Rayon de courbure

[inviteb23713f9]

Bonjour à tous

Dans le cadre d'une étude sur le cercle osculateur, nous cherchons s'il existe une formule pour calculer le rayon de courbure d'une courbe dans un espace à 3 dimensions.

Merci beaucoup
Solène et Sarah
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[invitea3eb043e]

Cela existe, bien entendu. Le plus simple est de décrire la courbe par ses coordonnées en fonction du paramètre t : [x(t), y(t), z(t)]
Ensuite le vecteur tangent est porté par le vecteur [dx/dt, dy/dt, dz/dt] mais il faut prendre le vecteur unitaire donc diviser par son module, ce qui amène à prendre pour nouveau paramètre l'abscisse curviligne s selon l'équation :
ds² = dx² + dy² + dz².
Le vecteur tangent unitaire a pour coordonnées [ds/ds, dy/ds, dz/ds] et la dérivée de ce vecteur par rapport à s aura pour module 1/R où R est le rayon de courbure.
Le vecteur [d²x/ds², d²y/ds², d²z/ds²] a donc pour module 1/R

[invité576543]

Il n'y a pas un petit problème de dimension, là? Les formules donnent pour s la dimension d'une longueur, donc à d²s/dx² la dimension 1. J'aurais pensé qu'un rayon de courbure avait comme pour dimension la longueur, non?

Le formule donnée par Ising sur l'autre fil (les initiatrices ont lancé deux fils, un pour chacune?), la dimension est correcte...

Cordialement,

[mariposa]

Bonjour à tous

Dans le cadre d'une étude sur le cercle osculateur, nous cherchons s'il existe une formule pour calculer le rayon de courbure d'une courbe dans un espace à 3 dimensions.

Merci beaucoup
Solène et Sarah

Cercle osculateur ou plan osculateur?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Salut,
La courbure d'une courbe r(t) est donnée par (et le rayon de courbure est l'inverse de la courbure). Si tu t'imagines voyager sur la courbe,
est ta vitesse et est ton ton accélération. La courbure de la trajectoire est grande lorsque l'accélération et la vitesse ne sont pas colinéaires.

De la même façon, la torsion définit la tendance de la dérivée troisième à sortir du plan formé par les dérivées première et seconde.

[invitea3eb043e]

Il n'y a pas un petit problème de dimension, là? Les formules donnent pour s la dimension d'une longueur, donc à d²s/dx² la dimension 1. J'aurais pensé qu'un rayon de courbure avait comme pour dimension la longueur, non?

Le formule donnée par Ising sur l'autre fil (les initiatrices ont lancé deux fils, un pour chacune?), la dimension est correcte...

Cordialement,

Sorry, mais d²s/dx² a bien pour dimension 1/L de même que d²z/dt² a bien pour unité m/s²

[invité576543]

Sorry, mais d²s/dx² a bien pour dimension 1/L de même que d²z/dt² a bien pour unité m/s²

Tu as raison, désolé.

Cordialement,

[inviteb23713f9]

Salut,
La courbure d'une courbe r(t) est donnée par (et le rayon de courbure est l'inverse de la courbure). Si tu t'imagines voyager sur la courbe,
est ta vitesse et est ton ton accélération. La courbure de la trajectoire est grande lorsque l'accélération et la vitesse ne sont pas colinéaires.

De la même façon, la torsion définit la tendance de la dérivée troisième à sortir du plan formé par les dérivées première et seconde.

Merci pour toutes ces réponses.

Au risque de paraitre ridicule:
Comment faire pour utiliser la formule avec des vecteurs?

[invité576543]

Ce serait plus simple si les deux discussions n'en faisait qu'une. On y verrait que les réponses à certaines questions sont déjà données, avec des notations différentes.

Cordialement,

[invite88ef51f0]

Merci pour toutes ces réponses.

Au risque de paraitre ridicule:
Comment faire pour utiliser la formule avec des vecteurs?

Désolé pour la notation abusive, r est un vecteur : r(t)=(x(t),y(t),z(t)). Et le est un produit vectoriel.

[inviteb23713f9]

Merci à tout le monde pour vos réponses. Nous avons enfin résolu notre problème.