Covariant? contravariant? dans le flou total

[mach3]

Boujour à tous,

Je suis complètement paumé avec ces notions, et les quelques recherches effectuées m'ont encore plus embrouillé...

En fait en travaillant une démonstration, j'ai remarqué qu'une matrice définie positive (produit d'une matrice et de sa transposée) apparait naturellement entre les deux vecteurs d'un produit scalaire lors d'un changement de base (les deux vecteurs faisant partie du même espace vectoriel) : normal, si le changement de base ne conserve pas les angles, les produits scalaire nuls ne seront plus ceux pour qui les vecteurs sont orthogonaux une fois la base changée (La dessus j'ai à peu près tout compris, même l'histoire des diamètres conjugués d'ellipse qui remplacent l'orthogonalité)

Mais j'ai aussi remarqué que lorsqu'il s'agit du produit scalaire d'un vecteur avec un gradient, une telle matrice n'apparait pas, car le vecteur et le gradient se comportent à l'inverse vis-à-vis du changement de base.

J'ai donc cru comprendre qu'il s'agissait du caractère covariant de l'un et contravariant de l'autre, mais je n'arrive pas à démêler le vrai du faux entre les pages qui disent que le gradient est covariant et d'autre plutôt qu'il vaut mieux dire qu'il est contravariant pour d'obscures raisons. J'ai l'impression que si on ne fait pas déjà parti du club on ne peut guère y entrer... déjà j'ai toujours pas pu assimiler ce que voulais dire ces deux mots "covariant" et "contravariant".

bref je suis un peu perdu avec ces notions, quelqu'un pour éclaircir ma lanterne? en essayant de rester le plus simple possible dans un premier temps s'il vous plait

merci

m@ch3
-----

[invité576543]

Je vais essayer, mais en style télégraphique... (C'est un forum, pas de place pour un long cours.)

A un espace vectoriel E est associé naturellement l'espace dual des formes linéaires sur cet espace vectoriel.

Une forme est une application linéaire de E sur E, rien de plus, rien de moins. L'ensemble des formes E* est l'espace dual.

J'appelle "produit naturel" appliquer une forme à un vecteur.

Ca ressemble à un produit scalaire si on exprime tout en composantes avec les bonnes bases. En effet, l'espace dual a une structure naturelle d'espace vectoriel, et à chaque base de E correspond canoniquement une base de E* (celle telle que le produit naturel de f_i et e^j vaut delta(i,j)). Ils sont de même dimension, ce qui facilite la confusion (même nombre de composantes).

Un gradient est une forme linéaire. Il appartient à E*. Normal qu'il n'y ait pas de matrice qui apparaisse dans le produit, parce qu'implicitement le changement de base de E s'accompagne du changement de base de E*, qui amène à la base canonique correspondant à la nouvelle base de E. (Cette convention est implicite, on pourrait très bien ne faire le changement de base que d'un côté, auquel cas apparaîtrait une matrice...)

Enfin, la pratique courante est d'appeler covariant un élément de E*, noté indice en bas, contravariant un élément de E, noté indice en haut.

Ce ne sont que des conventions. Le point important est de comprendre ce qu'est E*, ce que sont les formes linéaires, c'est à dire des applications linéaires de E vers E.

Très sketchy, mais cela permettra dans un premier temps de voir où ça bloque!

Cordialement,

[invite1acecc80]

Bonjour,

Elle résume bien l'idée...juste une chose, une forme linéaire est une application linéaire de E dans K (avec K le corps des réels ici notamment).

A plus.

[mach3]

merci michel, déjà ça m'éclaire un peu, je vois qu'en fait j'étais dans la bonne direction, mais que le problème de convention ne fait qu'embrouiller quand on lit des wiki et autres.

mais sinon, ça veut dire quoi au départ "co" et "contra" variant. Le gars qui a inventé ça, il voulait dire quoi avant que le flou des conventions suivent?

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

mais sinon, ça veut dire quoi au départ "co" et "contra" variant. Le gars qui a inventé ça, il voulait dire quoi avant que le flou des conventions suivent?

Je pense que cela veut dire "qui varie avec" et "qui varie à l'inverse". Si on prend un changement de base de E de matrice M, le changement de base canonique à base canonique de E* a comme matrice l'inverse de M.

Comme une base de E peut être vue comme formée d'éléments de E* (les n applications linéaires qui à un vecteur associent chacune des n composantes), "varie avec" a été donné aux éléments de E*...


Perso, je n'aime pas ces termes, ni les explications avec des bases projetées d'une manière ou d'une autre; je n'ai vraiment compris qu'à partir de la notion d'application linéaire et de l'espace des applications, ce que j'ai très rapidement exposé dans la première réponse.

