Bonjour,Envoyé par Rincevent
bonjour,
tu as très bien compris ce que je voulais dire
Bien sûr
En écrivant cela je ne m'adresse pas à ta toi, mais implicitement à tous ceux qui cherchent à comprendre les tenseurs. Beaucoup pensent qu'un tenseur de rang 2, c'est une matrice et un tenseur de rang 0 un scalaire. Il y a donc une ambiguïté, dans "ta" phrase où l 'expression différence peut-être interprétée comme autre chose.
1- Sémantique: vecteur, forme, tenseur.
A réfléchir on pourrait introduire le vocabulaire ainsi:
Une forme est un vecteur muni d'un nouveau statut, celui d'application d'un ensemble (espace vectoriel E) dans un autre (ici corps K). Le mot application étant remplacé par le mot forme lorsque l'espace cible est le corps de l'espace vectoriel. La propriété de linéarité de l'application faisant que l'ensemble des formes a le statut d'espace vectoriel noté E*.
Le mot tenseur, quant à lui, faisant référence au comportement des composantes d'un vecteur dans un changement de base. Cela sous-entend qu'il y a différents comportements. Cela indique que l'on peut classer les vecteurs selon leur comportement dans un changement de base.
Dans ce cas la forme précédente est un tenseur de rang 1 covariant et l'espace source un vecteur contravariant de rang 1.
A mon avis c'est cette dernière propriété qui faut souligner:
2- Mettre en évidence le concept de tenseur.
Exemple:
Le vecteur dont les composantes Vu se transforment comme les composantes du produit Ai.Bj avec identification u = <i,j> est un tenseur de rang 2.
On pourrait écrire conventionnellement:
Vi,j (==) Ai.Bj
Le symbole (==) signifiant se transforme comme.
Il est important très de noter que l'aspect application, (cad forme) disparait complètement. Exemple:
3- L'équation de Dirac comme modèle.
Dans l'exemple de l'équation de Dirac:
[G.D -m.I].F = 0
1-D est le point de départ (avoir une dérivée temporelle première), c'est un tenseur de rang 1.
2- Le produit G.D à cause du scalaire m doit-être un scalaire.
3- Donc G se transforme comme D c'est donc un vecteur (et non des matrices) qui est un tenseur de rang 1.
4- On montre que G est un vecteur appartenant à une algèbre C4 de Clifford. plus précisément G apparient à un sous-espace-invariant de cet algèbre.
On voit que le rapport applicatif est inexistant dans cette démonstration. Ce qui qui compte c'est la phrase 3. Bien entendu ce qui se passe en arrière plan et qui "contrôle" tout ce sont les transformations de Lorenz dans l'espace de Minkovski.
5- Du point de vue tensoriel G est un vecteur définit par un produit scalaire. Cela signifie que la représentation matricielle de G en tant qu'opérateur est indéterminée. Ce qui fixe la représentation matricielle de G c'est la représentation du vecteur F. Le vecteur F étant vecteur propre de l'opérateur [G.D-m.I] se transforme comme les représentations irréductibles du groupe de Lorentz impropre. C'est ainsi que l'on peut fixer la représentation de F et donc celle de G en tant qu'opérateurs.
4- Démarche du mathématicien, démarche du physicien.
Cet exemple montre que le point de vue application, cad forme disparait complètement. En effet le produit scalaire G.D est "mimétique" du produit scalaire V1.V2 de 2 vecteursV1 et V2 de l'espace de Minkovski. Le mimétisme concerne la phrase se transforme comme.
Conclusion:
Tout cela pour dire que même sur le plan mathématique les tenseurs à la mathématicienne et les tenseurs à la physicienne implique une hiérarchie et une pratique de raisonnements très différents.
Les mathématiciens introduisent le notion de tenseur (de rang 2) à partir d'une forme bilinéaire:
A = f(V,W)
L'aspect applicatif est en première ligne. En fait ce qui compte physiquement (langage mathématiquement orienté physique) est que A prennent une valeur indépendante de toute représentation de f, V et W.
46 Tenseurs et TRG, du pareil au même.
Hors dire que quelque chose reste invariant selon des transformations qui forment un groupe nous même tout droit à la TRG et donc à la géométrisation des choses selon le programme d'Erlangen de Klein.
On peut apprendre les tenseurs et la TRG conjointement car la phrase principale à maitriser, celle qui structure la pensée c'est:se transforme comme.
Remarque 1: L'aspect canonique et métrique disparaissent complètement dans la démarche. (voir la formulation de Michel que je partage).
Remarque 2:
J'ai pris l'exemple de l'équation de Dirac car il y a beaucoup de choses à mettre en valeur. En fait j'ai établit cette démarche pour montrer le rôle respectif de l'algèbre de Lie et de l'algèbre de Clifford. Ce que je n'ai trouver nulle part dans les livres genre théorie quantique du champ.
-----