Théoreme de Castigliano

[maxroucool]

Bonjour,

Je dois utiliser le théorème de Castigliano pour calculer la flèche d'une poutre élancée.
J'ai bien compris comment appliquer le théorème, mais je bloque au niveau des maths!
Comment intégrer le carré d'une fonction assez complexe! Je peux passer par le développement de la fonction lorsqu'elle est simple, mais ca devient vite très fastidieux!

Exemple de calcul: Théorème appliqué à une poutre soumise à une force répartie q de 0 à L, puis une force ponctuelle F en 2L:


Je sais qu'on n'est pas dans un forum de maths, mais ca me bloque vraiment dans mes exo de RDM.


Merci bp!
+++
-----

[danest]

Bonjour,

Pour ces calculs de RDM, il y a les intégrales de Mohr, puis lorsque les diagrammes des moments ne sont pas tabulés par ces intégrales de Mohr, moi personnellement je développais (car pas bon en math). Ca donne des termes en X à une puissance quelconque qui deviennent très facile à intégrer.
De plus ... j'avais fais l'achat d'une TI 92 ! et là .... avec une bonne utilisation, les systèmes hyperstatiques devenais très simples à résoudre (bien utile pour les concours ...).

Cordialement

[maxroucool]

Slt Danest,

Merci pour ta reponse.

Je ne connaissais pas du tt les intégrales de mohr. J'ai donc cherché sur google, mais j'ai pas trouvé grand chose à part un tableau à double entrée donnant les intégrales de forces reparties assez complexes.

Seulement, mon probleme ne vient pas tant de l'integrale des forces reparties, puisqu'elles sont tres simples (rectangulaire ou triangulaire), mais du carré qui est appliqué à la fonction du moment, ce qui rend tres tres longue l'intégration en développant!

+++

[invitece2661ac]

bonjour et bonne année

Avant tout calcul rappelons le teoreme de Castigliano

Le deplacement -d- ( deplacement du centre de la section droite ou sa rotation) d'un npoint de la poutre ou on a une charge concentrée -R-( force ou couple) est donne par la derivée partielle de l'energie de deformation par rapport a cet effort:
d = derivé de U/par rapport àF
= 1/2.EI.inegral( derivé deMf^2 dx)
= 1/EI .inegral( Mf.derivé deMf dx)

donc pour faciliter les calculs tu peux commancer par deriverMf par rapport à la charge avant d'effectuer l'inegration

bien sur il existe d'autre methode pour resoudre ton probleme( double integration, formule de Bresse et eventuellement les integrale de Mohr...) mais ici on t'as imposer l'utilisation de Castigliano
essaies de faire ce que j'ai dis si problele il ya je serai a la disposition

Amicalement Nabil

[A voir en vidéo sur Futura]

[danest]

Rebonjour Maxroucool,

He oui ... c'est très fastidieux à faire à la main ! c'est la raison pour laquelle il y a les intégrales de Mohr ! Elles sont là pour simplifier les calculs à partir du diagramme des moments (tracé sans équation de preference).

Eventuellement, tu appliques le principe de superposition (il semble qu'il y ait une force ponctuelle et une charge répartie dans l'équation des moments). Tu divises le problème en deux sous problèmes. L'un avec une force, et l'autre avec la charge répartie. tu calcules chaque flèche et tu fais la somme.

J'ai eu a faire de nombreux calculs comme le tien !! raison pour laquelle j'ai investi dans la TI 92 (autorisée pour les concours de l'administration pour le CAPET ou l'agregation).

Je me suis fait voler la TI 92, et j'en ai racheté une autre (comme quoi je trouvais ça indispensable. Enfin le modèle plus recent voyager 200 il me semble (en ce moment en panne ! pas de bol moi avec les calculatrices, mais je n'en ai plus besoin maintenant)).

Franchement faire ces calculs à la main sans calculatrice performante, sans être mission impossible, c'est de longues minutes perdues pour rien, et pour tout dire ... J'y suis rarement arrivé sans une erreur de calcul.

Avec la calculatrice "top niv" ! c'est rapide, et en plus, elle ne fait pas d'erreur !

Sinon .... je ne vois pas beaucoup d'autres solutions .... Les autres forumeurs auront peut-être d'autres idées.

Je ne sais pas si tu es en formation, mais ... on commence par le calcul des déplacements sur les systèmes isostatiques, et ensuite, ce sont les systèmes hyperstatiques. Et ça recommence ces intégrations (normal puisque pour la méthode des forces, on calcule des déplacements). Et j'ai déjà vu lors d'un concours, un système hyperstatique de degré 3 !! A la main, c'est le mal de tête garanti !

Bon courage !!! et si tu dois en faire beaucoup des calculs comme ça, achète toi une calculatrice faisant du calcul formel. Si tu l'envisages, je te dirai comment je faisais pour mes calculs.

Cordialement

[danest]

Et j'ajoute ... tu as de la chance, le moment quadratique est constant sur ta poutre !! quand tu auras des portiques avec des poteaux qui auront des inerties différentes de celle de la poutre, ça sera encore plus fastidieux !

Allez ... courage ! il ne faut pas se démoraliser !

[maxroucool]

Slt,

merci pour vos réponses.

@danest: Ca a l'air bien tentant ces calculettes, mais je ne pense pas en avoir trop besoin. En général, les calculs sont faisables, avec beaucoup de courage, mais faisables!