Les adjectifs "covariant" et "contravariant" ont été "inventés" pour distinguer deux sortes de "vecteurs" (les formes sont des éléments d'un espace vectoriel, et à ce titre des "vecteurs"), mais cela me semble plus simple d'appeler (ou au minimum penser) vecteurs les éléments de E et formes (ou covecteur, ou 1-forme, ce dernier préparant à la très fascinante théorie des formes différentielles, le gradient étant une forme différentielle) les éléments de E*.

Cordialement,

[invité576543]

juste une chose, une forme linéaire est une application linéaire de E dans K (avec K le corps des réels ici notamment).

Aïe! Merci de la correction!

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

Boujour à tous,

Je suis complètement paumé avec ces notions, et les quelques recherches effectuées m'ont encore plus embrouillé...

En fait en travaillant une démonstration, j'ai remarqué qu'une matrice définie positive (produit d'une matrice et de sa transposée) apparait naturellement entre les deux vecteurs d'un produit scalaire lors d'un changement de base (les deux vecteurs faisant partie du même espace vectoriel) : normal, si le changement de base ne conserve pas les angles, les produits scalaire nuls ne seront plus ceux pour qui les vecteurs sont orthogonaux une fois la base changée (La dessus j'ai à peu près tout compris, même l'histoire des diamètres conjugués d'ellipse qui remplacent l'orthogonalité)

Mais j'ai aussi remarqué que lorsqu'il s'agit du produit scalaire d'un vecteur avec un gradient, une telle matrice n'apparait pas, car le vecteur et le gradient se comportent à l'inverse vis-à-vis du changement de base.

J'ai donc cru comprendre qu'il s'agissait du caractère covariant de l'un et contravariant de l'autre, mais je n'arrive pas à démêler le vrai du faux entre les pages qui disent que le gradient est covariant et d'autre plutôt qu'il vaut mieux dire qu'il est contravariant pour d'obscures raisons. J'ai l'impression que si on ne fait pas déjà parti du club on ne peut guère y entrer... déjà j'ai toujours pas pu assimiler ce que voulais dire ces deux mots "covariant" et "contravariant".

bref je suis un peu perdu avec ces notions, quelqu'un pour éclaircir ma lanterne? en essayant de rester le plus simple possible dans un premier temps s'il vous plait

merci

m@ch3

Bonsoir,

Je vais te rassurer ne t'inquiète pas tu n'es pas le premier à se retrouver dans la pétrin avec les tenseurs. La compréhension de tenseurs s'avèrent difficile. Il faut laisser le temps au temps. Si tu veux comprendre la philosophie des tenseurs et par dessous tout l'appliquer à la physique je prends la responsabilité de te conseiller de jouer petit bras et pratique.(comme tu l'as fait en RR récemment). L'expérience d'enseignement montre qu'en suivant la "voie" mathématique cela ne marche pas pour la grande majorité.

Le mieux est d'apprendre les tenseurs selon Feymann tels qu' expliqués dans ses livres d'électromagnétisme. (Toutefois j'aurais une petite critique à faire sur quelques aspects de sa pédagogie que j'expliquerai si tu prends cette voie).

Donc tu peut donc travailler avec des espaces vectoriels (orthonormés pour simplifier) qui donneront lieu a des tenseurs cartésiens. Cela t'évitera d'avoir à faire a des tenseurs contra ou covariant qui constituent une dispersion inutile dans l'apprentissage des tenseurs.

Bien entendu cela ne t'empéchera pas apres avoir fait une première passe pragmatique de suivre une construction mathématique (donc "propre" qui te donnera un recul, recul que tu n'auras pas en restant dans une démarche physicienne).

[invite6754323456711]

Les adjectifs "covariant" et "contravariant" ont été "inventés" pour distinguer deux sortes de "vecteurs" (les formes sont des éléments d'un espace vectoriel, et à ce titre des "vecteurs"), mais cela me semble plus simple d'appeler (ou au minimum penser) vecteurs les éléments de E et formes (ou covecteur, ou 1-forme, ce dernier préparant à la très fascinante théorie des formes différentielles, le gradient étant une forme différentielle) les éléments de E*.

Ce que j'en ai compris est qu'il existe une différence de comportement entre les composantes des vecteurs et celles des formes lorsqu’on effectue un changement de base. Il n’existe pas, dans le cas général, un isomorphisme (canonique) entre E et son dual qui ne fasse pas référence explicite au choix d’une base particulière de E.

Mais effectivement quel en est l'impact en physique ?


