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solutions équation de d'Alembert



  1. #1
    mathier

    solutions équation de d'Alembert


    ------

    Bonjour
    je travaille la partie "physique des ondes" de prépa 2eme PC
    j'en suis au tout début

    j'ai l'équation d'Alembert à 1 dimension d2s/dt2 = c2 x d2s/dx2
    où s est la grandeur , t le temps et c une constante

    les solutions particulières pour une onde plane progressive sont
    s(x,t) = f (x-ct) et g (x+ct)
    on me dit que f correspond à une onde se déplacant dans le sens des x croissant ce que je ne comprends pas car dans le terme x-ct si le temps t augmente x-ct diminue donc je serais dans le sens inverse non ?

    merci

    -----

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  3. #2
    JPzarb

    Re : solutions équation de d'Alembert

    Salut,
    Je ne suis pas très sur de moi, donc je laisserai d'autre me corriger si je me trompe. En fait, f correspond à une amplitude. f=cste donc parallèle au front d'onde. Or pour que f(x-ct) soit constant, on cherche des valeurs du couple (x,t) de sorte que x-ct soit constant. Donc si on augmente x, il faut, pour contre balancer, augmenter t. (et inversement).

    Voila... de mémoire... c'est peut être pas totalement juste.
    A voir

  4. #3
    mathier

    Re : solutions équation de d'Alembert

    merci ... mais j'ai pas compris

  5. #4
    JPzarb

    Re : solutions équation de d'Alembert

    Ok ^^
    Alors c'esst que je n'ai pas été clair. Faisons les choses dans l'ordre.
    f est la fonction d'onde. f(x,t) représente (je crois) l'amplitude de l'onde à la distance x et au temps t.
    Pour observer la propagation d'une onde (par exemple quand tu lache uncailloux dans l'eau), tu regarde comment se déplace un point d'amplitude constante (la crète d'une vague par exemple). Et tu vois que plus le temps passe, plus la vague est loin. Pourquoi ? tout simplement parceque si tu regarde un point d'amplitude constante (la crète d'une vague), tu regardes un point tel que f(x,t) = constante. Soit, un point f(constante). Donc tu regarde un point tel que (x-ct)=constante.
    donc x=constante+ct
    dont x est une fonction croissante de t. Soit en d'autre termes... plus le temps passe, plus le point que tu regarde est loin de l'origine.

    Est ce plus clair ?

  6. #5
    Astérion

    Re : solutions équation de d'Alembert

    Bonjour,
    Citation Envoyé par mathier Voir le message
    Bonjour
    je travaille la partie "physique des ondes" de prépa 2eme PC
    j'en suis au tout début

    j'ai l'équation d'Alembert à 1 dimension d2s/dt2 = c2 x d2s/dx2
    où s est la grandeur , t le temps et c une constante

    les solutions particulières pour une onde plane progressive sont
    s(x,t) = f (x-ct) et g (x+ct)
    on me dit que f correspond à une onde se déplacant dans le sens des x croissant ce que je ne comprends pas car dans le terme x-ct si le temps t augmente x-ct diminue donc je serais dans le sens inverse non ?

    merci
    On va faire simple et se focaliser sur la fonction f (on enlève g...ça ne change rien en l'interprétation).

    On imagine une fonction f(u) avec u réel tel que la fonction est très piquée en zero et nulle partout ensuite (on peut prendre une fonction de la forme exp(-au2). f symbolise l'amplitude de l'onde.

    Maintenant on change u en x-ct. Si t augmente à x fixé, l'amplitude de l'onde sera nulle excepté pour les valeurs toutes proches de t=x/c (en effet f(u) n'est pas nulle uniquement pour u=0 et tout ce qui est très près...).
    Donc si t augmente, les valeurs pour lesquelles f est non nulle sont celles à x=ct.
    En effet à t0 le max de f est à x0=ct0
    Si on ajoute une durée dt à t0, où se trouve le max?
    f(0) est le max de f, donc pour avoir le max on doit vérifier: (t0+dt)c-x=0
    d'où x=(t0+dt)c. Le max de l'onde a avancé de dx= dtc durant un temps dt. il y a donc propagation du max de f à la vitesse c dans le sens des x positifs.

