Mouvement central en r^(-2) et constante du mouvement

[inviteb61db6a9]

Bonjour!

J'essaie - en vain..- de montrer que pour la trajectoire de planètes (ou plus généralement pour des trajectoires de type 'coniques'), on a l'égalité suivante : Emec = G*M*m/(2*a), (avec G constante de gravitation, M masse du soleil par exemple, m masse de la planète dont la trajectoire est une ellipse, et a demi-grand axe de cette trajectoire).

J'essaie d'utiliser les deux constantes du mouvements que sont l'énergie mécanique et le moment cinétique,

J'ai donc :
Emec=1/2 * m*(dr/dt)^2 + 1/2 * L^2/(m*r^2) - GMm/r = cste
et L=r^2 * ß = cste (est-il utile de passer en coordonnées polaires?)
et 2a= r_périgée + r_apogée

mais je n'obtiens aucun résultat.. j'ai l'impression qu'il me manque une relation..

si quelqu'un peut m'orienter ce serait top

merci!
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[zoup1]

Je pense qu'il vaut effectivement mieux écrire tout cela en coordonnées polaires.

une fois cela fait, je pense qu'il suffit d'explicter les rayons au périgée et à l'apogé, c'est à dire lorsque la dérivée de r (distance et non vecteur position) s'annule.

[inviteb61db6a9]

Je pense qu'il vaut effectivement mieux écrire tout cela en coordonnées polaires.

une fois cela fait, je pense qu'il suffit d'explicter les rayons au périgée et à l'apogé, c'est à dire lorsque la dérivée de r (distance et non vecteur position) s'annule.

Merci pour ta réponse.
J'ai essayé de suivre ton conseil, mais je ne parviens toujours pas à montrer la relation..
au périgée et à l'apogée, j'ai donc le premier terme de mon énergie mécanique qui s'annule dans les deux cas.
j'ai cherché ensuite à 'combiner' les relations Emec_apogée et Emec_périgée pour pouvoir éventuellement utiliser la relation 2a = rpéri+rap mais sans succès.. même en passant aux coordonnées polaires..
pourtant il me semble que la solution devrait être à portée de main.. je n'y vois rien, c'est sûrement pas mon jour aujourd'hui..

[zoup1]

Bon c'est pas compliqué,

Tu détermines à partir de ta premier relation les valeurs de r à l'apogée et au périgée. C'est la solution d'une équation du second degré.

Puis tu en déduis l'expression de a le demi grand axe.
et cela te donnes la relation que tu attends.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb61db6a9]

..je n'y avais pas pensé.. c'est bien plus clair maintenant! je vais essayer comme ca!
Merci beaucoup pour ton aide!
bonne journée