Patrick

[invitea29d1598]

salut,

j'imagine qu'historiquement le terme vient de la relat surtout que le calcul tensoriel était pas top développé en dehors auparavant.

si on se place en relativité, l'existence d'une métrique non-dégénérée implique celle d'un isomorphisme entre les vecteurs et les 1-formes (cf. l'explication de Michel). Cet isomorphisme a pour effet qu'on peut définir des composantes avec indice et d'autres avec exposant. Celles avec exposant sont dites contravariantes et sont celles du vecteur. Celles avec indices sont dites covariantes et sont en fait celles de la forme associée par dualité à tout vecteur (et inversement si l'objet initial est la forme plutôt que le vecteur). Mais par "abus" on assimile généralement les 2 (le vecteur et sa forme duale, ou bien la forme et son vecteur dual) et c'est comme ça que l'on parle (en physique newtonienne aussi) de "vecteur impulsion" ou de "vecteur force" (alors que la force et l'impulsion sont des formes par nature).

Niveau vocabulaire, on dit contra et co car si on regarde la façon dont changent ces composantes sous un changement de base décrit par une matrice M (qui relie donc les vecteurs de la nouvelle base à ceux de l'ancienne), on peut montrer que les composantes co varient de la même façon alors que les contra varient avec la matrice inverse. Si on se place dans le cadre de pensée avec vecteurs et formes, c'est donc le cas si tout changement de base de E est accompagné d'un changement de base de son dual de manière à ce que les bases restent elles aussi duales.

Quand on a une métrique euclidienne, on montre que les composantes co et contra sont identiques et c'est pour ça qu'on assimile souvent vecteur et forme en physique newtonienne (cf l'impulsion et la force). Mais si elle est lorenztienne ou bien si la base est pas orthonormale pour le produit scalaire, ce n'est plus le cas. C'est par exemple ce qui se passe en cristallo quand on introduit la notion de base duale sans que cela ne fasse tout à fait référence à la notion de dualité mathématique (même si on peut en effet faire le lien).


cet article est pas top limpide mais il a pas mal d'illustrations...

[invite8915d466]

je pense qu'une bonne partie de la confusion du discours vient de la différence entre "mathématiciens" pour qui les objets co ou contravariants diffèrent par leur "nature", et les physiciens pour lesquels ils diffèrent juste par leur représentation.

Pour un mathématicien, ce sont deux éléments d'ensembles différents (un vecteur n'est d'ailleurs pas quelque chose de très simple à définir sur une variété différentiable). Mais il existe une relation canonique entre les deux, à tout tenseur contravariant peut être associé canoniquement un tenseur covariant, si on a défini une métrique. Un physicien verra plutot l'unité de la "grandeur physique" associée (impulsion, force, champs ém), et verra la relation de conjugaison canonique comme deux manières équivalentes de représenter "le même objet". Il parlera alors de "composantes " contra ou covariantes , sous entendu du même objet, ce qui est abusif pour un mathématicien.


Les "lois de transformations" des composantes sont celles obtenues quand on exprime les tenseurs canoniquement associés par dualité, dans la base duale canoniquement associée par dualité à l'originale. Géométriquement, la forme canoniquement associée à un vecteur est le projecteur orthogonal . Si on développe V dans une "base" (non orthogonale sinon c'est trivial) , alors son projecteur sera naturellement développé dans la base canoniquement associée aux : . Les "composantes covariantes" de V* étant géométriquement obtenues par les projections orthogonales de V sur les directions de e_i, alors que les composantes contravariantes sont obtenues par les projections parallèles habituelles. V et V* sont des objets mathématiques différents, mais le physicien les verra comme deux "représentations" équivalentes de la même grandeur physique.

[invite8ef897e4]

Le point important est de comprendre ce qu'est E*, ce que sont les formes linéaires, c'est à dire des applications linéaires de E vers E.

Le vecteur dans l'espace dual est canoniquement associe a un covecteur dans l'espace de depart, et la forme consiste simplement a prendre le produit scalaire avec le covecteur. Juste pour insister sur le point principal, et ainsi il est facile de voir pourquoi la distinction n'existe pas dans une base orthogonale. Les composantes contravariantes sont les projetes orthogonaux sur les vecteur de base, les composantes covariantes sur les projetes parallelement a l'espace complementaire.

[invite7ce6aa19]

je pense qu'une bonne partie de la confusion du discours vient de la différence entre "mathématiciens" pour qui les objets co ou contravariants diffèrent par leur "nature", et les physiciens pour lesquels ils diffèrent juste par leur représentation.

