Produit scalaire de quadrivecteurs

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai trouvé dans un cours de relativité restreinte la formule définissant le produit scalaire de deux quadrivecteurs . J'ai cherché sur un internet une explication, mais je n'en ai pas obtenue une claire. Voilà donc ce que j'ai compris, de ce que j'ai pu trouver ci et là, mais il risque d'y avoir quelques imprecisions, voire quelques erreurs :

Le produit scalaire peut être défini par , avec les coordonnées contravariantes du vecteur v, et les coordonnées covariantes du vecteur u. On peut également écrire, par la convention d'Einstein, , pour alléger la notation.

Il existe une matrice carrée , telle que , avec il me semble .

On a alors .

Dans le cas de l'espace euclidien tridimensionnel, on a , donc ; on retombe donc bien sur la formule habituelle du produit scalaire dans ce cas. Puis dans l'espace minkowskien, on a , d'où .

Si ce que j'ai écrit est juste, je n'aurais qu'une question : Comment trouve-t-on la matrice ? Dans le cadre mathématique, cela doit correspondre à une matrice de passage entre l'espace dual d'un espace vectoriel et ledit espace vectoriel, mais je ne vois pas comment appliquer cela à un cadre physique. Sinon, cela doit correspondre également à la métrique de l'espace, donc dans le cadre de la relativité générale, on doit pouvoir la calculer par les équations d'Einstein, mais n'y a-t-il pas de formules plus simples dans certains cas ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance,
Phys2
-----

[Thwarn]

Salut,

ce que t'ecris ne me parait pas faux (mais je ne suis pas le roi des maths ), à part pour quelques indices dans tes sommations (par exemple u(i)=n(ij)u(j) au lieu de u(i)=n(ai)u(i)).
Apres, pour savoir pourquoi on prend la metrique de cette forme, il faut retourner à l'interval, qui est l'invariant fondemental de la theorie. Cet invariant definit la metrique. Ensuite on definit les TL, qui laisse invariant l'interval.
Apres, un produit scalaire est un produit de vecteur invariant sous un groupe de transformation (les rotations par exemple dans le cas habituelle en 3D). Il est donc naturel de definir le produit scalaire via la metrique, ce qui donne des quantités invariantes.

Je ne sais pas si mon explication te convient, mais elle ne me parait pas trop illogique.

P.S.: je vais voir ce que je peux faire pour la RG, mais mes souvenirs sont un peu vagues

[GrisBleu]

Comment trouve-t-on la matrice ?
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Salut

Desole pour le jeux de mot, mais cette metrique vient du fait que la vitesse de la lumiere est constante et identique dans tout referentiel. Si , alors la contance de cette vitesse implique que . En fait les transformations de Lorentz montrent que c est une egalite vraie pour tout interval (pas seulement pour la lumiere).

Bref si tu consideres comme donnant le produit scalaire, alors ton produit scalaire est invariant pas transformee de Lorentz. Si tu prends un autre produit scalaire, ce ne sera pas le cas.
Comme la relativite restreinte part du principe que la physique est invariante par changement de referentiel (inertiel), seul correspond au bon produit scalaire

Pour le dual, c'est simple (et c'est vrai pour tout autre matrice g symmetrique definie et pour toute dimension n):
g definit un produit scalaire
A un vecteur X tu peut donc facilement associer une forme w donnee par w(Y)=g(X,Y)
Ses composantes sont . En general, on ecrit par abus de langage.
g definit donc un isomorphisme (c'est lineaire) entre l'espace vectoreil considere et son dual

++

[Seirios]

Si , alors la contance de cette vitesse implique que . En fait les transformations de Lorentz montrent que c est une egalite vraie pour tout interval (pas seulement pour la lumiere).

Ce ne serait pas au lieu de ?

Bref si tu consideres comme donnant le produit scalaire, alors ton produit scalaire est invariant pas transformee de Lorentz. Si tu prends un autre produit scalaire, ce ne sera pas le cas.

J'ai du mal à faire le lien entre ce qui est dit précédemment, à savoir l'invariabilité de ds² par transformation de Lorentz, avec l'invariabilité du produit scalaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Salut

Ce ne serait pas au lieu de ?

Oui

J'ai du mal à faire le lien entre ce qui est dit précédemment, à savoir l'invariabilité de ds² par transformation de Lorentz, avec l'invariabilité du produit scalaire.

Un (pseudo) produit scalaire reel sur un espace vectoriel E est une application g telle que
- g: E x E -> R
- g est symmetrique
- g est bilineaire. On peut donc representer (si E est de dimension finie) le produit scalaire g(X,Y) par un tenseur . On appelle G la matric G[i,j]=
- G n'a pas de valeurs propres nulles (ca permet de definir une et une seule forme a partir d'un vecteur et d'avoir l'isomorphisme de E dans E*, cf mon message d'avant)
En geometrie euclidienne, toutes les valeurs propres de G sont positifs
Maintenant tu vois que n'est rien d'autre qu'un produit scalaire dont matrice G est , ie


Maintenant, etant donnee une transformation de Lorentz , on voit que , c'est a dire qu'une transformation de Lorentz laisse invariant le produit scalaire donne par eta (en langage physicien, l'interval est conserve)


Pour resumer
(1) Une matrice symmetrique de valeurs propres non nulles <=> Un produit scalaire decrit par une forme bilineaire symmetrique . Le lien est donne par

(2) Pour un produit scalaire donne, il existe des matrices qui le laisse invariant (appellees isometries), c'est a dire

ou de maniere equivalente
(3) La relativite restreinte est basee sur l'invariance des lois de la physique dans R4 muni d'un produit scalaire particulier donne par , c'est a dire que
- La physique est decdrite par des vecteurs de dimension 4, des tenseurs 4 x 4, etc.
- Le passage d'un referentiel (inertiel) a un autre se fait par des isometries de ce produit scalaire

Tu remarques que (3) est presque la meme chose que pour la physique gallileene / newtonienne: tu remplaces 4 par 3 et par le produit scalaire habituel

J'espere avoir ete plus clair

++

[Seirios]

Maintenant tu vois que n'est rien d'autre qu'un produit scalaire dont matrice G est , ie

C'est peut-être évident, mais je ne vois pas pourquoi on a l'égalité ; pour moi, , je ne vois pas le lien entre les deux écritures...

[GrisBleu]

Salut

Peut etre que je me suis emporte connais tu les tenseurs ?
en fait la notation signifie ou
dt est la forme lineaire qui associe X0 au vecteur X
x est le produit tensoriel (je ne retrouve plus le bon signe en \LaTeX)

de meme pour dx, dy et dz
Donc et
Tu vois maintenant le lien.

A bientot

[Seirios]

Peut etre que je me suis emporte connais tu les tenseurs ?

J'ai simplement lu le premier chapitre d'un cours de calcul tensoriel, histoire de savoir un peu ce en quoi cela consistait ; donc ton explication m'est un peu ésotérique, mais je pense avoir compris l'essentiel, et puis j'y reviendrai quand j'en saurai un peu plus.
Merci pour tes explications