Symétrie de Jauge

[Bleyblue]

Bonjour,

Dans mon live de référence en physique je peux lire :

Les physiciens croient actuellement que, pour qu'une construction théorique de base soit correcte, elle doit avoir une forme mathématique subtile appelée SYMETRIE DE JAUGE.

Je ne comprend pas très bien ... pouvez vous m'aidez ? Qu'est ce que cela veut dire ? Que si une théorie est basée sur une relation aussi peut subtile (encore faudrait définire ce que l'on entend par sutbile, ce que l'auteur ne fait pas ...) que : A + B = C elle est fausse ? Ca me semble un peu simpliste comme explication mais ...

Merci
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[deep_turtle]

Je ne comrpends pas trop ce que tu veux dire par ton A+B=C, quel rapport avec les symétries de jauge ? Ce que veut dire Hecht, c'est que les physiciens pensent que la nature obéit à certaines symétrie, c'est-à-dire que les lois sont les mêmes si on change certains paramètres : notre position dans l'Univers, notre orientation par rapport à l'Univers, et d'autres plus subtiles... Non seulement ça, mais chacun, à chaque endroit, est libre de choisir ces paramètres comme il l'entend. Les symétries de jauges sont un moyen technique de réaliser ça.

[Bleyblue]

Ahhhh, ça m'aide ça ...
C'est idiot, tout le reste du texte parle des symétries et j'ai compris ... j'ai juste caler sur la symétrie de Jauge.
Je ne comprenais pas ce qu'il voulait dire par "forme mathématique subtile", mais ça me paraît évident mnt avec tes explications ...

Bon je vais relire voir un peu si c'est clair ...

merci

[Gwyddon]

une symétrie de jauge n'est-elle pas ce qu'on pourrait appeler une symétrie locale ? Dans le sens "si j'ai A qui vérifie l'équation aux dérivées partielles f(A)=0 alors le changement A en A+B fait que f(A+B) =0 de nouveau" ?

Un petit peu de lumière dans ce monde de ténèbres

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Bon ça va je pense ...

Sauf quand tu dis "un moyen technique". Moi je dirais plutôt (je n'y connais rien hein, c'est juste ce que je pense avoir compris ) que c'est une théorie, ou une "idée mathématique abstraite" comme dit Hecht qui permet de comprendre l'univers ... ah mais ça revient peut être au même de dire que c'est un moyen technique finalement ...

Merci

[Bleyblue]

Ah pardon 09Jul85, je n'avais pas vu ton message ... ben si peut être bien, je ne sais pas trop moi (les math c'est quand même plus simple à comprendre dis ... )

Merci

[Karibou Blanc]

Salut,

une symétrie de jauge n'est-elle pas ce qu'on pourrait appeler une symétrie locale ?

Pas nécessairement. On fait cela peut se résumer ainsi : les théories physiques libres (sans interactions) décrivant simplement les particules dite de matière (spin 1/2 comme électron, positron, muon neutrino...) possèdent une certaine symétrie de façon globale, c'est à dire que si on réalise une certaine transformation identique en tout point de l'espace (qu'on appelle un chgt de jauge) sur les champs décrivant les particules libres alors les prédiction physiques sont inchangées, la théorie est invariante et les équations du mouvement sont identiques.
Ce qui est intéressant de remarquer, c'est que lorsqu'on impose à la théorie libre d'être invariante sous des changements de jauges locaux (on réalise une transformation différente en chaque point de l'espace), alors une intéraction (entre les particules de matière) apparait naturellement dans la théorie avec de nouvelles particules (les bosons de jauges) vectrices de cette intéraction.
Voilà, moi je trouve cela presque magique, mais je pense qu'il est difficile d'en percevoir pleinement la richesse avant le master de physique.

@pluche

[Gwyddon]

merchi pour la réponse

(et vivement le M1, encore 2 ans à attendre... c'est long)

[invite6f044255]

(et vivement le M1, encore 2 ans à attendre... c'est long)

desole de te decevoir, mais c'est plutot en M2 que l'on voit vraiment ca.
En M1, en revanche, tu peux le comprendre en lisant extrascolairement, mais c'est pas si simple...

[invitee8334059]

desole de te decevoir, mais c'est plutot en M2 que l'on voit vraiment ca.
En M1, en revanche, tu peux le comprendre en lisant extrascolairement, mais c'est pas si simple...