Bonjour,

Je ne pense du tout que la confusion du discours soit à l'origine sur la différence de nature entre physiciens et mathématiciens. La différence provient sur la méthodologie d'introduction des tenseurs et plus encore sur la relative importance des choses.

Pour le physicien la phrase fondamentale est:

MACHIN se tranforme comme TRUC

MACHIN et TRUC appartiennent en toute généralité (et c'est fondamental) a des espaces vectoriels différents. Cette phrase est également la même en TRG.

La raison fondamental de l'analyse tensorielle et de la TRG est que justement que tous les vecteurs ne se transforme pas de la même façon.

Si j'écrit:

v= dr/dt

Cela veut dire que la vitesse est la dérivée de la position.

On note que r et v n'appartiennernt pas du tout au même espace

Du point de vue tensoriel on devrait écrie:

v = d/dt.r

dans un changement de base spatiale d/dt est un scalaire et donc l'égalité entraine que v doit se transformer comme r


r et v sont des tenseurs de rang 1

Et ceci est vrai dans n'importe qu'elle represention

Si la base est orthonormée les tenseurs sont dit cartésiens.

Du point de la TRG et du groupe SO(3) ces mêmes tenseurs r et v de rang 1 sous-tendent un espace vectoriel de dimension qui engendre une representation irréductible de SO(3).

Quand on écrit Newton tensoriellement:

m.d/dt.v = F

m est un scalaire

d/dt est un scalaire

alors F se transforme comme v qui se transforme comme r

Donc F,r,v sont 3 tenseurs de rang1.

En physique du solide on observe expérimentalement que:

M.d/dt v = F

ou M est dans une base déterminée representée par une matrice symétrique.

Du point de vue tensorielle multiplons les 2 membres par un tenseur quelconque A

On a:

A.M.v = F.A

J'ai enlevé d/dt qui est un scalaire.

F.A est un produit scalaire donc invariant. Par conséquent M doit se transformer comme le produit tensoriel A*v (* pour tensoriel). C'est donc un tenseur de rang 2 a 6 composantes. Au passage un tenseur n'est en rien une matrice. un tenseur de rang 2 est toujours representée par une matrice ligne ou colonne (même si visuellement dessinée sous forme de tableau 2*2.

Dans le langage de la TRG le tenseur de rang 2 M est une representation réductible de dimension 6 du groupe SO(3) et peut se décomposer en sous-espaces irréductibles 6 = 5 +1. Quand on la representation triviale on a la relation de Newton triviale.

Plus compliqué:

L'équation de Dirac:

[G.D - m/I].Fi = 0

G = matrices gamma.

D les 4 opérateurs dérivées.

A l'évidence G.D doit se transformer comme un scalaire. Donc

G doit se transformer comme D

Donc les matrice Gamma appartiennent à unn espace vectoriel de dimension 4. Comme D est un tenseur de rang1 alors G est un tenseur de rang1.

Du point de vue TRG groupe O(1,3) G et D appartiennent à la même represention irréductible de dimension 4.

Donc on peut apprendre les tenseurs et presque simultanément la TRG sans se compliquer par des inutilités formelles. L'idée est de bien coupler mathématiques et physique dés le départ. C'est ce que fait Feymann dans ses livreS et je n'ai rien a redire d'essentiel.

Pour un mathématicien, ce sont deux éléments d'ensembles différents (un vecteur n'est d'ailleurs pas quelque chose de très simple à définir sur une variété différentiable).

Pourquoi?

Je pense que tu veux allusion à l'espace tangeant.

On cherche a construire un opérateur O qui agisse sur des fonctions scalaires (f,g):

Donc

g = O.f

O doit être invariant par changement de base au point de la variété. on ne dispose que des coordonnées et donc on a un tenseur de rang 1 qui est:

D( d/dx, d/dy, d/dz)

Pour fabriquer un invariant il faut multiplier par un vecteur qui se transforme de la même façon. donc du style V(X,Y,Z)

Par conséquent l'opérateur O c'est:

O = V.D

D définit une base de vecteurs et V est un vecteur quelconque dans cette base. ceci défibnit l'espace tangeant.

on note que j'ai en aucune façon parler de notion de variance car cela n'est pas essentiel. Tout cela peut s'introduire dans un deuxième temps.

Ce qui veut dire introduire une forme bilinéaire et montrer que cela revient à un produit scalaire ordinaire en remplacant les couples d'indices par un indice unique, opération importante sur le plan pédagogique mais par contre incontournable en TRG.

