Singularité en transfert thermique

[invite31b5cbad]

Bonjour à tous,

La résistance thermique d'un cylindre de rayons intérieur et extérieur R1 et R2 est bien connue, mais lorsque le cylindre est plein, on a R1=0, ce qui conduit à une singularité au centre du cylindre pour la résistance thermique (à cause du logarithme).

En gros, la résistance tendrait vers l'infini au coeur du cylindre.

En pratique, on "shunte" facilement ce problème en prenant un rayon intérieur très faible mais non nul (genre 1 micromètre), et cela fonctionne.

J'ai comparé cette approche à un calcul de thermique dans un logiciel avec un cylindre plein, et on retrouve exactement la même chose.

Mais je voudrais savoir s'il n'y a pas une méthode plus élégante que de prendre un rayon intérieur non nul pour s'en tirer?

Physiquement, on a un gradient nul au centre du cylindre (ce qui "colle" avec la résistance "infinie" au coeur et qui s'explique surtout par la symétrie du problème).

Peut-être qu'on peut dire qu'en fait le problème n'est jamais vraiment purement monodimensionnel et que la résistance au coeur s'en retrouve changée, qu'on a un transfert axial, ou je ne sais quoi.

Merci!
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[FC05]

Si R1 = 0 ... tu mets quoi au milieu ? La place ne sera pas bien grande !

[invitea3eb043e]

Tu aurais le même problème si tu calculais la résistance électrique d'un coaxial dont le diamètre intérieur tend vers zéro. C'est plus facile à voir. C'est simplement ta modélisation qui est en défaut dans ce cas. Imagine que tu veux sortir le courant par un fil infiniment fin, sa résistance sera infinie aussi et ça n'a pas de sens.

[invite31b5cbad]

Evidemment si R1=0 le cylindre est plein, donc on ne peut plus rien y mettre.

Mais imagine justement un cylindre plein de matière qui chauffe (un conducteur électrique par exemple). Tu as bien R1=0 et pourtant on a bien affaire à une situation tout à fait physique.

Résoudre ce genre de problème en prenant R1=0+epsilon, ça marche très bien, et ça donne la même chose qu'un calcul avec logiciel où l'on a modélisé un cylindre vraiment plein.

Mais le coup du epsilon c'est une bidouille, je me demandais si y avait pas plus "sérieux".

Il me semble qu'en formulation éléments finis, la singularité disparaît, mais bon...

Donc ok la modélisation est en défaut, mais quelle est l'alternative?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Par éléments finis, évident que la singularité disparaît puisqu'au centre le rayon n'est pas nul (c'est l'élement du centre).
Il faudrait voir si on traite le problème d'un cylindre mis en contact par l'extérieur avec un thermostat T0 et tracer la température au centre en fonction du temps. Je suis sûr qu'il n'y a pas de singularité et ça, c'est physique. La notion de résistance n'est qu'un artifice de calcul.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je ne pense pas qu'un cylindre qui chauffe pose des problèmes car la puissance générée pour R=0 est aussi zéro. Donc, qu'une puissance nulle voit une résistante thermique infinie, ne pose pas de problèmes.
Il ne faut pas se laisser obnubiler par les maths. Il faut revenir à la physique.
Au revoir.

[invite31b5cbad]

Je suis bien d'accord qu'il n'y a pas de singularité et qu'il ne faut pas se laisser obnubiler par les maths. Je demandais simplement s'il y avait une méthode plus élégante que de mettre un rayon non nul.

En éléments finis on ne tombe pas forcément sur un rayon non nul, ça dépend du maillage, on peut très bien avoir à intégrer sur l'élément depuis une position en 0.

[invite5a89bfe6]

salut,
bon j'y connais pas grand chose mais, j'imagine que tu travailles en coordonnées cylindriques, un changement de variables, une transformation quoi (ché pas un truc avec des exponentielles par exemple), ne pourrait pas faire disparaître cette singularité non essentielle à ton problème?
ché pas moi... ça a l'air compliqué en effet sur ce site..