Salut Ixi, je suis actuellement en M1 et je confirme que je n'ai encore vu les théories de jauge.
Par contre si toi ou deep-turle aurait quelques réfernces de bouquins à me donner pour comprendre la symétrie de jauge je pense que se serais intéressé.
Car en fait j'essaie de comprendre la RG en ce moment et on m'a dit que cette théorie est à invariance de jauge et que ce sont les coordonées de l'espace-temps qui font office de jauge.
Est ce que vous auriez des réfernces là dessus (lien RG et invariance de jauge)?
Et pourquoi la symétrie de jauge intervient en RG? Moi je pensais que ces problèmes de champs de Jauge était le propre du modèle électrofaible (théorie de Yang_mills je crois non?)?

[deep_turtle]

Et pourquoi la symétrie de jauge intervient en RG? Moi je pensais que ces problèmes de champs de Jauge était le propre du modèle électrofaible

Non non, c'est plus général. L'exemple le plus simple, d'ailleurs est encore autre chose : l'invariance de jauge en électromagnétisme classique. Elle est reliée à la conservation de la charge électrique.

[mtheory]

Sur l'importance centrale des théories de gauge et leur origine dans la RG et les tentatives de l'époque de théories unitaires on lira avec profit:

http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9810524

[Coincoin]

Salut tout le monde,
Juste une petite question en passant : y a une différence entre "jauge" et "gauge" ou bien c'est juste une différence français/anglais ?

[invite8ef897e4]

Je crois qu'il n'y a pas de difference, et quand je dis cela j'inclue les differentes variations sur le theme. Evidemment, je me trompe certainement, et un linguiste pourrait nous eclairer sur le sujet. Mais en ce qui concerne les interactions fondamentales, ces termes sont identiques.

[mtheory]

Salut tout le monde,
Juste une petite question en passant : y a une différence entre "jauge" et "gauge" ou bien c'est juste une différence français/anglais ?

Non,c'est juste qu'au départ dans les années 50/60 les gens parlaient de 'gages fields théories'.Probablement sous l'influence Française le terme gauge c'est imposé en anglais(?????).
Il faut se rappeler que Dewitt est marié à une Française et que Faddeev avait découvert les théories de jauges grace au bouquin de Lichnérowicz sur la géodiff des groupes de Lie et les connexions/groupes d'holonomies.

[Coincoin]

Merci de m'avoir ôté d'un doute...

[Bleyblue]

Un pauvre petit matheux perdu parmis les physiciens ... si c'est pas marrant

Bon, eh bien merci pour vos réponses en tout cas, je comprend mieux

[mariposa]

Salut Ixi, je suis actuellement en M1 et je confirme que je n'ai encore vu les théories de jauge.
Par contre si toi ou deep-turle aurait quelques réfernces de bouquins à me donner pour comprendre la symétrie de jauge je pense que se serais intéressé.
Car en fait j'essaie de comprendre la RG en ce moment et on m'a dit que cette théorie est à invariance de jauge et que ce sont les coordonées de l'espace-temps qui font office de jauge.
Est ce que vous auriez des réfernces là dessus (lien RG et invariance de jauge)?
Et pourquoi la symétrie de jauge intervient en RG? Moi je pensais que ces problèmes de champs de Jauge était le propre du modèle électrofaible (théorie de Yang_mills je crois non?)?

En fait derriere le concept de symmetrie de jauge il y a mathématiquement parlant:

la théorie des variétés fibrées.
avant le théorie des variétés fibrées il la théorie des variétés différentiables.
Avant tout cela il y a la géométrie "intrinsèque.

Vaste programme de math

[Karibou Blanc]

Salut,

La symétrie de jauge n'a rien de géométrique en soi, c'est simplement l'invariance d'une théorie sous un groupe de transformations. Après bien sur on peut "géométriser" les théories de jauges sur des variétés à l'aide de fibré principal et de connexion (comme en RG) etc... Mais de là à dire que l'essence même des symétries de jauge est géométrique, je ne crois pas. Disons que la géométrie permet de les formuler d'une façon qui facilite leur étude dans des cas moins triviaux que le modèle standard (notamment quand l'espace-temps n'est plus plat).

Pour ce qui est de la gravitation, on peut la voir comme une théorie de jauge dans un modèle appelé supergravité. La symétrie de jauge est dans ce cas la supersymétrie (dans sa forme locale) et le champ de jauge associé est la métrique de l'espace-temps. On peut le comprendre en ce sens que la supersymétrie est une symétrie de l'espace temps (extension de l'algèbre de poincaré, des symétries d'espace-temps habituelles) donc il est naturellement de retrouver la métrique de l'espace comme champ de jauge associé.

[invite8ef897e4]

La symétrie de jauge n'a rien de géométrique en soi, c'est simplement l'invariance d'une théorie sous un groupe de transformations. Après bien sur on peut "géométriser" les théories de jauges sur des variétés à l'aide de fibré principal et de connexion (comme en RG) etc... Mais de là à dire que l'essence même des symétries de jauge est géométrique, je ne crois pas.