Donc dans ma pédagogie, prendre ses distances avec le discours mathématiquedu style: Soit les formes linéaires agissant dans un espace vectoriel..... en jouant petit bras tout en préparant la structure du discours pour que la TRG passe comme une lettre à la poste.

[invité576543]

Le vecteur dans l'espace dual est canoniquement associe a un covecteur dans l'espace de depart, et la forme consiste simplement a prendre le produit scalaire avec le covecteur.

Pas d'accord.

Cette association n'est canonique que pour une base donnée. Comme le choix de celle-ci est arbitraire, on est très loin d'une association canonique générale.

Il m'a fallu un certain temps, dans le passé, pour passer outre la confusion entre cette association relative à une base, et une "vraie" association canonique. (Ou, en d'autres termes, de comprendre le côté arbitraire de la métrique.)

Les composantes contravariantes sont les projetes orthogonaux sur les vecteur de base, les composantes covariantes sur les projetes parallelement a l'espace complementaire.

Pareil, dans mon expérience, la présentation par les projections a plutôt été source de confusion pour moi (je l'ai déjà indiqué dans un message précédent).

Cordialement,

[invité576543]

Mais il existe une relation canonique entre les deux, à tout tenseur contravariant peut être associé canoniquement un tenseur covariant, si on a défini une métrique.

Même remarque : le point important est le "si on a défini une métrique".

En fait c'est presque tautologique : choisir une métrique est strictement équivalent à choisir cette relation "canonique". Ce qui rend l'utilisation du mot "canonique" un peu bizarre...

Un physicien verra plutot l'unité de la "grandeur physique" associée (impulsion, force, champs ém), et verra la relation de conjugaison canonique comme deux manières équivalentes de représenter "le même objet". Il parlera alors de "composantes " contra ou covariantes , sous entendu du même objet, ce qui est abusif pour un mathématicien.

Perso, je trouve cela abusif pour des raisons physiques!

Je trouve abusif de confondre le gradient d'altitude et le vecteur "direction/pente" de plus grande pente. Quand je marche sur un terrain accidenté, j'ai une perception très nette de la différence physique entre les deux concepts.

Cordialement,

[invite7ce6aa19]

Cette association n'est canonique que pour une base donnée. Comme le choix de celle-ci est arbitraire, on est très loin d'une association canonique générale.

Il m'a fallu un certain temps, dans le passé, pour passer outre la confusion entre cette association relative à une base, et une "vraie" association canonique. (Ou, en d'autres termes, de comprendre le côté arbitraire de la métrique.)

Parfait.

Absolument et c'est plus que fondamental en pratique. J'illustre ceci sur des exemples concrets.

1- Une histoire de moment cinétique.

Soit R3 et un vecteur de composantes x,y,z. Je peux définir le opérateurs moments cinétiques habituels Lx,Ly,Lz qui sous-tendent un espace vectoriel (dual de R3). Les indices sont là pour souligner que la base est canonique.

L'espace R3 est réel mais l'espace dual est définit sur le corps des complexes. en particulier je peux définir une nouvelle base dans E*

L+ = 1/2 [Lx + i.Ly]
L- = 1/2 [Lx - i.Ly]
Lz

Cette base n'est pas canonique. Je n'ai fait aucun changement de base dans l'espace vectoriel R3. Mieux, il est même rigoureusement interdit de travailler sur le corps des complexes dans R3. les vecteurs r sont des positions de particules.

maintenant supposons que l'on décrire un hamiltonien (c'est un invariant) qui couple le mouvement orbital à un champ de contraintes quelconque.

Alors on aura une expression du style.

H = M.T.L

L = moment cinétique:
T = contraintes extérnes

M est la métrique cad le tenseur de rang n qu'il faut mettre pour que celui-ci se transforme comme le produit T.L. bien entendu si T est un tenseur de rang 1 la forme est bilinéaire et le tenseur est M est de rang 2. Il est claire que la representation du tenseur métrique M est complètement déterminée par le choix de la base du moment cinétique. Trivialement parlant la base canonique on s'en fout.

2- L'équation de Dirac.

Il y a eu une discussion avec Thwarn sur le même sujet en rapport avec la discussion sur ce qui change ou pas l 'expression des matrices Gammas de l'équation de Dirac.

3- Connexions et espaces fibrés.

Pour prendre un exemple dans les espaces fibrés, l'invariance de jauge de la connexion sur la fibre s'exprime par le fait que l'on a un produit scalaire entre le champ de jauge et la represention adjointe du groupe de Lie en question.