    A plus.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mathier

    Re : solutions équation de d'Alembert

    Citation Envoyé par JPzarb Voir le message
    Ok ^^
    Alors c'esst que je n'ai pas été clair. Faisons les choses dans l'ordre.
    f est la fonction d'onde. f(x,t) représente (je crois) l'amplitude de l'onde à la distance x et au temps t.
    Pour observer la propagation d'une onde (par exemple quand tu lache uncailloux dans l'eau), tu regarde comment se déplace un point d'amplitude constante (la crète d'une vague par exemple). Et tu vois que plus le temps passe, plus la vague est loin. Pourquoi ? tout simplement parceque si tu regarde un point d'amplitude constante (la crète d'une vague), tu regardes un point tel que f(x,t) = constante. Soit, un point f(constante). Donc tu regarde un point tel que (x-ct)=constante.
    donc x=constante+ct
    dont x est une fonction croissante de t. Soit en d'autre termes... plus le temps passe, plus le point que tu regarde est loin de l'origine.

    Est ce plus clair ?
    tout d'abord merci à ceux qui essaye de me faire comprendre
    je te suis sauf quand tu arrives à " Donc tu regarde un point tel que (x-ct)=constante." amplitude constante soit f soit l'ordonnée soit le haut de ma vague ok" mais x-ct ce n'est plus l'amplitude c'est l'abscisse qui bouge alors pourquoi ce serait constant si ma vague avance

    merci

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  10. #7
    JPzarb

    Re : solutions équation de d'Alembert

    re,
    en effet,
    x bouge (puisque l'onde "avance")
    t bouge (puisque le temps "avance"),

    mais f est une fonction de la variable A=x-ct
    x et t sont donc couplés pour formé une autre variable (A) qui peut être constante même si x et t bougent, a condition qu'ils bougent comme il faut.

    En gros, c'est comme si tu avait un pointeur laser sur la coordonnée x, tu laisses le temps défiler, et tu adapte ton point x de sorte que x-ct reste constant. En faisant cela, en fait, tu suis le front d'onde. Et pour que A soit constant, il faut que tu adapte x tel que x=ct.

    Un peu plus "avec les mains" maintenant...
    A t=0, tu lache un cailloux dans l'eau. (on ne considèrera qu'une seul direction pour les onde, une direction x).
    donc où se trouve le front d'onde à t=0 ?
    il se trouve à la position x telle que x0=ct=c*0=0. Le front d'onde se retrouve à la position x0=0, c'est à dire à l'endroit ou tu a lacher le cailloux (ca c'est logique). Imaginons maintenant qu'on laisse défiler le temps jusqu'à t1=3s.
    Où se trouve le front d'onde ? ... toujours à la position x1 telle que x1=c*t=c*3.
    (comme c est la vitesse : Asterion l'a démontré plus haut, c >0) et donc
    x1 > x0 ... l'onde avance

    (C'est la même chose que ce qu'Asterion avait fait d'ailleurs).

  11. #8
    mathier

    Re : solutions équation de d'Alembert

    désolé mais je crois que j'ai pas de neurones je capte pas.
    en prenant l'exemple d'une onde transversale le long d'une corde.
    L'axe (Ox) est orienté vers le droite .
    je suppose que l'amplitude de ma perturbation s (x,t) est supposée maximale à l'instant initial t =0 (cette amplitude c'est la hauteur de ma "vague" sur ma corde)
    soit c la célérité de mon onde.

    quand on ecrit s(x,t) = f (x-ct) est solution de l'equation d'alembert verifiée par s(x,t) ça signifie quoi ? pourquoi passer à une variable combinant x et t

    merci

  12. #9
    JPzarb

    Re : solutions équation de d'Alembert

    Salut,
    Eh bien en fait, mathématiquement parlant, s(x,t), de manière générale, est une fonction de deux variables à priori indépendantes. Donc une fonction bien plus complexe qu'une fonction à une seule variable du type f(x). Le problème du coup c'est que l'équation de d'Alambert est complexe à résoudre.
    Dire que s(x,t) = f(x-ct), en réalité, c'est dire que les deux variables de s qui sont x (l'espace) et t (le temp) sont des variables qui ne sont pas indépendantes, ce qui simplifie l'étude du point de vue mathématique.
    L'équation de d'Alambert s'intègre alor plus facilement en disant :

    ds/dt = ds/dA * dA/dt = df/dA * (-c)
    d²s/dt² = d (ds/dt) / dt = d (-c df/dA) / dt = -c d²f/dA² * dA/dt = c² d²f/dA²

    et de même pour d²s/dx²

    f est une fonction à une variable A, df/dA et d²f/dA² est donc plus simple à étudier. C'est la raison pour laquelle il est plus simple d'avoir des fonctions à variables dépendantes.

    Comprends - tu ?