Oui cette remarque est tres juste !
Je voudrais lui apporter mon soutien, et y ajouter que ce que l'on appelle "symetrie de jauge" n'est en fait pas une veritable symetrie, mais un moyen tres puissant de travailler avec des systemes sous contraintes. Par exemple, l'invariance U(1) de l'electromagnetisme peut etre interpretee comme le fait que l'on essaie de decrire le photon (deux etats de polarisation independants) par une quantite a trois degres de liberte (le vecteur). Donc finalement, on retombe sur ce fait bien connu : le photon n'a pas de masse <=> invariance U(1) de QED.

[mtheory]

Oui cette remarque est tres juste !
Je voudrais lui apporter mon soutien, et y ajouter que ce que l'on appelle "symetrie de jauge" n'est en fait pas une veritable symetrie.

?????????????????????????????? ?????
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?????????????????????????????? ??????
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Euh.... tu peux développer?

[mtheory]

Salut,

La symétrie de jauge n'a rien de géométrique en soi,

Je crois que si, mais je suis ouvert à la discussion sur ce point.On doit différer uniquement sur la terminologie.

Pour ce qui est de la gravitation, on peut la voir comme une théorie de jauge dans un modèle appelé supergravité.

C'est effectivement trés clair en supergravité mais le caractère de jauge de la RG était connu avant et en fait la RG avec Weyl,Cartan,Schroendinger,Eins tein est à l'origine des théorie de jauge.

La symétrie de jauge est dans ce cas la supersymétrie (dans sa forme locale) et le champ de jauge associé est la métrique de l'espace-temps.

Non, c'est plutôt la connexion ,mais c'est vrai qu'ellle est étroitement liée à la métrique donc...

[mariposa]

Non, c'est plutôt la connexion ,mais c'est vrai qu'ellle est étroitement liée à la métrique donc...

J'ai cru comprendre que l'on peut définir un champ de jauge, qui est une connexion sur une variété et ce indépendamment de toute notion de métrique.

Oui ou non?

[mtheory]

J'ai cru comprendre que l'on peut définir un champ de jauge, qui est une connexion sur une variété et ce indépendamment de toute notion de métrique.

Oui ou non?

Oui. La connexion de l'électromagnétisme par ex est indépendante de la métrique.
Par contre si on se place dans le cadre de Kaluza-Klein alors le champ électromagnétique est un effet de la métrique tout comme sa symétrie de jauge.La charge électrique est alors un effet de la symétrie cylindrique de la dimension suplémentaire compactifiée.
U(1) c'est bien lié au rotation des points d'un cercle.

[mariposa]

Oui. La connexion de l'électromagnétisme par ex est indépendante de la métrique.
Par contre si on se place dans le cadre de Kaluza-Klein alors le champ électromagnétique est un effet de la métrique tout comme sa symétrie de jauge.La charge électrique est alors un effet de la symétrie cylindrique de la dimension suplémentaire compactifiée.
U(1) c'est bien lié au rotation des points d'un cercle.

Quand on part d'un groupe d'invariance y a-t-il plusieurs connexions possible où est-elle unique?

les métriques sont en nombre infinies.

[mtheory]

Quand on part d'un groupe d'invariance y a-t-il plusieurs connexions possible où est-elle unique?

Hum...il me semble que le groupe définie uniquement la connexion mais je n'en ai pas la preuve.
Je peux donc fort bien dire une grosse bêtise.Je connais des choses sur les connexions mais je ne maitrise pas le sujet comme un physicien mathématicien.
La réponse doit probablement être dans le bouquin de Coquereaux.

http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/#F...%20CONNECTIONS

[Rincevent]

Hum...il me semble que le groupe définie uniquement la connexion mais je n'en ai pas la preuve.

euh, remarque naïve (en étant plus très bien réveillé ) : la connexion étant le champ de jauge A, elle n'est pas uniquement définie, non ?

[invite8ef897e4]

?????????????????????????????? ??????

Euh.... tu peux développer?

Developper je ne sais pas trop
Mais je suis toujours dispose a fournir des references...

La reference initiale :
P.A.M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Belfer Graduate School of Science, Yehiva University (Academic Press, NY) 1964
ainsi que
P.A.M. Dirac, Can. J. Math., 2 (1950)129.


References plus recentes :

• J Gomis et al 1990 Class. Quantum Grav. 7 1089-1096
  Existence theorem for gauge symmetries in Hamiltonian constrained systems
  

  It is shown that, for any constrained Hamiltonian system, one can locally construct a complete set of independent gauge transformations that depend only on the canonical coordinates and on arbitrary functions of time. The number of elements in this complete set is equal to the number of primary first-class constraints.