Cela veut dire qu'il n'y a pas de relations canoniques entre les coordonnées du point sur la base qui peuvent changer de representation sous une transformation de Lorentz sans entacher pour autant l'invariance de la connexion et ce bien que les 2 soient liés puisque le champ de jauge est indicé par les 4 coordonnées spatio-temporels et 2 indices de representations de groupes. Ceci pour un champ de jauge scalaire (sinon il faut rajouter le spin)

[invite8915d466]

Même remarque : le point important est le "si on a défini une métrique".

En fait c'est presque tautologique : choisir une métrique est strictement équivalent à choisir cette relation "canonique". Ce qui rend l'utilisation du mot "canonique" un peu bizarre...

pour moi ce n'est pas bizarre : dans la mesure où l'association est canonique, justement, elle apporte la même information. Définir la relation entre vecteur et forme, ou définir la métrique, est effectivement équivalent... mais c'est bien pour ça qu'on dit que c'est canonique .

Perso, je trouve cela abusif pour des raisons physiques!

Je trouve abusif de confondre le gradient d'altitude et le vecteur "direction/pente" de plus grande pente. Quand je marche sur un terrain accidenté, j'ai une perception très nette de la différence physique entre les deux concepts.

Cordialement,

euh.. je ne vois pas quelle "perception physique" on a d'une forme, à part le vecteur correspondant ? mais peut etre que mes capacités de visualisations sont limitées . Pour le champ ém, par exemple, c'est clair qu'on se le représente beaucoup plus clairement avec des vecteurs qu'avec les formes associées ...

Cdt


Gilles

[invite8915d466]

Pas d'accord.

Cette association n'est canonique que pour une base donnée. Comme le choix de celle-ci est arbitraire, on est très loin d'une association canonique générale.

euh, pas d'accord je pense là; la métrique est définie indépendamment de toute base, et donc l'association canonique entre vecteur et forme aussi (elle ne dépend que de la métrique). Elle est "canonique" au sens où elle est parfaitement définie par la structure de l'espace métrique.

Il y a une AUTRE assocation canonique, liée cette fois à la base : c'est l'association à une base des formes , chaque vecteur étant associé à la forme qui projette sur ce vecteur (et qui fournit donc la composante sur ce vecteur a_i quand elle est appliquée à un vecteur A). Cette association dépend cette fois de la base, mais pas de la métrique.

C'est justement la décomposition de la forme canoniquement associée à A (par la métrique) , sur la base canoniquement associée à ei (par le choix des vecteurs de base), qui fournit les composantes covariantes (qui dépendent donc des deux, de la métrique ET de la base choisie).

etes vous d'accord ?

Cdt

Gilles

[invité576543]

euh, pas d'accord je pense là(...)

Pourtant il me semble qu'on dit la même chose! Peut-être faut-il bien distinguer matrice de métrique et métrique...

En d'autres termes:

1) Si on se limite a une structure d'espace vectoriel, il n'y a aucune association canonique entre vecteurs et formes.

2) Préciser la métrique ou une pseudo-métrique (en tant que telle) et préciser une bijection entre vecteurs et formes est une seule et même chose.

3) Préciser une base et dire que la base duale est f(j)v(i) = delta (i, j) revient à préciser l'association entre vecteurs et formes et tout aussi bien la métrique (définie positive). (Pour une pseudo-métrique, faut adapter..)

Mon point principal est le 1) : il n'y a pas de bijection canonique entre vecteurs et formes pour un espace vectoriel.

Le point secondaire est qu'il y a différents moyens de choisir la bijection, dont la choisir explicitement ou choisir une métrique ou parler de base duale.

Il y a une AUTRE assocation canonique, liée cette fois à la base : c'est l'association à une base des formes , chaque vecteur étant associé à la forme qui projette sur ce vecteur (et qui fournit donc la composante sur ce vecteur a_i quand elle est appliquée à un vecteur A). Cette association dépend cette fois de la base, mais pas de la métrique.

Je connais la notion de projection sur un sous-espace, mais pas sur un vecteur (et ce même pas dans le cas d'un espace vectoriel quelconque). Et je ne comprends pas ce qu'est la "composante sur un vecteur". Je connais la "composante sur le ième vecteur de tel base", qui ne dépend pas seulement du vecteur mais aussi du reste de la base.