  13. #10
    mathier

    Re : solutions équation de d'Alembert

    oui mathematiquement je te suis .
    je n'ai toujours pas bien saisi pourquoi f(x-ct) correspond a une propagation dans le sens croissant même si j'ai trouvé une démo avec qui je suis d'accord
    s(x,t) = f (x-ct) = f (x+l -c (t+l/c)) = s(x+l, t+l/c) donc si x avance de l , le temps avance de l/c
    je crois que mon erreur c'est de considérer que x-ct est l'abscisse du déplacement même si ça y ressemble. pour moi si temps augmente la nouvelle abscisse t secondes plus tard est x-ct donc elle diminue et n'augmente pas. Rien qu'en le réécrivant je me réembrouille !!!!

    pour poursuivre mon équation d'alembert satisfait aussi à des ondes planes harmoniques OPP soit une onde du type y=ymaxsin(wt+phi)
    et aussi si on sépare les temps et la position y = f(t)g(x) on peut avoir des ondes stationnaires.

    mais j'ai du mal a comprendre les modes propres cad qu'il n'y a que certaines frequences qui puissent donner lieu à des OPP ou des ondes stationnaires.
    si j'excite une corde avec une extremité libre avec une onde sinusoidale on aura une propagation du signal uniquement si la frequence correspond a la frequence propre ou un harmonique ?

    si j'excite une corde avec les 2 extrémites fixes alors avec une excitation sinusoidale on aura une onde stationnaire uniquement si la frequence correspond a la frequence propre ou un harmonique ?

    si j'excite une corde avec les 2 extrémites fixes alors avec une excitation non sinusoidale on peut avoir une onde stationnaire ?on a encore besoin de la notionde la frequence propre ou d'un harmonique ? le signal doit etre periodique ?

    encore beaucoup de points obscurs désolé

    un grand merci en tout cas pour l'aide

  14. #11
    JPzarb

    Re : solutions équation de d'Alembert

    Re, je vais essayer de répondre

    Citation Envoyé par mathier Voir le message
    je crois que mon erreur c'est de considérer que x-ct est l'abscisse du déplacement même si ça y ressemble. pour moi si temps augmente la nouvelle abscisse t secondes plus tard est x-ct donc elle diminue et n'augmente pas. Rien qu'en le réécrivant je me réembrouille !!!!
    En effet c'est une erreur, l'abscisse du déplacement est x et non x-ct.

    Citation Envoyé par mathier Voir le message
    si j'excite une corde avec une extremité libre avec une onde sinusoidale on aura une propagation du signal uniquement si la frequence correspond a la frequence propre ou un harmonique ?
    Oui, car si tu as une extrémité libre, c'est que l'autre est fixe. Donc il y a un rebond de l'onde, et donc des interférence. Ces interférences sont toujours destructives (les ondes s'annulent) sauf pour des fréquences propres ou des harmoniques.

    Citation Envoyé par mathier Voir le message
    si j'excite une corde avec les 2 extrémites fixes alors avec une excitation sinusoidale on aura une onde stationnaire uniquement si la frequence correspond a la frequence propre ou un harmonique ?
    Même chose !! Donc oui.

    Citation Envoyé par mathier Voir le message
    si j'excite une corde avec les 2 extrémites fixes alors avec une excitation non sinusoidale on peut avoir une onde stationnaire ?
    Oui : exemple : la corde de guitare ou de piano, tu gratte ou tu tapes, et la corde vibre avec sa fréquence propre.


    Citation Envoyé par mathier Voir le message
    on a encore besoin de la notion de la frequence propre ou d'un harmonique ? le signal doit etre periodique ?
    Le signal d'exitation n'a pas besoin d'être périodique, d'ailleurs, s'il l'est, il faut que la fréquence soit la fréquence propre de la corde.

    Voila ^^
    A +

  15. #12
    mathier

    Re : solutions équation de d'Alembert

    ok je commence a piger

    si je prends une excitation sinusoidale qui se fait par exemple a droite donc là cette extrémité est fixe et à l'autre bout à gauche l'extrémité libre donc pas de rebond pas de supersposition donc si je commence a "percuter" pas d'histoires d'harmoniques ; l'onde se propage point final en s'atténuant .

    pour une corde les 2 extrémités doivent etre fixes pour que des modes propres puissent s'établir c'est une condition nécessire.
    et on ne parlera pas de modes propres pour ma corde si on a pas d'ondes harmoniques

    est ce bien cela?

    merci

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  17. #13
    mathier

    Re : solutions équation de d'Alembert

    "ondes stationnaires " dans ma 3eme phrase en partant du bas et pas "onde harmoniques"

  18. #14
    JPzarb

    Re : solutions équation de d'Alembert

    Tout juste ^^

  19. #15
    mathier

    Re : solutions équation de d'Alembert

    super merci

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