Par contre, qu'entends tu pas "principe de superposition"? Tu veux dire que je peux séparer la premiere intégrale en deux intégrales:
Intégrale de 0 à L de ((2L-x)F)²dx + Intégrale de 0 à L de (q/2(l-x))²dx ???

@nabil: Merci pour cette méthode, je vais essayé de l'appliquer et voir ce que ca donne!


+++

[invitece2661ac]

rebonsoir

Il n'y a pas grand choses dans tes integrales il suffit d'etre methodique dans ta façon de faire ces calculs:

Ton probleme c'est une poutre de longueur 2L de section constante ( Igz = constante) avec une charge F appliquée sur l'extremité (x= 2L) et derigée positivement suivant Oy aussi s'omise a une charge lenieque (q) uniformement repartie sur la portion ( de 0 à L) et egalement derigée positivement suivant Oy

Donc on a deux zones

0<x<L ( zone 1) : Mf1 = (2L - x).F +[q.(L-x)^2]/2
L<x<2L ( zone 2) : Mf2 = (2L - x).F

energie de deformation cas de flexion pure ( Hypothèse effet de l'effort tranchant neglige devant celui de Mf) : 2.E.I.U = integ(Mf^2dx) sur la poutre

Castigliano : derivée partielle de U/àF = fleche (( dU/dF = f ))
et donc on aura :
2.E.I.f = integ(2.Mf1.((dMf1/dF))dx)[0àL]+integ(2.Mf2.((dMf2/dF))dx)[Là2.L]

E.I.f = integ(Mf1.((dMf1/dF))dx)[0àL]+integ(Mf2.((dMf2/dF))dx)[Là2.L]...-e-

Or : dMf1/dF = (2L - x) et dMf2/dF = (2L - x) remplaçant dans ...-e-

E.I.f = integ(Mf1.(2L -x)dx)[0àL]+integ(Mf2.((2L -x)dx)[Là2.L]

E.I.f = integ(F.(2L -x)^2 + (2L-x)[q.(L-x)^2]/2dx)[0àL]
+integ(F.(2L -x)^2dx)[Là2.L]
EIf = integ(F.(2L -x)^2 )[0àL]+integ(F.(2L -x)^2dx)[Là2.L]
+ integ((2L-x)[q.(L-x)^2]/2dx)[0àL]

EIf = integ(F.(2L -x)^2 )[0à2L]+ integ((2L-x)[q.(L-x)^2]/2dx)[0àL]

Remarquons que : (2L-x)[q.(L-x)^2]/2 = 1/2 [ q.(L-x)^3+ L.q.(L-x)^2]

car 2L-x = L +(L-x)

EIf = integ(F.(2L -x)^2 )[0à2L]+ integ(1/2 [ q.(L-x)^3+ L.q.(L-x)^2]dx)[0àL]

EIf = integ(F.(2L -x)^2 )[0à2L]+ integ(1/2 [ q.(L-x)^3+ L.q.(L-x)^2]dx)[0àL]

EIf = integ(F.(2L -x)^2 )[0à2L]+ integ(1/2 [ q.(L-x)^3+ L.q.(L-x)^2]dx)[0àL]

EIf = (8FL^3)/3 + (qL^4)/8 + (qL^4)/6
EIf = (8FL^3)/3 + 7.(qL^4)/24

[invitece2661ac]

Je vient de lire ton dernier message et je ne peux qu'etre tres fier de t'aider bon courage dans tes etudes Maxroucool

[danest]

Bonjour,

Je ne suis pas suffisamment doué en maths pour travailler directement sur l'intégrale.

Le principe de superposition est physique ou à peu près (on considère le problème linéaire en petite déformations). Tu transformes ton problème avec une charge ponctuelle et une charge répartie en 2 problèmes plus simples. L'un avec la charge ponctuelle et l'autre avec la charge répartie. La poutre reste la même (même longueur, mêmes appuis ....). Le fait de diviser le problème rend les intégrales plus simples, et parfois le résultat est déjà bien connu.

Exemple : une poutre en console de longeur L avec une charge répartie sur toute la longueur (q) et une charge ponctuelle (F) à l'extrémité libre. Faire le calcul sans principe de superposition necessite l'intégration.
Mais avec le principe de superposition :

La charge ponctuelle donne f1 = FL^3/(3EI) donné dans tous les formulaires.
La charge répartie donne f2 = qL^4/(8EI) donné dans tous les formulaires.

La flèche due au chargement total est la somme de f1+f2 (superposition des effets).

Cordialement.

[invitece2661ac]

rebonsoir

En RDM il existe divers methodes pour resodre ce probleme
et je pense qu'ici on lui impose d'utiliser la methode energie de deformation et donc il n'a pas d'autre choix qu'utiliser Castigliano

effectivement on peut utiliser le principe de superposition ( si on est libre d'utiliser la methode qu'on veut) qui consiste a decomposer le probleme en plusieur probleme dont on connait les resultats ( comme le cas ici en deux problemes poutre avec charge concentré a l'extremité et poutre avec charge repartie)

[maxroucool]

Rebonsoir,


Merci à tous les deux pour vos réponses!

J'ai bien compris tout ca, j'ai plus qu'a m'entrainer!


Sur ce, bonne nuit!