Cordialement,

[mach3]

Donc tu peut donc travailler avec des espaces vectoriels (orthonormés pour simplifier) qui donneront lieu a des tenseurs cartésiens. Cela t'évitera d'avoir à faire a des tenseurs contra ou covariant qui constituent une dispersion inutile dans l'apprentissage des tenseurs.

manque de bol, les repères non orthonormés sont inhérents au problème que j'étudie

cela dit je commence à comprendre un peu mieux. D'ailleurs j'avais compris implicitement qu'il y avait quelque chose de particulier quand on fait subir un changement de base à un produit scalaire vecteur/vecteur et à un autre vecteur/gradient. Maintenant j'en vois mieux la raison sous-jacente.

merci à tous pour votre aide.

m@ch3

[invite7ce6aa19]

manque de bol, les repères non orthonormés sont inhérents au problème que j'étudie

Tout dépend ce que tu veux faire. La notion de valence d'un tenseur n'est pas indispensable pour comprendre les tenseurs. Pire elle est nuisible.

cela dit je commence à comprendre un peu mieux. D'ailleurs j'avais compris implicitement qu'il y avait quelque chose de particulier quand on fait subir un changement de base à un produit scalaire vecteur/vecteur et à un autre vecteur/gradient. Maintenant j'en vois mieux la raison sous-jacente.

vecteur/gradient ou gradient/vecteur?

[invité576543]

pour moi ce n'est pas bizarre : dans la mesure où l'association est canonique, justement, elle apporte la même information. Définir la relation entre vecteur et forme, ou définir la métrique, est effectivement équivalent... mais c'est bien pour ça qu'on dit que c'est canonique .

Ce n'est pas, pour moi, un usage du mot "canonique" correspondant à l'usage plus général de ce mot.

Si on dit que c'est l'association canonique pour un espace métrique donné, c'est ce que j'appelle une tautologie, puisque pour moi la métrique (forme bilinéaire symétrique) est l'association canonique.

euh.. je ne vois pas quelle "perception physique" on a d'une forme, à part le vecteur correspondant ?

Ah!

Quand je me promène en terrain accidenté, je distingue la "plus grande pente" (une direction, et une pente dans cette direction, un vecteur au sens direction+quantité dans cette direction) et la fonction qui à ma vitesse horizontale (un vecteur) associe la pente que je vais grimper (un scalaire).

Au premier ordre la confusion est possible (mais la distinction tout autant ). Mais au deuxième ordre certainement pas. Penser le gradient comme "la plus grande pente" ne permet pas de se faire un modèle clair de la distinction entre sommet, point selle, point de thalweg, point de ligne de crête, point cuvette... Par contre, la 2-forme, qui étend la fonction qui à ma direction associe le polynome du second degré qui approche ma montée/descente, est une idée naturelle quand on "perçoit" ce qu'est le gradient, autrement que comme un vecteur. (Précisément, les deux signes des composantes de la 2-forme m'indique le type de point, -+ pour un point selle, -- pour un sommet (on ne peut que descendre!), -0 sur une ligne de crête, 0+ en thalweg, etc.)

---

D'ailleurs, dire que les choix covariant/contravariant ne sont que des représentations différentes me choque pas mal quand on l'applique aux tenseurs d'ordre 2. Je vois un tenseur (1,1) comme une application de E vers E (ou E* vers E*, c'est pareil), auquel la notion de symétrie ne s'applique pas en l'absence de métrique, alors qu'un tenseur (0,2) est une forme bilinéaire, pour laquelle la notion de symétrie ou d'anti-symétrie est intrinsèque, indépendamment de toute métrique.

Les propriétés de symétrie sont tellement importantes en physique que les différences que je cite ne peuvent pas être "que mathématiques".

Cordialement,

[invité576543]

cela dit je commence à comprendre un peu mieux. D'ailleurs j'avais compris implicitement qu'il y avait quelque chose de particulier quand on fait subir un changement de base à un produit scalaire vecteur/vecteur et à un autre vecteur/gradient. Maintenant j'en vois mieux la raison sous-jacente.

Bien!

Pour ma part j'ai pris l'habitude, au moins dans ma tête, de ne pas employer le mot "produit scalaire" dans le cas forme/vecteur. J'utilise "produit naturel" pour cela, et je réserve l'expression produit scalaire à l'usage d'une métrique ou d'une pseudo-métrique (donc dans les cas vecteur/vecteur et forme/forme -ne pas oublier ce dernier, qui a tout autant droit de cité que les deux autres!).

Notons au passage que la distinction métrique vs. pseudo-métrique n'existe pas pour le produit naturel (ni les notions de défini ou positif, de même, de symétrie, etc.).

Plus généralement ce sont des produits aux propriétés très distinctes (pas seulement l'effet d'un changement de base!), qui ne sont rapprochés que parce que l'algorithme de calcul est le même, du moins une fois qu'on travaille dans les bases idoines (idoines parce que justement elle permettent la confusion ).