• Carlos A. P. Galvão & João Batista T. Boechat, Journal of Mathematical Physics -- February 1990 -- Volume 31, Issue 2, pp. 448-451
  Gauge transformations in Dirac theory of constrained systems
  

  According to Dirac's prescription the generator of gauge transformations for a constrained system endowed with primary and secondary first class constraints is constructed as a linear combination of all these (first class) constraints. Using the total Hamiltonian to generate the dynamics of the system it is shown that the time evolution of the coefficients of the secondary constraints in the generator of gauge transformations is not independent but is determined by the coefficients of the primary constraints. This result is applied to some physically interesting systems.

• On Dirac's incomplete analysis of gauge transformations
  
• Evolutionary Laws, Initial Conditions, and Gauge Fixing in Constrained Systems
• Gauge Matters
• Homological reduction of constrained Poisson algebras
• The quantization of constrained systems: from symplectic reduction to Rieffel induction

  Firstly, a generalization of the Marsden-Weinstein reduction procedure in symplectic geometry is presented - this is a reformulation of ideas of Mikami-Weinstein and Xu. Secondly, it is shown how this procedure is quantized by Rieffel induction, a technique in operator algebra theory. The essential point is that a symplectic space with generalized moment map is quantized by a pre-(Hilbert) C^*-module. The connection with Dirac's constrained quantization method is explained. Three examples with a single constraint are discussed in some detail: the reduced space is either singular, or defined by a constraint with incomplete flow, or unproblematic but still interesting. In all cases, our quantization procedure may be carried out. Finally, we re-interpret and generalize Mackey's quantization on homogeneous spaces. This provides a double illustration of the connection between C^*-modules and the moment map.

• Geometry and Dynamics with Time-Dependent Constraints

  We describe how geometrical methods can be applied to a system with explicitly time-dependent second-class constraints so as to cast it in Hamiltonian form on its physical phase space. Examples of particular interest are systems which require time-dependent gauge fixing conditions in order to reduce them to their physical degrees of freedom. To illustrate our results we discuss the gauge-fixing of relativistic particles and strings moving in arbitrary background electromagnetic and antisymmetric tensor fields.

• Dirac on Gauges and Constraints

  We examine the relevance of Dirac''s view on the use of transformation theory and invariants in modern physics to current reflections on the meaning of physical symmetries, especially gauge symmetries.

[invite8ef897e4]

moins precisement, plus court :

l'espace des phases n'est pas totalement accessible. C'est le cas dans les systemes classiques contraints, ou bien dans les systemes obeissant a une symetrie de jauge. Dans le cas de la symetrie de jauge, cela peut se voir parce que l'integrale d'action ne peut pas etre finie sur l'espace des phases total (puisque le lagrangien y est est invariant selon une certaine symetrie). On peut alors dire que l'on construit un fibre et que l'espace physique reel n'est qu'une section de ce fibre. Mais le choix de la section est totalement arbitraire ce qui fait que la situation n'est pas exactement identique aux systemes contraints. Neanmoins, dans les faits il faut choisir une section specifique (generalement la plus pratique) ce qui correspond a un choix de jauge en fait, et cela mene a des similarites.

[mtheory]

Developper je ne sais pas trop
Mais je suis toujours dispose a fournir des references...

La reference initiale :
P.A.M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Belfer Graduate School of Science, Yehiva University (Academic Press, NY) 1964
ainsi que
P.A.M. Dirac, Can. J. Math., 2 (1950)129.


References plus recentes :

• J Gomis et al 1990 Class. Quantum Grav. 7 1089-1096
  Existence theorem for gauge symmetries in Hamiltonian constrained systems
  
• Carlos A. P. Galvão & João Batista T. Boechat, Journal of Mathematical Physics -- February 1990 -- Volume 31, Issue 2, pp. 448-451
  Gauge transformations in Dirac theory of constrained systems
  
• On Dirac's incomplete analysis of gauge transformations
  
• Evolutionary Laws, Initial Conditions, and Gauge Fixing in Constrained Systems
• Gauge Matters
• Homological reduction of constrained Poisson algebras
• The quantization of constrained systems: from symplectic reduction to Rieffel induction
• Geometry and Dynamics with Time-Dependent Constraints
• Dirac on Gauges and Constraints

OK,mais ce qui me trouble ce n'est pas ça...c'est ta phrase:

Je voudrais lui apporter mon soutien, et y ajouter que ce que l'on appelle "symetrie de jauge" n'est en fait pas une veritable symetrie.