contour en question.

[invite54165721]

2)p 104
toujours dans le même cours, on établit le résultat suivant en se servant du théorème des résidus:
(dk₀/2π )(e^-ik₀t/(k₀-w+iη))=-iθ(t)e^-iwt.

en fait on a
(dk₀/2π )(e^-ik₀t/(k₀-w+iη))=-iθ(t)e^-iwt
et il faut mettre mentalement cette limite vers zero dans tous ces genres de calculs.

[Niels Adribohr]

Chouette, une réponse! Merci à toi!

salut,

est-ce que tu vois réellement une différence entre le fait qu'une particule se propage de (r,t) à (r',t') et le fait qu'elle "disparaisse" en r à t et "réapparaisse" en r' à t' ? En fait cela est rigoureusement équivalent lorsque seules les positions initiales et finales compte ce qui est le cas ici. .

Je suis tout à fait d'accord avec toi! C'est comme cela que je le comprends, mais j'ai l'impression que l'auteur veut dire l'inverse, c'est à dire que la particule "apparait" en (r,t) et disparait en (r',t'), t'>t. En effet, relis :

l'amplitude de probabilité d'augmenter une charge de une unité au point r à l'instant t et la diminuer de une unité au point r' au temps t'.

N'est-ce pas alors l'inverse qu'il aurait fallu écrire, c'est dire

l'amplitude de probabilité d'augmenter une charge de une unité au point r' à l'instant t' et la diminuer de une unité au point r au temps t.

?

Le calcul qu'il effectue par la suite me semble mieux correspondre à ce dernier énoncé.

Sinon, est-ce que j'ai à peu prêt juste quand j'écris

l'état "une particule de charge + est en un point (r,t) de l'espace temps correspond à :
Φ(r,t)^+ | 0 >

Pour ce qui est du pôle simple, le théorème des résidus nous dis qu'en particulier ici, le résidu est donné comme la limite en k₀-->w_k, i.e en eta-->0, du résultat de l'intégrale sur le contour en question.

A bon ? Il y a des choses qui m'échappent. Je dois indiquer que je n'ai vraiment pas l'habitude d'utiliser le théoreme des résidus. Tel que je l'ai trouvé dans un bouquin, le résidu d'un pôle simple est déterminé comme cela :

R[f](z₀)=lim_{z ->z0}f(z)

z₀ étant le pôle w_k-iη, je ne comprends pas pourquoi il faut faire tendre η vers 0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Niels Adribohr]

en fait on a
(dk₀/2π )(e^-ik₀t/(k₀-w+iη))=-iθ(t)e^-iwt
et il faut mettre mentalement cette limite vers zero dans tous ces genres de calculs.

Merci.
J'ai posé mon dernier post avant de prendre connaissance de cette réponse. Du coup, cela répond à ma denière question, bien que je n'ai pas encore bien saisi pourquoi on faisait ça.

[invite54165721]

On a une formule parfaitement définie avec une intégrale triple qu'on transforme en une limite de quadruple avec en plus pour la 4eme un contour dans le plan complexe des énergies. Fallait y penser!
en fait c'est pour obtenir une expression "relativiste" avec intégration sur energie et impulsions.
L'intégrale sur les grands demi cercles tend vers zéro et les poles correctement déplacés d'une quantité infinitésimale on a une 4 intégrale sur des quantités réelles.

[vaincent]

Dans ce cours, le propagateur de Feynman d'un champs scalaire chargée libre est présenté comme l'amplitude de probabilité d'augmenter une charge de une unité au point r à l'instant t et la diminuer de une unité au point r' au temps t'. Pour cela, il définit deux possiblilités :
-on crée une charge positif en (r,t) et on la détruit en (r',t') avec t'>t.
-on crée une charge négatif en (r',t') et on la détruit en (r,t) avec t>t'.

oui ça parait louche

ce qui est sûr est que Feynman interprète la solution d'énergie négative comme une particule qui remonte le temps. Ceci est équivalent à considérer une particule de charge opposée, d'énergie positive et qui avance dans le temps, d'où la forme corrigée de la fonction de Green par Feynman.

[invite54165721]

De plus avec une formulation relativiste on peut prendre en compte de façon correcte les repères en mouvement.
Prenons une particule de charge 1 qui est créée en A et annihilée en B plus tard. A l'évenement B de l'espace temps est associée une diminution de charge (-1).
Si A et B sont séparés par un intervalle du genre espace il existe des reperes ou B précède A.
Dans ces repères (l'ordre est toujours pour un propagateur création puis annihilation) ils voient se créer en B quel que chose qui diminue la charge de 1 et qui disparait en A.
Il s'agit d'une antiparticule.
On voit donc qu'il faut associer au propagateur ces deux possibilités:
On a donc propagateur =
T met les opératurs dans l'ordre des temps croissants.
De plus est la somme de 2 termes: une création de particule et un d'annihilation de l'antiparticule.