Bonjour à tous,
J'ai trouvé dans un cours de relativité restreinte la formule définissant le produit scalaire de deux quadrivecteurs. J'ai cherché sur un internet une explication, mais je n'en ai pas obtenue une claire. Voilà donc ce que j'ai compris, de ce que j'ai pu trouver ci et là, mais il risque d'y avoir quelques imprecisions, voire quelques erreurs :
Le produit scalaire peut être défini par, avec
les coordonnées contravariantes du vecteur v, et
les coordonnées covariantes du vecteur u. On peut également écrire, par la convention d'Einstein,
, pour alléger la notation.
Il existe une matrice carrée, telle que
, avec il me semble
.
On a alors.
Dans le cas de l'espace euclidien tridimensionnel, on a, donc
; on retombe donc bien sur la formule habituelle du produit scalaire dans ce cas. Puis dans l'espace minkowskien, on a
, d'où
.
Si ce que j'ai écrit est juste, je n'aurais qu'une question : Comment trouve-t-on la matrice? Dans le cadre mathématique, cela doit correspondre à une matrice de passage entre l'espace dual d'un espace vectoriel et ledit espace vectoriel, mais je ne vois pas comment appliquer cela à un cadre physique. Sinon, cela doit correspondre également à la métrique de l'espace, donc dans le cadre de la relativité générale, on doit pouvoir la calculer par les équations d'Einstein, mais n'y a-t-il pas de formules plus simples dans certains cas ?
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Merci d'avance,
Phys2
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