Cordialement,

[mach3]

J'utilise "produit naturel" pour cela

le problème c'est que tu sembles être le seul à faire cet usage, bien qu'une distinction entre les deux ne me parait pas superflue.

n'y a t-il pas un nom pour un produit entre deux vecteurs d'un espace différent donnant un scalaire? en effet, à la base le produit scalaire concerne deux vecteurs d'un même espace non?

m@ch3

[invité576543]

n'y a t-il pas un nom pour un produit entre deux vecteurs d'un espace différent donnant un scalaire? en effet, à la base le produit scalaire concerne deux vecteurs d'un même espace non?

Oui à la deuxième question.

Mais pour la première, l'espace des formes n'est pas n'importe quel autre espace vectoriel par rapport à l'autre!

La structure d'espace vectoriel implique l'espace dual (la notion d'espace vectoriel dual est un "foncteur", pour utiliser un terme de la théorie des catégories). Le "produit naturel" pareil; il est intrinsèque à la structure "espace vectoriel". (On le retrouve sous la forme <x|y> en physique quantique par exemple...)

[Alors que la notion de produit scalaire est "rajoutée", c'est une structure supplémentaire. Du coup, il y a une partie de la physique qui est "non métrique", qui se contente de la structure vectorielle (en fait de la géo diff, mais sans métrique). C'est le cas du théorème de Stokes par exemple, et du coup d'une certaine manière des lois de Maxwell. Personnellement, c'est un aspect qui me fascine, mais qui demande de prendre une certaine distance (intellectuelle) avec la métrique (et donc de ne pas confondre vecteurs et formes ). Un "éclairage" que cela me semble donner par exemple est l'étroite relation entre métrique et masse...]

Cordialement,

[invite8ef897e4]

J'avais en tete la dimension finie. Tout le monde apprend l'espace dual a l'epoque ou l'on dit "le jour ou vous etudierez la dimension infinie, la vie sera moins facile". A ma connaissance, seulement en dimension finie on a un isomorphisme assure avec le dual, en dimension infinie ce n'est pas le cas la plupart du temps. La question de la metrisabilite n'etait donc pas pertinente pour moi.

[invité576543]

A ma connaissance, seulement en dimension finie on a un isomorphisme assure avec le dual, en dimension infinie ce n'est pas le cas la plupart du temps.

Intéressant. Et si on contraint à base dénombrable?

Cordialement,

[invitea29d1598]

salut,

pour ceux qui doutent encore de la différence entre forme et vecteur (et qui ne sont donc probablement pas conscients de ce qu'ils râtent en ignorant l'algèbre extérieure), y'a ces liens que j'ai dejà donnés plusieurs fois sur FS :

- sur l'électromagnétisme

- sur l'hydrodynamique relativiste

je pourrais aussi donner des liens sur le formalisme hamiltonien, etc... autant de trucs où introduire des vecteurs et des formes conjuguées clarifie énormément la physique autant que les maths et évite d'avoir trop de préjugés en tête...

en plus, l'air de rien, y'a pas mal de physique à faire sans métrique


sinon sur la dualité en dimension infinie, le wiki anglais est pas trop mal : http://en.wikipedia.org/wiki/Dual_vector_space

la différence de dimension intervient par exemple en physique quantique où elle peut mener à du gros n'importe quoi si on fait pas gaffe à ce qu'on fait (dans ce contexte tout ça est compliqué par le fait qu'on utilise pas n'importe quelles formes... cf ça par exemple : http://fr.wikipedia.org/wiki/Dual_topologique)

[invite7ce6aa19]

salut,

pour ceux qui doutent encore de la différence entre forme et vecteur (et qui ne sont donc probablement pas conscients de ce qu'ils râtent en ignorant l'algèbre extérieure), y'a ces liens que j'ai dejà donnés plusieurs fois sur FS :

Bonjour,

Le terme différence ne convient pas du tout, car une forme est un vecteur. Un vecteur est élement d'un ensemble qui répond aux axiomes de la structure d'espace vectoriel.

-

[invite8ef897e4]

Intéressant. Et si on contraint à base dénombrable?

Je ne suis pas certain du cas completement general. Dans les exemples que je connais, d'utilite en MQ, il faut tout de meme faire gaffe a la notion de limite forte et faible. En tout cas, reste que ce n'est pas completement trivial, que cela necessite significativement plus de travail, et que je ne conseillerais certainement pas d'aborder directement ce cas pour comprendre les notions de base.

[invitea29d1598]

bonjour,

Le terme différence ne convient pas du tout, car une forme est un vecteur. Un vecteur est élement d'un ensemble qui répond aux axiomes de la structure d'espace vectoriel.

tu as très bien compris ce que je voulais dire